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天柱县第一中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

天柱县第一中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知等差数列 ?an ? 的前项和为 Sn ,且 a1 ? ?20 ,在区间 ? 3,5? 内任取一个实数作为数列 ?an ? 的公差,则 Sn 的最小值仅为 S6 的概率为( A. ) C. ) D.13 )

座号_____

姓名__________

分数__________

1 5
B.9

B.

1 6
C.11

3 14

D.

1 3

2. (2015 秋新乡校级期中)已知 x+x﹣1=3,则 x2+x﹣2 等于( A.7

3. 过抛物线 y2=﹣4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2),若 x1+x2=﹣6,则|AB|为( A.8 B.10 C.6 D.4 ) C.120 种 D.140 种

4. 高三(1)班从 4 名男生和 3 名女生中推荐 4 人参加学校组织社会公益活动,若选出的 4 人中既有男生又 有女生,则不同的选法共有( A.34 种 B.35 种

5. 高考临近,学校为丰富学生生活,缓解高考压力,特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛.由 于爱好者众多,高三学生队队员指定由 5 班的 6 人、16 班的 8 人、33 班的 10 人按分层抽样构成一个 12 人的 篮球队.首发要求每个班至少 1 人,至多 2 人,则首发方案数为( A.720 B.270 C.390 D.300 6. 有 30 袋长富牛奶,编号为 1 至 30,若从中抽取 6 袋进行检验,则用系统抽样确定所抽的编号为( A.3,6,9,12,15,18 B.4,8,12,16,20,24 C.2,7,12,17,22,27 D.6,10,14,18,22,26 7. 已知函数 f(x)=2x﹣2,则函数 y=|f(x)|的图象可能是( ) ) )

A.

B.

C.

D.

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8. 已知函数 F ( x) ? e x 满足 F ( x) ? g ( x) ? h( x) ,且 g ( x) , h( x) 分别是 R 上的偶函数和奇函数, 若 ?x ? (0, 2] 使得不等式 g (2 x) ? ah( x) ? 0 恒成立,则实数的取值范围是( A. (??, 2 2) 角的正切值为( A. ) B. C. D. ) ) B. (??, 2 2] C. (0, 2 2] 9. 在直三棱柱中,∠ACB=90°,AC=BC=1,侧棱 AA1= ) D. (2 2, ??)

,M 为 A1B1 的中点,则 AM 与平面 AA1C1C 所成

10.设 a=sin145°,b=cos52°,c=tan47°,则 a,b,c 的大小关系是( A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.a<c<b

11.已知集合 A ? {?2, ?1,1, 2, 4} , B ? { y | y ? log2 | x | ?1, x ? A} ,则 A ? B ? ( A. {?2, ?1,1} B. {?1,1, 2} C. {?1,1} D. {?2, ?1} 【命题意图】本题考查集合的交集运算,意在考查计算能力. 12.已知函数 f(x)满足:x≥4,则 f(x)= A. B. C. D.

;当 x<4 时 f(x)=f(x+1),则 f(2+log23)=(



二、填空题
13.已知函数 f ( x) ?

2 tan x ? ,则 f ( ) 的值是_______, f ( x ) 的最小正周期是______. 2 1 ? tan x 3
的解集为 .

【命题意图】本题考查三角恒等变换,三角函数的性质等基础知识,意在考查运算求解能力. 14.不等式

15.已知平面上两点 M(﹣5,0)和 N(5,0),若直线上存在点 P 使|PM|﹣|PN|=6,则称该直线为“单曲型 直线”,下列直线中: ①y=x+1 ②y=2 ③y= x ④y=2x+1 是“单曲型直线”的是 .

16.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中① BM 与 ED 平行;② CN 与 BE 是异面直线; ③ CN 与 BM 成 60 ? 角;④ DM 与 BN 是异面直线. 以上四个命题中,正确命题的序号是 (写出所有你认为正确的命题).

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17. 【2017-2018 第一学期东台安丰中学高三第一次月考】 函数 f ? x ? ? lnx ? x 的单调递增区间为__________.
2

18.已知向量 a, b 满足 a ? 4 , | b |? 2 , (a ? b) ? (3a ? b) ? 4 ,则 a 与 b 的夹角为

2

.

【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识,突出对向量的基础运算及化归能力的考查,属于容易题.

三、解答题
19.已知函数 (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的值域. (a≠0)是奇函数,并且函数 f(x)的图象经过点(1,3),

20.在平面直角坐标系中,△ ABC 各顶点的坐标分别为:A(0,4);B(﹣3,0),C(1,1) (1)求点 C 到直线 AB 的距离; (2)求 AB 边的高所在直线的方程.

21.(本小题满分 12 分)如图, 矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M ? 2,0? , AB 边所在直线的方

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程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 点 T ? ?1,1? 在 AD 边所在直线上. (1)求 AD 边所在直线的方程; (2)求矩形 ABCD 外接圆的方程.

22.已知函数 f(x)=

(a>0)的导函数 y=f′(x)的两个零点为 0 和 3.

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若函数 f(x)的极大值为 ,求函数 f(x)在区间[0,5]上的最小值.

23.在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 P 和 Q.

且斜率为 k 的直线 l 与椭圆

有两个不同的交点

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(Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A,B,是否存在常数 k,使得向量 如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由. 与 共线?

24.定义在 R 上的增函数 y=f(x)对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),则 (1)求 f(0); (2)证明:f(x)为奇函数;
x x x (3)若 f(k?3 )+f(3 ﹣9 ﹣2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围.

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天柱县第一中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】

考 点:等差数列. 2. 【答案】A
1 【解析】解:∵x+x﹣ =3, 2 2 1 2 2 则 x +x﹣ =(x+x﹣ ) ﹣2=3 ﹣2=7.

故选:A. 【点评】本题考查了乘法公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 3. 【答案】A 【解析】解:由题意,p=2,故抛物线的准线方程是 x=1,
2 ∵抛物线 y =﹣4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点

∴|AB|=2﹣(x1+x2), 又 x1+x2=﹣6 ∴∴|AB|=2﹣(x1+x2)=8 故选 A 4. 【答案】A 【解析】解:从 7 个人中选 4 人共 =34 种. 故选:A. 【点评】本题考查了排列组合题,间接法是常用的一种方法,属于基础题 5. 【答案】C 解析:高三学生队队员指定由 5 班的 6 人、16 班的 8 人、33 班的 10 人按分层抽样构成一个 12 人的篮球队. 各个班的人数有 5 班的 3 人、16 班的 4 人、33 班的 5 人, 种选法,只有男生的选法有 种,所以既有男生又有女生的选法有 ﹣

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首发共有 1、2、2;2、1、2;2、2、1 类型; 所求方案有: 故选:C. 6. 【答案】C 【解析】解:从 30 件产品中随机抽取 6 件进行检验, 采用系统抽样的间隔为 30÷6=5, 只有选项 C 中编号间隔为 5, 故选:C. 7. 【答案】B 【解析】解:先做出 y=2 的图象,在向下平移两个单位,得到 y=f(x)的图象, 再将 x 轴下方的部分做关于 x 轴的对称图象即得 y=|f(x)|的图象. 故选 B 【点评】本题考查含有绝对值的函数的图象问题,先作出 y=f(x)的图象,再将 x 轴下方的部分做关于 x 轴 的对称图象即得 y=|f(x)|的图象. 8. 【答案】B 【解析】 试题分析:因为函数 F ? x ? ? e 满足 F ? x ? ? g ? x ? ? h ? x ? ,且 g ? x ? , h ? x ? 分别是 R 上的偶函数和奇函
x
x

+

+

=390.

数,? e ? g ? x ? ? h ? x ? , e
x

?x

? g ? x ? ? h ? x ? ,? g ? x ? ?

x ?x e 2 x ? e ?2 x ? e ? e ? ? 2 e2 x ? e?2 x e x ? e? x ? a? ? 0 恒成立, ? a ? x ? x ? g ? 2x ? ? ah ? x ? ? 0 恒成立, 即 e ?e e x ? e? x 2 2 2 ? ? e x ? e? x ? ? x ? x , 设 t ? e x ? e? x ,则函数 t ? e x ? e? x 在 ? 0, 2? 上单调递增,? 0 ? t ? e2 ? e?2 , 此时不等 e ?e 2 2 式 t ? ? 2 2 ,当且仅当 t ? ,即 t ? 2 时, 取等号,? a ? 2 2 ,故选 B. t t 2

e x ? e? x e x ? e? x , h ? x? ? ,? ?x ? ? 0, 2? 使得不等式 2 2

考点:1、函数奇偶性的性质;2、不等式恒成立问题及函数的最值. 【方法点晴】本题主要考查函数奇偶性的性质、不等式恒成立问题及函数的最值,属于难题.不等式恒成立问 题常见方法:①分离参数 a ? f ( x) 恒成立( a ? f ( x)min 即可)或 a ? f ( x) 恒成立( a ? f ( x)max 即可);② 数形结合;③讨论最值 f ( x)min ? 0 或 f ( x)max ? 0 恒成立;④讨论参数 .本题是利用方法①求得的最大值的. 9. 【答案】D

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【解析】解:双曲线

(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x

联立方程组

,解得 A(



),B(

,﹣

),

设直线 x=

与 x 轴交于点 D

∵F 为双曲线的右焦点,∴F(C,0) ∵△ABF 为钝角三角形,且 AF=BF,∴∠AFB>90°,∴∠AFD>45°,即 DF<DA ∴c﹣ <
2 2 2 2 2 2 ,b<a,c ﹣a <a ∴c <2a ,e <2,e<

又∵e>1

∴离心率的取值范围是 1<e< 故选 D 【点评】本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法,关键是找到含 a,c 的齐次式,再解不等式.

10.【答案】A 【解析】解:∵a=sin145°=sin35°,b=cos52°=sin38°,c=tan47°>tan45°=1, ∴y=sinx 在(0,90°)单调递增, ∴sin35°<sin38°<sin90°=1, ∴a<b<c 故选:A 【点评】本题考查了三角函数的诱导公式的运用,正弦函数的单调性,难度不大,属于基础题. 11.【答案】C 【解析】当 x ?{?2, ?1,1, 2, 4} 时, y ? log2 | x | ?1?{?1,1,0} ,所以 A ? B ? {?1,1} ,故选 C. 12.【答案】A 【解析】解:∵3<2+log23<4,所以 f(2+log23)=f(3+log23) 且 3+log23>4 ∴f(2+log23)=f(3+log23) = 故选 A.

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二、填空题
13.【答案】 ? 3 , ? .

? ? 2 tan x ? 2? ? x ? ? k? ? tan 2 x ,∴ f ( ) ? tan ? ? 3 ,又∵ ? 【解析】∵ f ( x ) ? ,∴ f ( x ) 的定义域为 2 1 ? tan 2 x 3 3 ?1 ? tan 2 x ? 0 ?
? k? ) ? ( ? k? , ? k? ) , k ? Z ,将 f ( x) 的图象如下图画出,从而 2 4 4 4 4 2 可知其最小正周期为 ? ,故填: ? 3 , ? . (?

?

? k? , ?

?

? k? ) ? ( ?

?

? k? ,

?

?

?

14.【答案】 (0,1] . 【解析】解:不等式 故答案为:(0,1]. 【点评】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法,属于基础题. 15.【答案】 ①② . 【解析】解:∵|PM|﹣|PN|=6∴点 P 在以 M、N 为焦点的双曲线的右支上,即 ,(x>0). ,即 ,求得 0<x≤1,

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对于①,联立

2 ,消 y 得 7x ﹣18x﹣153=0,

2 ∵△=(﹣18) ﹣4×7×(﹣153)>0,∴y=x+1 是“单曲型直线”.

对于②,联立

2 ,消 y 得 x =

,∴y=2 是“单曲型直线”.

对于③,联立

,整理得 144=0,不成立.∴

不是“单曲型直线”.

对于④,联立

2 ,消 y 得 20x +36x+153=0,

2 ∵△=36 ﹣4×20×153<0∴y=2x+1 不是“单曲型直线”.

故符合题意的有①②. 故答案为:①②. 【点评】本题考查“单曲型直线”的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意双曲线定义的合理运用. 16.【答案】③④ 【解析】 试题分析:把展开图复原成正方体,如图,由正方体的性质,可知:① BM 与 ED 是异面直线,所以是错误 的; ② DN 与 BE 是平行直线, 所以是错误的; ③从图中连接 AN , AC , 由于几何体是正方体, 所以三角形 ANC 为等边三角形,所以 AN , AC 所成的角为 60 ? ,所以是正确的;④ DM 与 BN 是异面直线,所以是正确的.

考点:空间中直线与直线的位置关系. 17.【答案】 ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ? ?

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【解析】 18.【答案】 【

2? 3
解 析 】

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)∵函数 ∴ , 是奇函数,则 f(﹣x)=﹣f(x)

∵a≠0,∴﹣x+b=﹣x﹣b,∴b=0(3 分) 又函数 f(x)的图象经过点(1,3), ∴f(1)=3,∴ ∴a=2(6 分) (2)由(1)知 当 x>0 时, 即 时取等号(10 分) ,∴ ,即 时取等号(13 分) (12 分) ,当且仅当 (7 分) , ,∵b=0,

当 x<0 时, 当且仅当

综上可知函数 f(x)的值域为

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【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用,转化函数研究性质是问题的关键. 20.【答案】 【解析】解(1)∵ ∴根据直线的斜截式方程,直线 AB: , ,化成一般式为:4x﹣3y+12=0, ; ,

∴根据点到直线的距离公式,点 C 到直线 AB 的距离为 (2)由(1)得直线 AB 的斜率为 ,∴AB 边的高所在直线的斜率为 由直线的点斜式方程为: ∴AB 边的高所在直线的方程为 3x+4y﹣7=0.
2 21.【答案】(1) 3x ? y ? 2 ? 0 ;(2) ? x ? 2 ? ? y ? 8 . 2

,化成一般式方程为:3x+4y﹣7=0,

【解析】 试题分析:(1)由已知中 AB 边所在直线方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,且 AD 与 AB 垂直,结合点 T ? ?1,1? 在直线

AD 上,可得到 AD 边所在直线的点斜式方程,即可求得 AD 边所在直线的方程;(2)根据矩形的性质可得
矩形 ABCD 外接圆圆心纪委两条直线的交点 M ? 2,0? ,根据(1)中直线,即可得到圆的圆心和半径,即可求 得矩形 ABCD 外接圆的方程.

(2)由 ?

因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M ? 2,0? ,

?x ? 3y ? 6 ? 0 解得点 A 的坐标为 ? 0, ?2 ? , ?3x ? y ? 2 ? 0

所以 M 为距形 ABCD 外接圆的圆心, 又 AM ?
2

? 2 ? 0? ? ? 0 ? 2?
2

2

?2 2,

2 从而距形 ABCD 外接圆的方程为 ? x ? 2 ? ? y ? 8 .1

考点:直线的点斜式方程;圆的方程的求解. 【方法点晴】本题主要考查了直线的点斜式方程、圆的方程的求解,其中解答中涉及到两条直线的交点坐标,

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圆的标准方程,其中 (1) 中的关键是根据已知中 AB 边所在的直线方程以及 AD 与 AB 垂直, 求出直线 AD 的 斜率;(2)中的关键是求出 A 点的坐标,进而求解圆的圆心坐标和半径,着重考查了学生分析问题和解答问 题的能力,以及推理与运算能力. 22.【答案】 【解析】解:f′(x)=
2 令 g(x)=﹣ax +(2a﹣b)x+b﹣c 2 函数 y=f′(x)的零点即 g(x)=﹣ax +(2a﹣b)x+b﹣c 的零点 2 即:﹣ax +(2a﹣b)x+b﹣c=0 的两根为 0,3



解得:b=c=﹣a,

令 f′(x)>0 得 0<x<3 所以函数的 f(x)的单调递增区间为(0,3), (2)由(1)得: 函数在区间(0,3)单调递增,在(3,+∞)单调递减, ∴ ∴a=2, ∴ ; , ,

∴函数 f(x)在区间[0,4]上的最小值为﹣2. 23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由已知条件,直线 l 的方程为 代入椭圆方程得 整理得 . ① , . ,

直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q,等价于①的判别式△= 解得 或 .即 k 的取值范围为

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(Ⅱ)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 由方程①, 又 而 所以 与 共线等价于 . , . ② . ③ . ,



将②③代入上式,解得 由(Ⅰ)知 或

故没有符合题意的常数 k. 【点评】本题主要考查直线和椭圆相交的性质,2 个向量共线的条件,体现了转化的数学而思想,属于中档题. 24.【答案】 【解析】解:(1)在 f(x+y)=f(x)+f(y)中, 令 x=y=0 可得,f(0)=f(0)+f(0), 则 f(0)=0, (2)令 y=﹣x,得 f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x), 又 f(0)=0,则有 0=f(x)+f(﹣x), 即可证得 f(x)为奇函数; (3)因为 f(x)在 R 上是增函数,又由(2)知 f(x)是奇函数, f(k?3x)<﹣f(3x﹣9x﹣2)=f(﹣3x+9x+2),
x x x 即有 k?3 <﹣3 +9 +2,得

, ,即 有最小值 2 ﹣1, 即可,

又有
x x

所以要使 f(k?3 )+f(3 ﹣9 ﹣2)<0 恒成立,只要使 故 k 的取值范围是(﹣∞,2 ﹣1).

x

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