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中考题数学分类全集66圆与相似三角形1


26. (本小题满分 12 分)

∠ 动点 E 在 BA 如图 12-1 所示, △ ABC 中,AB = AC = 2 , A = 90 ,O 为 BC 的中点, 在
o

边上自由移动,动点 F 在 AC 边上自由移动. (1)点 E,F 的移动过程中, △OEF 是否能成为∠EOF = 45 的等腰三角形?若能,请
o

指出 △OEF 为等腰三角形时动点 E,F 的位置.若不能,请说明理由. (2)当 ∠EOF = 45 时,设 BE = x , CF = y ,求 y 与 x 之间的函数解析式,写出 x 的
o

取值范围. (3)在满足 (2) 中的条件时,若以 O 为圆心的圆与 AB 相切(如图 12-2) 试探究直线 EF , 与 O 的位置关系,并证明你的结论.

A E B F C B

A E F C

O
图 12-1

O
图 12-2

26.解:如图, (1)点 E,F 移动的过程中, △OEF 能成为 ∠EOF = 45° 的等腰三角形. 此时点 E,F 的位置分别是: ① E 是 BA 的中点, F 与 A 重合. ② BE = CF =

2 .③ E 与 A 重合, F 是 AC 的中点. ············ 3 分

(2)在 △OEB 和 △FOC 中, ∠EOB + ∠FOC = 135° ∠EOB + ∠OEB = 135° , , ∴ ∠FOC = ∠OEB . 又∵ ∠B = ∠C , ∴△OEB ∽△FOC . ··························· 5 分



BE BO = . CO CF 1 2 2 + 22 = 2 , 2

∵ BE = x , CF = y , OB = OC = ∴y =

2 (1 ≤ x ≤ 2) . ·························· 8 分 x (3) EF 与 O 相切. ∵△OEB ∽△FOC , BE OE ∴ = . CO OF

BE OE = . BO OF BE BO = . 即 OE OF 又∵ ∠B = ∠EOF = 45° , ∴△BEO ∽△OEF . ∴ ∠BEO = ∠OEF . ··························· 10 分 ∴点 O 到 AB 和 EF 的距离相等. ∵ AB 与 O 相切, ∴点 O 到 EF 的距离等于 O 的半径. ∴ EF 与 O 相切. ···························· 12 分 ∴

24.如图,以 BC 为直径的⊙O 交△CFB 的边 CF 于点 A,BM 平分 ∠ABC 交 AC 于点 M, AD⊥BC 于点 D, 交 BM 于点 N, AD ME⊥BC 于点 E, =AF· cos∠ABD= 3 , AB AC, 5
2

AD=12. ⑴求证:△ANM≌△ENM; ⑵求证:FB 是⊙O 的切线; ⑶证明四边形 AMEN 是菱形,并求该菱形的面积 S.

24.⑴证明:∵BC 是⊙O 的直径 ∴∠BAC=90o 又∵EM⊥BC,BM 平分∠ABC, ∴AM=ME,∠AMN=EMN 又∵MN=MN, ∴△ANM≌△ENM ⑵∵AB2=AF·AC ∴ AB = AF AC AB 又∵∠BAC=∠FAB=90o ∴△ABF∽△ACB ∴∠ABF=∠C

又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90o ∴FB 是⊙O 的切线 ⑶由⑴得 AN=EN,AM=EM,∠AMN=EMN, 又∵AN∥ME,∴∠ANM=∠EMN, ∴∠AMN=∠ANM,∴AN=AM, ∴AM=ME=EN=AN ∴四边形 AMEN 是菱形 ∵cos∠ABD= 3 ,∠ADB=90o 5 ∴ BD = 3 AB 5 设 BD=3x,则 AB=5x, ,由勾股定理 AD = 而 AD=12,∴x=3 ∴BD=9,AB=15 ∵MB 平分∠AME,∴BE=AB=15 ∴DE=BE-BD=6 ∵ND∥ME,∴∠BND=∠BME,又∵∠NBD=∠MBE ∴△BND∽△BME,则 ND = BD ME BE 设 ME=x,则 ND=12-x, 12 ? x = 9 ,解得 x= 15 x 15 2 ∴S=ME·DE= 15 ×6=45 2

(5x )2-(3x )2

= 4x

24. (本小题满分 9 分) 如图 8-1,已知 O 是锐角∵XAY 的边 AX 上的动点,以点 O 为圆心、R 为半径的圆与射 线 AY 切于点 B,交射线 OX 于点 C.连结 BC,作 CD⊥BC,交 AY 于点 D. (1) (3 分) 求证:△ABC∽△ACD;
3 (2) (6 分) 若 P 是 AY 上一点,AP=4,且 sinA= , 5

① 如图 8-2,当点 D 与点 P 重合时,求 R 的值; ② 当点 D 与点 P 不重合时,试求 PD 的长(用 R 表示).

图 8-1

图 8-2

24.(1) 由已知,CD⊥BC,∴ ∵ADC=90°–∵CBD, ······················································ 1 分 又∵ ⊙O 切 AY 于点 B,∴ OB⊥AB,∴∵OBC=90°–∵CBD, ······························· 2 分 ∴ ∵ADC=∵OBC.又在⊙O 中,OB=OC=R,∴∵OBC=∵ACB,∴∵ACB=∵ADC. 又∵A=∵A,∴△ABC∽△ACD .············································································· 3 分 3 (2) 由已知,sinA= ,又 OB=OC=R,OB⊥AB, 5 ∴ 在 Rt△AOB 中,AO=
OB R 5 5 4 = = R,AB= ( R )2 ? R 2 = R, 3 sin A 3 3 3 5

5 8 ∴ AC= R+R= R . ·································································································· 4 分 3 3 AC AD 由(1)已证,△ABC∽△ACD,∴ = , ·························································· 5 分 AB AC 8 R AD 16 ∴3 = ,因此 AD= R. ················································································· 6 分 4 8 3 R R 3 3 16 3 ① 当点 D 与点 P 重合时,AD=AP=4,∴ R=4,∴R= . ·································· 7 分 3 4 ② 当点 D 与点 P 不重合时,有以下两种可能: 3 16 i) 若点 D 在线段 AP 上(即 0<R< ),PD=AP–AD=4– R; ···································· 8 分 4 3 3 16 ii) 若点 D 在射线 PY 上(即 R> ),PD=AD–AP= R–4. ······································· 9 分 4 3 3 16 3 综上,当点 D 在线段 AP 上(即 0<R< )时,PD=4– R;当点 D 在射线 PY 上(即 R> ) 4 3 4 16 3 时, PD= R–4 .又当点 D 与点 P 重合 ( 即 R= ) 时, PD=0 ,故在题设条件下,总有 3 4 16 PD=| R–4|(R>0). 3

26. (2010 广西百色,26,10 分)如图 1,AB 是⊙O 的直径,BC⊥AB,垂足为 B,AC 交⊙O 于点 D. (1)用尺规作图:过点 D 作 DE ⊥ BC,垂足为 E(保留作图痕迹,不写作法和证明) ; (2)在(1)的条件下,求证:△BED∽△DEC; ( 3 )若 点 D 是 AC 的中点(如 图 2) , C 求 sin∵OCB 的值. C
D D A B A O B

O

图1 图2 【分析】(1)要证△BED∽△DEC,有一公共角,故只要证明∵C=∵EDB 即可. (2)在 Rt△OBC 中, 只要找到 OB 与 OC 的关系即可.由于∵ADB = 90 o , D 是 AC 的中点, 所以 BD 垂直平分 AC,所以△ABC 是等腰直角三角形. C 答案:(1)如图 (2)证明:∵AB 是⊙O 的直径 D E ∴∵ADB=∵CDB= 90 o ∴∵CDE + ∵EDB = 90 o ∵DE⊥BC ∴∵CED=∵DEB= 90 o ∴∵CDE+∵C= 90 o ∴∵C=∵EDB ∴△BED∽△DEC (3)解:∵∵ADB = 90 , D 是 AC 的中点 ∴BD 垂直平分 AC ∴BC=AB=2OB 设 OB=k 则 BC=2k ∴OC= k + (2k ) = 5 k
2 2


A B O

C D

o

A

O

B

∴sin∵OCB =

OB k 5 = = 5 OC 5k

20(8 分)如图,BD 为⊙O 的直径,点 A 是弧 BC 的中点,AD 交 BC 于 E 点,AE=2,ED=4. (1)求证: ?ABE ~ ?ABD ; (2) 求 tan ∠ADB 的值; (3)延长 BC 至 F,连接 FD,使 ?BDF 的面积等于 8 3 , 求 ∠EDF 的度数.
B O D A C E F

20. (1)∵点 A 是弧 BC 的中点 ∴∠ABC=∠ADB 又∵∠BAE=∠BAE ∴△ABE∽△ABD..............3分 .............


(2)∵△ABE∽△ABD ∴AB =2×6=12 ∴AB=2 3

在Rt△ADB中,tan∠ADB=

2 3 3 = ............... ...............3分 6 3

(3)连接CD,可得BF=8,BE=4,则EF=4,△DEF是正三角形, ∠EDF=60°.............................. ............................. 2分

21.(10 分) 如图 9,已知,在△ABC 中,∠ABC= 90 0 ,BC 为⊙O 的直径, AC 与⊙O 交于 点 D,点 E 为 AB 的中点,PF⊥BC 交 B C 于点 G,交 AC 于点 F. (1)求证:ED 是⊙O 的切线. (2)如果 CF =1,CP =2,sinA =

4 ,求⊙O 的直径 BC. 5

图9

21、解:⑴ 连接 OD ∵BC 为直径 ∴△BDC 为直角三角形。 又∵∠OBD=∠ODB Rt△ADB 中 E 为 AB 中点 ∵∠OBD+∠ABD=90 0 ∴ED 是⊙O 的切线。 (2)∵PF⊥BC ∴∠FPC=∠PDC ∴△PCF∽△DCP

…………………………………………1 分

∴∠A BD=∠EDB ∴∠ODB+∠EDB=90 0

…………………………2 分

…………………………………………5 分

又∠PCF 公用
………………………………………………………7 分

∴PC 2 =CF·CD

又∵CF=1,

CP=2, ∴CD=4

…………………………………………8 分

可知 sin∠DBC = sinA = ∴

4 5
………………………………………10 分

4 4 DC 4 = 即 = BC 5 BC 5

得直径 BC= 5

26. (本小题满分 10 分) 如图, △ABC 是等腰三角形, AB=AC, AC 为直径的⊙O 与 BC 交于点 D, 以 DE⊥AB, 垂足为 E,ED 的延长线与 AC 的延长线交于点 F。

(1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若⊙O 的半径为 2,BE=1,求 cosA 的值.

26. (本小题满分 10 分) 解: (1)证明:连结 AD、OD

∵AC 是直径 ∴AD⊥BC ∵AB=AC
[来源:Zxxk.Com]

(2 分)

[来源:Z,xx,k.Com]

∴D 是 BC 的中点 又∵O 是 AC 的中点 ∴OD//AB ∵DE⊥AB ∴OD⊥DE ∴DE 是⊙O 的切线 (2)由( 1 )知 OD//AE (6 分) (4 分)

FO OD = FA AE FC + OC OD = ∴ FC + AC AB ? BE
∴ ∴

(8 分)

FC + 2 2 = FC + 4 4 ? 1

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

解得 FC=2 ∴AF= 6 ∴cosA=

AE AB ? BE 4 ? 1 1 = = = AF AF 6 2
o

(10 分)

25. (9 分)如图,在 △ ABC 中 ∠ACB = 90 , D 是 AB 的中点,以 DC 为直径的

O交

△ ABC 的三边,交点分别是 G,F,E 点. GE,CD 的交点为 M ,且 ME = 4 6 ,

MD : CO = 2 : 5 . (1)求证: ∠GEF = ∠A . (2)求 O 的直径 CD 的长. (3)若 cos ∠B = 0.6 ,以 C 为坐标原点, CA,CB 所在的直线分别为 X 轴和 Y 轴,建立 平面直角坐标系,求直线 AB 的函数表达式.
B

G F D M O C E 第 25 题图 A

25. 分) (9 (1)连接 DF

Q CD 是圆直径,∴∠CFD = 90o ,即 DF ⊥ BC

Q ∠ACB = 90o ,∴ DF ∥ AC . ························································································· 1 分
∴∠BDF = ∠A .Q 在 O 中 ∠BDF = ∠GEF ,∴∠GEF = ∠A . ····························· 2 分 (2)Q D 是 Rt△ ABC 斜边 AB 的中点,∴ DC = DA ,∴∠DCA = ∠A , 又由(1)知 ∠GEF = ∠A ,∴∠DCA = ∠GEF . 又Q ∠OME = ∠EMC ,∴△OME 与 △EMC 相似 ··························································· 3 分 OM ME ∴ = ∴ ME 2 = OM × MC ··················································································· 4 分 ME MC
又Q ME = 4 6 ,∴ OM × MC = (4 6) 2 = 96

Q MD : CO = 2 : 5 ,∴ OM : MD = 3 : 2 ,∴ OM : MC = 3 : 8 ········································· 5 分 设 OM = 3 x , MC = 8 x ,∴ 3 x × 8 x = 96 ,∴ x = 2 ∴ 直径 CD = 10 x = 20 . ······································································································· 6 分 (3)Q Rt△ ABC 斜边上中线 CD = 20 ,∴ AB = 40 BC Q 在 Rt△ ABC 中 cos ∠B = 0.6 = ,∴ BC = 24 ,∴ AC = 32 ································· 7 分 AB B
设直线 AB 的函数表达式为 y = kx + b ,
G

根据题意得 A(32, , B (0, 0) 24)

F D O C M E A

?0 × k + b = 24 ∴? ?32 × k + b = 0

3 ? ?k = ? 解得 ? 4 ?b = 24 ?

3 ∴ 直线 AB 的函数解析式为 y = ? x + 24 (其他方法参照评分) ···································· 9 分 4
23. 23.(本题满分 10 分)

第 25 题图

已知:如图,在半径为 4 的⊙O 中,AB,CD 是两条直径,M 为 OB 的中点,CM 的延 长线交⊙O 于点 E,且 EM>MC.连结 DE,DE= 15 . (1) 求证: AM ? MB = EM ? MC ; (2) 求 EM 的长; (3)求 sin∠EOB 的值.
E D A M O C B

23.(本题满分 10 分) 解:⑴ 连接 AC,EB,则∠CAM=∠BEM. ……………1 分 又∠AMC=∠EMB, ∴△AMC∽△EMB. ∴ D A M O F C
2 2 2 2

E

EM MB = ,即 AM ? MB = EM ? MC .………3 分 AM MC

B

(2) ∵DC 为⊙O 的直径, ∴∠DEC=90°,EC= DC ? DE = 8 ? ( 15) = 7.

………………………4 分

∵OA=OB=4,M 为 OB 的中点,∴AM=6,BM=2. …………………………………5 分 设 EM=x,则 CM=7-x.代入(1),得 6 × 2 = x(7 ? x ) . 解得 x1=3,x2=4.但 EM>MC,∴EM=4. …………………………………………7 分

(3) 由(2)知,OE=EM=4.作 EF⊥OB 于 F,则 OF=MF=

1 4

OB=1. ………………8 分

在 Rt△EOF 中,EF= OE 2 ? OF 2 = ∴sin∠EOB=

4 2 ? 12 = 15 ,

…………………………9 分

EF 15 = . ……………………………………………………………10 分 OE 4

25. (本题满分 10 分) 如图(8)所示,△ABC 内接于⊙O,AB 是⊙O 的直径,点 D 在⊙O 上,过点 C 的切 线交 AD 的延长线于点 E,且 AE⊥CE,连接 CD. (1)求证:DC=BC; (2)若 AB=5,AC=4,求 tan∠DCE 的值.

E
C

D B
· O

A

图(8) 25. (1)证明:连接 OC ········································································································ 1 分 ∵OA=OC ∴∵OAC=∵OCA ∵CE 是⊙O 的切线 ∴∵OCE=90° ··················································· 2 分 ∵AE⊥CE ∴∵AEC=∵OCE=90° ∴OC∥AE ························································ 3 分

E
C

D B
· O

A

图(8)

∴∵OCA=∵CAD ∴∵CAD=∵BAC ············································· 4 分 ∴ DC = BC ∴DC=BC ·················································································································· 5 分 (2)∵AB 是⊙O 的直径 ∴∵ACB=90° ∴ BC =

AB 2 ? AC 2 = 5 2 ? 4 2 = 3 ······························································· 6 分

∵∵CAE=∵BAC ∵AEC=∵ACB=90° ∴△ACE∽△ABC ···································································································· 7 分 ∴ ∴

EC AC = BC AB EC 4 = 3 5 EC = 12 ·························································································· 8 分 5

∵DC=BC=3 ∴ ED =

12 9 DC 2 ? CE 2 = 3 2 ? ( ) 2 = ······························································ 9 分 5 5

9 3 ED = 5 = ············································································· 10 分 ∴ tan ∠DCE = EC 12 4 5

26. (本题满分 12 分) 如 图 13 , A,B,C,D 四 点 在

O 上 , AD,BC 的 延 长 线 相 交 于 点 E , 直 径 AD = 10,OE = 13 ,且 ∠EDC = ∠ABC. CE DE = (4 分) (1)计算 A O AE BE D (2)计算 CE BE 的值(4 分) (3)探究: BE 的取值范围(4 分)
B C 图 13 E

21. 分) (8 (1)证明:∵ AB 为⊙ O 的直径,∴ ∠BCA = 90

o

又∵ BC ∥ OD ,∴ OE ⊥ AC ,即: ∠OEC = ∠BCA = 90 …………………(2 分)
o

又∵ OA = OC ,∴ ∠BAC = ∠OCE ………………………………………………(3 分) ∴ ?COE ∽ ?ABC .…………………………………………………………………(4 分) (2)过点 B 作 BF ⊥ OC ,垂足为 F .

∵ AD 与⊙ O 相切,∴ ∠OAD = 90 在 Rt?OAD 中,∵ OA = 1, AD = ∴ tan ∠D =

o

3,

3 o ∴ ∠D = 30 …………………(5 分) 3
o

又∴ ∠BAC + ∠EAD = ∠D + ∠EAD = 90 ∴ ∠BAC = ∠D = 30 ∴ S ?OBC =
o o

,∴ ∠BOC = 60 ………………………………………(6 分)

1 1 3 ? OC ? BF = × 1 × 1 × sin 60 o = ………………………………(7 分) 2 2 4 60π × 12 3 π 3 ? = ? …………………………(8 分) ∴ S阴 = S 扇 OCB ? S ? OBC = 360 4 6 4

19、如图,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,切点为点 B,点 D 是⊙O 上的一点, 且 AD∥OC. 求证:AD·BC=OB·BD C

D

B

O

A

24.(7 分)已知:如图,AB 是⊙O 的直径,AB=6,延长 AB 到点 C,使 BC=AB,D 是⊙O D 上一点,DC= 6 2 . 求证:(1)△CDB∽△CAD; A (2)CD 是⊙O 的切线. B O
(第 24 题图)

C

8.如图 10,⊙O 是△ABC 的外接圆,BC 是⊙O 的直径,D 是劣弧 AC 的中点,BD 交 AC 于点 E. ⑴求证: AD 2 = DE ? DB

A D B C

5 5 ⑵若 BC = , CD = ,求 DE 的长 2 2

O

20. (本题满分 9 分) 如图, AC 是圆 O 的直径, AC = 10 厘米, PA,PB 是圆 O 的切线, A,B 为切点.过 A 作 AD ⊥ BP ,交 BP 于 D 点,连结 AB,BC . (1)求证 △ ABC ∽△ ADB ; A (2)若切线 AP 的长为 12 厘米,求弦 AB 的长. O C B D P

27.如图,Rt△ABC 内接于⊙O,AC=BC,∠BAC 的平分线 AD 与⊙0 交于点 D,与 BC 交于点 E, 延长 BD,与 AC 的延长线交于点 F,连结 CD,G 是 CD 的中点,连结 0G. F (1)判断 0G 与 CD 的位置关系,写出你的结论并证明; (2)求证:AE=BF; (3)若 OG ? DE = 3(2 ? 2) ,求⊙O 的面积。
A C G E O B D

24. (本题满分 6 分) 如图 10, 直线 DE 经过⊙ O 上的点 C , 并且 OE = OD,EC = DC, O 交直线 OD ⊙ 于 A 、 B 两点,连接 BC , AC , OC .求证: (1) OC ⊥ DE ; (2) △ ACD ∽ △CBD .

24.证明: (1)∵OE=OD,∴△ODE 是等腰三角形, 又 EC=DC,∴C 是底边 DE 上的中点, ∴ OC ⊥ DE . ························································· (3 分) (2)∵AB 是直径,∴∵ACB= 90 ,
o

(1 分)

∴∵B+∵BAC= 90 ,······································ (4 分) 又∵DCA+∵ACO= 90 ,∵ACO=∵BAC, ∴∵DCA=∵B.又∵ADC=∵CDB, ························································· (5 分) ∴△ACD∽△CBD. ······················································································ (6 分)
o

o

15. (满分 7 分)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,点 C 是⊙O 上一点, 连结 BC, 过点 C 作直线 CD⊥AB AC, 于点 D, E 是 AB 上一点, 点 直线 CE 交⊙O 于点 F, 连结 BF, 与直线 CD 交于点 G. 求证: 2 = BG BF BC

23. (本题满分 10 分)如图, 半径为 2 5 的⊙O 内有互相垂直的两条弦 AB、 相交于 P 点. CD (1)求证:PA·PB=PC·PD; (2)设 BC 的中点为 F,连结 FP 并延长交 AD 于 E,求证:EF⊥AD: (3)若 AB=8,CD=6,求 OP 的长.
C F A E P O B

D

第 23 题图 23.(1)∵∠A、∠C 所对的圆弧相同,∴∠A=∠C. ∴Rt△APD∽Rt△CPB,∴

AP = PD ,∴PA·PB=PC·PD;………………………3 分 CP PB

(2)∵F 为 BC 的中点,△BPC 为 Rt△,∴FP=FC,∴∠C=∠CPF. 又∠C=∠A,∠DPE=∠CPF,∴∠A=∠DPE.∵∠A+∠D=90°, ∴∠DPE+∠D=90°.∴EF⊥AD.………………………………………………………7 分 (3)作 OM⊥AB 于 M,ON⊥CD 于 N,同垂径定理: ∴OM2=(2 5 )2-42=4,ON2=(2 5 )2-32=11 又易证四边形 MONP 是矩形, ∴OP= OM 2 + ON 2 = 15 ………………………………………………………………7 分

23. (本小题满分 12 分) 如图, Rt△ ABC 中, 在 斜边 BC = 12,∠C = 30° D 为 BC 的中点, ABD 的外接圆 ⊙O , △ 与 AC 交于 F 点,过 A 作 ⊙O 的切线 AE 交 DF 的延长线于 E 点. (1)求证: AE ⊥ DE ; · (2)计算: AC AF 的值. A E F O B 第 23 题图 D C

8.如图 10,⊙O 是△ABC 的外接圆,BC 是⊙O 的直径,D 是劣弧 AC 的中点,BD 交 AC 于点 E. ⑴求证: AD 2 = DE ? DB

A D B C

5 5 ⑵若 BC = , CD = ,求 DE 的长 2 2

O

24.如图,A、B 为⊙O 上的点,AC 是弦,CD 是⊙O 的切线,C 为切点,AD⊥CD 于 点 D。若 AC 为∠BAD 的平分线。 求证: (1)AB 为⊙O 的直径 (2)AC2=AB·AD

24. 证明: (1)连结 BC AC 平分∠BAD ∴∠DAC=∠CAB 又 CD 切⊙O 于点 C ∴∠ACD=∠B(弦切角定理) ∵AD⊥CD ∴∠ACD+∠DAC=90°

即∠B+∠CAB=90° ∴∠BCA=90° ∴AB 是⊙O 的直径(90°圆周角所对弦是直径) (2)∵∠ACD=∠B ∠DAC=∠CAB ∴△ACD∽△ABC ∴

AB AC = AC AD

∴AC2=AB·AD

24.如图 9,AB 为⊙O 的直径,OE 交弦 AC 于点 P,交 (1)求证: OP = E M P A O B 好 图9 C

于点 M,且

=



1 BC ; 2

(2) 如果 AE 2 = EP ? EO, 且 AE = 6 5, BC = 6 , 求⊙O 的半径.

27.如图,Rt△ABC 内接于⊙O,AC=BC,∠BAC 的平分线 AD 与⊙0 交于点 D,与 BC 交于点 E, 延长 BD,与 AC 的延长线交于点 F,连结 CD,G 是 CD 的中点,连结 0G. F (1)判断 0G 与 CD 的位置关系,写出你的结论并证明; (2)求证:AE=BF; (3)若 OG ? DE = 3(2 ? 2) ,求⊙O 的面积。
A C G E O B D

24.如图,A、P、B、C 是⊙O 上的四点,∠APC =∠BPC = 60°, AB 与 PC 交于 Q 点. (1)判断△ABC 的形状,并证明你的结论;

(2)求证:

AP AQ ; = PB QB

(3)若∠ABP = 15°,△ABC 的面积为 4 3 ,求 PC 的长.

22. (12 分) 如图, ?ABC 的边 BC 为半径作⊙O 分别交 AB , 于点 F .点 E , 以 AC AD ⊥ BC 于 D , AD 交于⊙O 于 M ,交 BE 于 H 。

求证: DM 2 = DH ? DA 。

24. (本小题满分 9 分) 如图, AB 为 ⊙O 的直径,劣弧 BC = BE,BD ∥ CE ,连接 AE 并延长交 BD 于 D . 求证: (1) BD 是 ⊙O 的切线; (2) AB = AC AD . ·
2

第 24 题图 24. (本小题满分 9 分) 证明: (1)Q CB = BE ,

∴∠1 = ∠2, = AE,AC = AE ,······································ 2 分 AC

∴ AB ⊥ CE . ········································································· 3 分 Q CE ∥ BD, AB ⊥ BD .··················································· 4 分 ∴ ∴ BD 是 ⊙O 的切线. ···························································· 5 分 (2)连接 CB . Q AB 是 ⊙O 的直径,∴∠ACB = 90° ···············································································6 分 . Q ∠ABD = 90° ACB = ∠ABD . ···················································································7 分 , ∴∠ Q ∠1 = ∠2,△ ACB ∽△ ABD . ························································································8 分 ∴ AC AB ∴ = , AB 2 = AD AC . ························································································9 分 ∴ · AB AD (证法二,连接 BE ,证明略)

8.如图,AB 为⊙ O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接 AC,过点 C 作直线 CD⊥AB 交 AB 于点 D,E 是 OB 上一点,直线 CE 与⊙O 交于点 F,连接 AF 交直线 CD 于点 G.若 AC=2 2, 则 AG·AF=( ) A.10 B.12 C.8 D.16 C D O G E B F

A

24. (本小题满分 10 分) 如图, 已知 AB 是 ⊙O 的直径, C 在 ⊙O 上, 点 过点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 P , AC = PC , ∠COB = 2∠PCB . (1)求证: PC 是 ⊙O 的切线; (2)求证: BC =

1 AB ; 2

(3)点 M 是 AB 的中点, CM 交 AB 于点 N ,若 AB = 4 ,求 MN MC 的值.

C A

O N M

B

P

24. (10 分) ∴∠ 解: (1)Q OA = OC, A = ∠ACO , A

C

O N M

B

P

又Q ∠COB = 2∠A,∠COB = 2∠PCB , ∴∠A = ∠ACO = ∠PCB . 又Q AB 是 ⊙O 的直径, ∴∠ACO + ∠OCB = 90° , ∴∠PCB + ∠OCB = 90° OC ⊥ CP , ,即 而 OC 是 ⊙O 的半径, ∴ PC 是 ⊙O 的切线.··································································································· (3 分) (2)Q AC = PC, A = ∠P , ∴∠ ∴∠A = ∠ACO = ∠PCB = ∠P , 又Q ∠COB = ∠A + ∠ACO,∠CBO = ∠P + ∠PCB ,

∴∠COB = ∠CBO, BC = OC, BC = ∴ ∴
(3)连接 MA,MB ,

1 AB . ····················································· (6 分) 2

Q 点 M 是 AB 的中点,∴ AM = BM ,∴∠ACM = ∠BCM ,
而 ∠ACM = ∠ABM ,∴∠BCM = ∠ABM ,而 ∠BMN = ∠BMC ,

∴△MBN ∽△MCB ,∴

BM MN 2 = ,∴ BM = MN MC , MC BM

又Q AB 是 ⊙O 的直径, AM = BM ,

∴∠AMB = 90° AM = BM . ,

Q AB = 4, BM = 2 2 ,∴ MN MC = BM 2 = 8 . ·············································· (10 分) ∴

25. (本题满分6分) 如图8,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点, CD ⊥ AB 于D,且AB =8,DB=2. (1)求证:△ABC∽△CBD; (2)求图中阴影部分的面积(结果精确到0.1,参考数据

π ≈ 3.14 , 3 ≈ 1.73 ).

图8 25. (1)证明:∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB= 90 ,又 CD ⊥ AB ,∴∠CDB= 90 …………………………1 分
o o

在△ABC 与△CBD 中, ∠ACB=∠CDB= 90 ,∠B=∠B, ∴△ABC∽△CBD……………………………3 分
o

(2)解:∵△ABC∽△CBD∴ ∴ CB = DB ? AB
2

CB AB = . DB CB

∵AB=8,DB=2, ∴CB=4.

在 Rt△ABC 中, AC = ∴ S ?ABC = ∴ S阴影部分

AB 2 ? BC 2 = 64 ? 16 = 4 3 , …………4 分

1 1 CB × AC = × 4 × 4 3 = 8 3 …………………………5 分 2 2 1 = π × 4 2 ? S ?ABC = 8(π ? 3 ) = 11.28 ≈ 11.3 …………6 分 2

[来源:Z|xx|k.Com]

21.(8 分)如图,Rt△BDE 中,∠BDE=90°,BC 平分∠DBE 交 DE 于点 C,AC⊥CB 交 BE 于 点 A,△ABC 的外接圆的半径为 r. (1)求证: BC ? BD = r ? ED ; (2)若 BD=3,DE=4,求 AE 的长.
[来源:学科网 ZXXK]

23.(本题满分 10 分)如图,圆 O 的直径为 5,在圆 O 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和动 点 P,已知 BC∶CA=4∶3,点 P 在半圆弧 AB 上运动(不与 A、B 重合),过 C 作 CP 的垂 线 CD 交 PB 的延长线于 D 点 (1)求证:AC·CD=PC·BC; (2)当点 P 运动到 AB 弧中点时,求 CD 的长; (3)当点 P 运动到什么位置时,△PCD 的面积最大?并求这个最大面积 S.
C D O B

A P

第 23 题图

23.解:(1)∵AB 为直径,∴∠ACB=90°.又∵PC⊥CD,∴∠PCD=90°. 而∠CAB=∠CPD,∴ △ABC∽△PCD.∴

AC = BC . CP CD

∴AC·CD=PC·BC;………………………………………………………………………3 分

C O E P B

D

A

第 23 题图 (2) 当点 P 运动到 AB 弧中点时,过点 B 作 BE⊥PC 于点 E . ∵P 是 AB 中点,∴∠PCB=45°,CE=BE= 又∠CAB=∠CPB,∴tan∠CPB=tan∠CAB= 从而 PC=PE+EC=

2 BC=2 2 . 2

4 .∴PE= BE 3 2 BC ) = 3 2 . = ( 3 tan ∠CPB 4 2 2

7 2 .由(1)得 CD= 4 PC= 14 2 …………………………………7 分 2 3 3 1 PC·CD.由(1)可知,CD= 4 PC. 2 3

(3)当点 P 在 AB 上运动时,S△PCD= ∴S△PCD=

2 PC2.故 PC 最大时,S △PCD 取得最大值; 3 2 ×52= 50 .………………………………10 分 3 3

而 PC 为直径时最大,∴S△PCD 的最大值 S=

24. 分)如图, AB 为⊙O的直径, CD ⊥ AB 于点 E ,交 (9 ⊙O于点 D , OF ⊥ AC 于点 F . (1)试说明△ABC∽△DBE; (2)当∵A=30°,AF= 3 时,求⊙O中劣弧 的长. A F O E

C

B

D 25. (本题满分 10 分,每小题 5 分) 如图,AB 为⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为点 M,AE 切⊙O 于点 A,交 BC 的延长 线于点 E,连接 AC. (1)若∠B=30°,AB=2,求 CD 的长; (2)求证:AE2=EB·EC.
A M O D
?

E

C

B

25.解: (1)解法一: ∵AB 为⊙O 的直径,

解法二: ∵AB 为⊙O 的直径,∠B=30°,

∴∠ACB=90°.……1 分 分

∴AC=

1 AB=1,BC=AB?cos30°= 3 …2 2

∵在 Rt△ABC 中,∠B=30°,AB=2, ∵弦 CD⊥直径 AB 于点 M, ∴BC=AB?cos30°=2×

3 = 3 .…2 分 ∴CD=2CM,AB×CM=AC×BC……4 分 2
∴CD=2CM=2×

∵弦 CD⊥直径 AB,∠B=30°,

AC × BC AB

∴ CM=

1 3 BC= .……4 分 2 2 3 = 3 .……5 分 2

=2×

1× 3 = 3 ……5 分 2
E
C

CD=2CM= 2 ×

(其它解法请酌情给分) 其它解法请酌情给分)
A M O D
?

(2)证明:∵AE 切⊙O 于点 A,AB 为⊙O 的直径, ∴∵BAE=90°,∠ACE=∠ACB=90°, ································· 6 分 又∵∠E=∠E,

B

∴∠ACE=∵BAE=90°. ······························································································· 7 分 ∴Rt△ECA∽Rt△EAB. ································································································· 8 分 ∴

EC AE = . ··············································································································· 9 分 AE EB

∴AE2=EB?EC.············································································································10 分

20. 分)如图,点 P 为△ABC 的内心,延长 AP 交△ABC 的外接圆于 D,在 AC 延长线 (6 上有一点 E,满足 AD 2 =AB·AE,求证:DE 是⊙O 的切线.
[来源:Zxxk.Com]

第 20 题图

2 0.证明:连结 DC,DO 并延长交⊙O 于 F,连结 AF.∵AD 2 =AB·AE,∠BAD=∠DAE, ∴△BAD∽△DAE, ∴∠ADB=∠E. 又∵∠ADB=∠ACB, ∴∠ACB=∠E, BC∥DE, ∴∠CDE=∠BCD=∠BAD=∠DAC, 又∵∠CAF=∠CDF, ∴∠FDE=∠C DE+∠CDF =∠DAC+∠CDF=∠DAF=90°,故 DE 是⊙O 的切线

26. (本题满分 10 分) 如图, 是⊙O 的直径, P 为 AB 延长线上任意一点, 为半圆 ACB AB C 的中点,PD 切⊙O 于点 D,连结 CD 交 AB 于点 E. 求证: (1)PD=PE; (2) PE 2 = PA ? PB .
C

E A O

?

B

P

D

26、证明:(1)连接 OC、OD………………1 分 、 ∴OD⊥PD ,OC⊥AB ∴∠PDE= 90 —∠ODE, ∠PED=∠CEO= 90 —∠C 又∵∠C=∠ODE ∴∠PDE=∠PED ∴PE=PD (2) 连接 AD、BD ∴∠ADB= 90
o o o o

…………………………………………4 分 …………………………………………5 分 ………………………………………6 分

∵∠BDP= 90 —∠ODB,∠A= 90 —∠OBD 又∵∠OBD=∠ODB ∴ ? PDB∽ ? PAD ∴ ∴∠BDP=∠A …………………………………………………8 分 ∴ PD 2 = PA ? PB …………………………………………………10 分

o

PD PA = PB PD

∴ PE 2 = PA ? PB

24. (本小题满分 10 分) 如图 7, AB 是⊙O 的直径, AC 切⊙O 于点 A,且 AC=AB,CO 交⊙O 于点 P, CO 的延长线交⊙O 于点 F,BP 的延长线交 AC 于点 E,连接 AP 、AF. 求证: (1)AF∥BE; P E C

B

·

O

A

F

(2)△ACP∽△FCA; (3)CP=AE.
[来源:Z*xx*k.Com]

24.(本小题满分 10 分) (1)∵∠B、∠F 同对劣弧 AP ,∴ ∠B =∠F ∵BO=PO,∴∠B =∠B PO ∴∠F=∠B P F,∴AF∥BE ∴ ∠BAC=90° ∵ AB 是⊙O 的直径, ∴ ∠B PA=90° ∴∠EA P =90°—∠BE A,∠B=90°—∠BE A, ∴∠EA P =∠B=∠F 又∠C=∠C,∴△ACP∽△FCA (5 分) (6 分) (4 分)
[来源:学科网]

(1 分)

(2 分) (3 分)

(2)∵AC 切⊙O 于点 A,AB 是⊙O 的直径,

(3)∵ ∠C PE= ∠B PO=∠B=∠EA P, ∠C=∠C ∴△P C E ∽△ACP ∴

PC AC = PE AP

(7 分)

∵∠EA P=∠B,∠E P A =∠A P B =90° ∴△EA P ∽△A B P 又 AC=AB,∴ ∴

AE AB = (8 分) PE AP
(9 分) (10 分)

AE AC = PE AP PC AE 于是有 ∴CP=AE. = PE PE

8.如图 10,⊙O 是△ABC 的外接圆,BC 是⊙O 的直径,D 是劣弧 AC 的中点,BD 交 AC 于点 E. ⑴求证: AD 2 = DE ? DB

A D B C

5 5 ⑵若 BC = , CD = ,求 DE 的长 2 2

O

24.如图,A、B 为⊙O 上的点,AC 是弦,CD 是⊙O 的切线,C 为切点,AD⊥CD 于 点 D。若 AC 为∠BAD 的平分线。 求证: (1)AB 为⊙O 的直径 (2)AC2=AB·AD

24. 证明: (1)连结 BC AC 平分∠BAD ∴∠DAC=∠CAB 又 CD 切⊙O 于点 C ∴∠ACD=∠B(弦切角定理) ∵AD⊥CD ∴∠ACD+∠DAC=90° 即∠B+∠CAB=90° ∴∠BCA=90° ∴AB 是⊙O 的直径(90°圆周角所对弦是直径) (2)∵∠ACD=∠B ∠DAC=∠CAB ∴△ACD∽△ABC ∴

AB AC = AC AD

∴AC2=AB·AD

24.如图 9,AB 为⊙O 的直径,OE 交弦 AC 于点 P,交 (1)求证: OP = E M P A O B C

于点 M,且

=



1 BC ; 2

(2) 如果 AE 2 = EP ? EO, 且 AE = 6 5, BC = 6 , 求⊙O 的半径.

图9

27.如图,Rt△ABC 内接于⊙O,AC=BC,∠BAC 的平分线 AD 与⊙0 交于点 D,与 BC 交于点 E, 延长 BD,与 AC 的延长线交于点 F,连结 CD,G 是 CD 的中点,连结 0G. F (1)判断 0G 与 CD 的位置关系,写出你的结论并证明; (2)求证:AE=BF; (3)若 OG ? DE = 3(2 ? 2) ,求⊙O 的面积。
A C G E O B D

24.已知:如图,AB 是⊙O 的直径,AD 是弦,OC 垂直 AD 于 F 交⊙O 于 E, 连结 DE、BE,且∠C=∠BED. (1)求证:AC 是⊙O 的切线; (2)若 OA=10,AD=16,求 AC 的长.

C

D F B O

E

A

24. (1)证明:∵∠BED=∠BAD,∠C=∠BED ∴∠BAD=∠C ····························································································· 1 分 ∵OC⊥AD 于点 F ∴∠BAD+∠AOC=90o ················································································ 2 分 ∴∠C+∠AOC=90o ∴∠OAC=90o ∴OA⊥AC ∴AC 是⊙O 的切线. (2)∵OC⊥AD 于点 F,∴AF= ················································································· 4 分

1 AD=8 ······································································ 5 分 2
2 2

在 Rt△OAF 中,OF= OA ? AF =6 ································································ 6 分 ∵∠AOF=∠AOC,∠OAF=∠C

∴△OAF∽△OCA ·································································································· 7 分 ∴

OA OF = OC OA

即 OC=

OA 2 100 50 = = ···················································································· 8 分 OF 6 3
2 2

在 Rt△OAC 中,AC= OC ? OA =

40 . ······················································ 10 分 3

20.如图 8,半圆的直径 AB = 10 ,点 C 在半圆上, BC = 6 . (1)求弦 AC 的长; (2)若 P 为 AB 的中点, PE ⊥ AB 交 AC 于点 E,求 PE 的长. C E

A 20.解:Q AB 是半圆的直径,点 C 在半圆上, ∴∠ACB = 90° . 在 Rt△ ABC 中, AC =

P (图 8)

B

AB 2 ? BC 2 = 102 ? 62 = 8 ··········································· (3 分)

(2)Q PE ⊥ AB , ∴∠APE = 90° Q ∠ACB = 90° . , ∴∠APE = ∠ACB . 又Q ∠PAE = ∠CAB , ∴△ AEP ∽△ ABC , ··································································································· (6 分)

PE AP = ·················································································································· (7 分) BC AC 1 10 × PE 2 ∴ = 6 8 30 15 ∴ PE = = . ········································································································ (8 分) 8 4


20.如图, PAB,PCD 是 (1)求证: CD =

O 的两条割线, AB 是 O 的直径, AC ∥ OD .
(先填后证) .

(2)若

PA 5 AB = ,试求 的值. PC 6 AD
D C P A O B

20. (1)求证: CD = BD . ························································································· (1 分) 证明:Q AC ∥ OD , D ∴∠1 = ∠2 . C Q OA = OD , 2 1 3 ∴∠2 = ∠3 .………………(2 分) P B A O ∴∠1 = ∠3 .

∴ CD = BD . ∴ CD = BD . ················································································································ (3 分) (2)解:Q AC ∥ OD , PA AO ∴ = . ·············································································································· (4 分) PC CD PA 5 Q = , CD = BD , PC 6 AO 5 ∴ = , ·················································································································· (5 分) BD 6 Q AB = 2 AO , AB 5 ∴ = .··················································································································· (6 分) BD 3 Q AB 是 O 的直径,
∴∠ADB = 90o , ∴ AD 2 + BD 2 = AB 2 . ································································································· (7 分)


AB 5 = ,设 AB = 5k,BD = 3k , BD 3 ∴ AD = 4k . AB 5 ∴ = . ·················································································································· (8 分) AD 4

17.如图,△ABC 内接于⊙O,过 C 作 CD∥AB 与⊙O 相交于 D 点,E 是 CD 上一点,且 A 满足 AD=DE,连接 BD 与 AE 相交于点 F。求证:△ADF∽△ABC。
D F O E C B

21.(本题满分 8 分) 如图,AB 是⊙O 的直径,AD 与⊙O 相切于点 A,过 B 点作 BC∥OD 交⊙O 于点 C,连接 OC、AC,AC 交 OD 于点 E. (1)求证:△COE∽△ABC; (2)若 AB=2,AD= 3 ,求图中阴影部分的面积. B C O E

A

D

25. (本小题满分 10 分) 如图,AB 为⊙O 的直径,CD 与⊙O 相切于点 C,且 OD⊥BC,垂足为 F,OD 交⊙O 于点 E. (1)证明:BE=CE (2)证明:∠D=∠AEC; (3)若⊙O 的半径为 5,BC=8,求△CDE 的面积.
O F E D B (第25题图) C A

25.解: (1)∵BC 是⊙O 的弦,半径 OE⊥BC ∴BE=CE (2)连结 OC ∵CD 与⊙O 相切于点 C ∴∵OCD=90° ………………………3 分
C A

…………………2 分

∴∵OCB+∵DCF=90°
O F E D B (第25题图)

∵∵D+∵DCF=90° ∴∵OCB=∵D ∵OB=OC ∴∵OCB=∵B ∵∵B=∵AEC ∴∵D=∵AEC ………………………5 分 (3)在 Rt△OCF 中,OC=5,CF=4 ∴ OF = ………………………4 分

OC 2 ? CF 2 = 5 2 ? 4 2 = 3

…………6 分

∵∵COF=∵DOC,∵OFC=∵OCD ∴Rt△OCF∽Rt△ODC ………………………………8 分

OD OC OC 2 5 2 25 = ,即 OD = = = ∴ OC OF OF 3 3
∴ DE = OD ? OE = ∴ S ?CDE

…………9 分

25 10 ?5 = 3 3 1 1 10 20 = ? DE ? CF = × × 4 = 2 2 3 3

…………10 分

注:本小题也可利用 Rt△OCD∽Rt△ACB 等,以及 S△CDE=S△OCD-S△OCE 求解.

24.如图,A、P、B、C 是⊙O 上的四点,∠APC =∠BPC = 60°, AB 与 PC 交于 Q 点. (1)判断△ABC 的形状,并证明你的结论; A P Q O B (3)若∠ABP = 15°,△ABC 的面积为 4 3 ,求 PC 的长. C

AP AQ (2)求证: = ; PB QB

24. (1) ∵ ∠ABC =∠APC = 60°,∠BAC =∠BPC = 60°, ∴ ∠ACB = 180°-∠ABC-∠BAC = 60°, ∴ △ABC 是等边三角形. (2)如图,过 B 作 BD∥PA 交 PC 于 D,则 ∠BDP =∠APC = 60°. 又 ∵ ∠AQP =∠BQD,∴ △AQP∽△BQD, R H G M

AQ AP = . QB BD

N

AQ AP = . ∵ ∠BPD =∠BDP = 60°, ∴ PB = BD. ∴ QB PB

(3)设正△ABC 的高为 h,则 h = BC· sin 60°. ∵

1 1 BC · h = 4 3 , 即 BC · BC· sin 60° = 4 3 ,解得 BC = 4. 2 2

连接 OB,OC,OP,作 OE⊥BC 于 E. 由△ABC 是正三角形知∠BOC = 120°,从而得∠OCE = 30°, ∴ OC =

CE 4 = . cos 30° 3

由∠ABP = 15° 得 ∠PBC =∠ABC +∠ABP = 75°,于是 ∠POC = 2∠PBC = 150°. ∴ ∠PCO =(180°-150°)÷2 = 15°. 如图,作等腰直角△RMN,在直角边 RM 上取点 G,使∠GNM = 15°,则∠RNG = 30°, 作 GH⊥RN,垂足为 H.设 GH = 1,则 cos∠GNM = cos15° = MN. ∵ 在 Rt△GHN 中,NH = GN · cos30°,GH = GN · sin30°. 于是 RH = GH,MN = RN · sin45°,∴ cos15° =

2+ 6 . 4 2 6 . 3

在图中,作 OF⊥PC 于 E,∴ PC = 2FD = 2 OC ·cos15° = 2 2 +


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