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立体几何平行证明题常见模型及方法


1、设图1是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A . 9? ? 42 D. ? ? 18 2、下图所示为一几何体的三视图,那么这个几何体的体积为 ________.

? ? 1 8C . B . 3 6

9 ? ? 12 2

9 2

3、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为______ ______。

4、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积 等于 ( ... A. 3 B.2 C. 2 3 D.6

)

立体几何平行证明题常见模型及方法
证明空间线面平行需注意以下几点: ①由已知想性质,由求证想判定,即分析法与综合法相结合寻找证题思路。 ②立体几何论证题的解答中,利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方 法之一。

1

③明确何时应用判定定理, 何时应用性质定理, 用定理时要先申明条件再由定理得出相应结 论。

平行转化:线线平行

线面平行

面面平行;

类型一: 线面平行证明 (中位线法, 构造平行四边形法, 面面平行法)
(1) 方法一:中位线法 以锥体为载体

例 1:如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中, 点 E 是 PD 的中点. 求证: PB ∥平面 AEC ;

P

E

A

B

D
变式 1:若点 M 是 PC 的中点, 求证:PA||平面 BDM;

C

变式 2:若点 M 是 PA 的中点,求证:PC||平面 BDM。 变式 3 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, , 点 M 是 SD 的中点, 求证: SB // 平面 ACM

A _

B _

C _
S

(2) 以柱体为载体

2

例2

在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 ,D 为 BC 的中点,求证: AC 1 ||平面 AB 1D

变式 1 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,若 E 是 CD 的中点,求证: B 1 D ||平面 BC1E 变式 2 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,若 E 是 CD 的中点,求证: B 1 D ||平面 BC1E 变式 3 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1=错误!未找到引用 源。 ,AC=BC=2,∠C=90°,点 D 是 A1C1 的中点. 求证:BC1//平面 AB1D;

方法 2:构造平行四边形法

例 1 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, E 、 F 分别为 AB,SC 的
中点.证明○ 1 EF ∥平面 SAD 2 BF ∥ 平面 SDE ○ S F

D A 变式 1:若 E 、 F 分别为 AD,SB 的中点.证明 EF ∥ 平面 SCD E B

C

变式 2

若 E 、 F 分别为 SD,AB 的中点.证明 EF ∥ 平面 SCB

例 2 如图,在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB//CD,AB=4,
3

D1 A1

C1 B1

BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点. 设 F 是棱 AB 的中点,证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1

w.w.w.k.s .5.u.c.o.m

方法 3:面面平行法 (略)
1 如 图 , 已 知 AB ? 平 面 A C D , DE ? 平 面 A C D , △ ACD 为 等 边 三 角 形 , B E

AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中点.
(1) 求证: AF // 平面 BCE ; (2) 求证:平面 BCE ? 平面 CDE ;

A

C

F

D

垂直证明题常见模型及方法
证明空间线面垂直需注意以下几点: ①由已知想性质,由求证想判定,即分析法与综合法相结合寻找证题思路。 ②立体几何论证题的解答中,利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方 法之一。 ③明确何时应用判定定理, 何时应用性质定理, 用定理时要先申明条件再由定理得出相应结 论。

垂直转化:线线垂直 基础篇

线面垂直

面面垂直;

类型一:线线垂直证明(共面垂直、异面垂直)
4

(1) 共面垂直: 实际上是平面内的两条直线的垂直 (只需要同学们掌握以下几种模型) 1 ○ 等腰(等边)三角形中的中线 3 勾股定理中的三角形 ○

2 菱形(正方形)的对角线互相垂直 ○ 4 ○

1:1:2 的直角梯形中 ○ 5 利用相似或全等证明直角。

例:在正方体 ABCD ? A ? OE 1B 1C1D 1 中,O 为底面 ABCD 的中心,E 为 CC1 ,求证: AO 1

(2) 异面垂直 (利用线面垂直来证明,高考中的意图) 例 1 在正四面体 ABCD 中,求证 AC ? BD

变 式 1 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 A B C D是 矩 形 , 已 知

AB ? 3, AD ? 2, PA ? 2, PD ? 2 2, ?PAB ? 60? .
证明: AD ? PB ;

变式 3 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,⊿ PAB 是等边三角形, ∠PAC=∠PBC=90 ?证明:AB⊥PC

类型二:线面垂直证明 方法○ 1 利用线面垂直的判断定理
5

例 2:在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,O 为底面 ABCD 的中心,E 为 CC1 ,求证:

AO ? 平面BDE 1

变式 1:在正方体 ABCD ? A ? 平面BDC1 1B 1C1D 1 中,,求证: AC 1 变式 2:如图:直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AC=BC=AA1=2,∠ACB=90?.E 为 BB1 的中点,D 点在 AB 上且 DE= 3 . 求证:CD⊥平面 A1ABB1;

变 式 3 : 如 图 , 在 四 面 体 ABCD 中 , O 、 E 分 别 是 BD 、 BC 的 中 点 ,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ? 2.
求证: AO ? 平面 BCD;

A

D O B E C

2 ○

利用面面垂直的性质定理

例 3:在三棱锥 P-ABC 中, PA ? 底面ABC , 面PAC ? 面PBC , 求证:BC ? 面PAC 。

方法点拨:此种情形,条件中含有面面垂直。 变式 1, 在四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD 是正方形,侧面 PAB 是等腰三角形,且

面PAB ? 底面ABCD ,求证: BC ? 面PAB
6

类型 3:面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直) 例 1 如图,已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,△ ACD 为等边三角形,

B

E

AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD 的中点.
(1) 求证: AF // 平面 BCE ; (2) 求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; C F D A

例 2

如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ? 底 面 A B C D ,

P E

AB ? AD,AC ? CD,?ABC ? 60° , PA ? AB ? BC ,E 是 PC 的
中点. (1)证明 CD ? AE ; (2)证明 PD ? 平面 ABE ;

A B

D

C

变 式 1 已 知 直 四 棱 柱 ABCD — A ′ B ′ C ′ D ′ 的 底 面 是 菱 形 , ?ABC ? 60? , E、 F 分别是棱 CC′与 BB′上的点, 且 EC=BC=2FB=2. (1)求证:平面 AEF⊥平面 AA′C′C;

7


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