fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

2018届高三数学一轮复习第九章平面解析几何第十节圆锥曲线的综合问题课件理


理数
课标版

第十节 圆锥曲线的综合问题

考点突破
考点一 定点、定值问题 典例1
2

x2 y 2 (2016北京,19,14分)已知椭圆C:? +?=1(a>b>0)的离心率为 a 2 b2

3 ,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1. ?

(1)求椭圆C的方程; (2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求

证:|AN|· |BM|为定值.

解析

解得a=2,b=1.

?c 3 , ? ? 2 ?a ?1 (1)由题意得 ? 2 ab ? 1, ? 2 2 2 ?a ? b ? c , ? ?

?

x2 2 所以椭圆C的方程为? +y =1. 4

(2)证明:由(1)知,A(2,0),B(0,1).
2 2 设P(x0,y0),则? +4? =4. x0 y0

y0 当x0≠0时,直线PA的方程为y=? (x-2). x0 ? 2 2 y0 2 y0 . 令x=0,得yM=-? ,从而|BM|=|1-yM|=? 1? x0 ? 2

x0 ? 2

0 直线PB的方程为y=? x+1. 0 2? 令y=0,得xN=-? ,从而|AN|=|2-xN|=?

y ?1 x0

x y0 ? 1

x0 . y0 ? 1

所以|AN|· |BM|=? 2?

x0 2 y0 · 1? y0 ? 1 x0 ? 2

?

2 2 x0 ? 4 y0 ? 4 x0 y0 ? 4 x0 ? 8 y0 ? 4 = x0 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 2

?

4 x0 y0 ? 4 x0 ? 8 y0 ? 8 =? x0 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 2

=4. 当x0=0时,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2, 所以|AN|· |BM|=4. 综上,|AN|· |BM|为定值.

方法技巧
1.定点问题的常见解法 (1)根据题意选择参数,建立一个含参数的直线系或曲线系方程,经过分 析、整理,对方程进行等价变形,以找出适合方程且与参数无关的坐标 (该坐标对应的点即为所求定点). (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.

2.求定值问题常见的方法
(1)从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关; (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.

1-1

x2 2 已知椭圆C:? +y =1(a>1)的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M: a2

(x-3)2+(y-1)2=3相切. (1)求椭圆C的标准方程;
AQ =0,求证:直线l AP · (2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P,Q两点,且? ?
?

?

过定点,并求出该定点的坐标.
3. 解析 (1)圆M的圆心为(3,1),半径r=?

由题意知A(0,1),F(c,0), 则直线AF的方程为? +y=1,即x+cy-c=0, 由直线AF与圆M相切,得? 2
|3? c ?c | c ?1

x c

=?3 ,

解得c2=2,所以a2=c2+1=3,

x2 2 故椭圆C的标准方程为? +y =1. 3

AQ =0,知AP⊥AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,由A(0, AP · (2)解法一:由? ?

?

?

1)可设直线AP的方程为y=kx+1(k≠0),则直线AQ的方程为y=-? x+1(k≠ 0).
x2 2 将y=kx+1代入椭圆C的方程? +y =1中, 3

1 k

整理,得(1+3k2)x2+6kx=0,
6k , 2 1 ? 3k ? ? 6k 6k 2 , ? ? 1 ∴P ? ? ?, 2 2 1 ? 3k ? 1 ? 3k ?

解得x=0或x=-?

?

2 ? ?, 6 k 1 ? 3 k 即P ? ? , 2 2 ? 1 ? 3 k 1 ? 3 k ? ?

?

将上面P的坐标中的k换成-? ,
? 6k k 2 ? 3 ? 得Q ? 2 , 2 ? . ? k ?3 k ?3?

1 k

?

k 2 ? 3 1 ? 3k 2 ? 2 2 6k ? k 2 ? 3 ? k ? 3 1 ? 3 k x? 2 ∴直线l的方程为y= 6k ? , ? +? 2 6k ? k ? 3 k ? 3 ? ? ? 2 2 k ? 3 1 ? 3k k 2 ?1 1 化简得直线l的方程为y=? x-? , 4k 2 1? ? 因此直线l过定点? 0, ? ? ?. 2 ? ? ? ? 解法二:由? ? AQ =0知AP⊥AQ,从而直线PQ与x轴不垂直,故可设直线l AP ·

?

的方程为y=kx+t(t≠1),
? y ? kx ? t , ? 将其与椭圆方程联立得 ? x 2 2 ? y ? 1, ?3 ?

?

消去y,整理得(1+3k2)x2+6ktx+3(t2-1)=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则

?
? ?

?6kt ? x ? x ? , 1 2 ? ? 1 ? 3k 2 ? 2 ? x x ? 3(t ? 1) , ? 1 2 1 ? 3k 2 ?
? ?

(*)

AQ =0, AP · 由? ? AQ =(x1,y1-1)· AP · 得? ? (x2,y2-1)=(1+k2)x1x2+k(t-1)· (x1+x2)+(t-1)2=0,

将(*)代入,得t=-? .
1? ? 0, ? ∴直线l过定点? ? ?. ? 2?

1 2

考点二 最值与范围问题
典例2
x2 y 2 (2016课标全国Ⅱ,20,12分)已知椭圆E:? +?=1的焦点在x轴上, t 3

A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.

(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围. 解析 (1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.
x2 y 2 当t=4时,E的方程为? +?=1,A(-2,0).? (1分) 4 3

?
4

由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为? . 因此直线AM的方程为y=x+2.? (2分)

x2 y 2 将x=y-2代入?+?=1得7y2-12y=0. 4 3 12 12 解得y=0或y=?,所以y1=?.?(4分) 7 7 1 × 12 144 因此△AMN的面积S△AMN=2×? ?12 ×? =?.?(5分) 2 7 7 49 x2 y 2 (2)由题意,t>3,k>0,A(-?t ,0).将直线AM的方程y=k(x+?t ) 代入? +?=1得 t 3
t· (3+tk2)x2+2? tk2x+t2k2-3t=0.? (7分)

t 2 k 2 ? 3t t (3 ? tk 2 ) 由x1· (-?t )=? 2 得x1=? 2 , 3 ? tk 3 ? tk 6 t (1 ? k 2 ) 2 故|AM|=|x1+ ?t |?1 ? k = .? (8分) 2 3 ? tk 1 由题设,直线AN的方程为y=-? (x+?t ), k 6k t (1 ? k 2 ) 同理可得|AN|= .? (9分) 2 3k ? t

?

?

2 k 3 = ? , 即 ( k -2)t=3k(2k-1). 2 2 3 ? tk 3k ? t 3k (2k ? 1) 3 2 时上式不成立,因此t=? 3 当k=? .? (10分) k ?2 k 3 ? 2k 2 ? k ? 2 (k ? 2)(k 2 ? 1) k ?2 t>3等价于? 3 =? 3 <0,即? <0.? (11分) k ?2 k ?2 k3 ? 2 ?k ? 2 ? 0, ?k ? 2 ? 0, 3 由此得 ? 3 或? 3 解得? 2 <k<2. k ? 2 ? 0 k ? 2 ? 0, ? ?

由2|AM|=|AN|得?

?

?

3 因此k的取值范围是(? 2 ,2).? (12分)

方法技巧
圆锥曲线中的最值(范围)问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有 两种方法:一是几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几 何中的定理、性质等进行求解;二是代数法,即把要求最值(范围)的几何 量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数,然后利用函数方法、不等 式方法等进行求解. 2-1 (2014北京文,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.

(1)求椭圆C的离心率;
(2)设O为原点.若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB 长度的最小值.

解析

x2 y 2 (1)由题意,知椭圆C的标准方程为? +?=1. 4 2
c a

所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=? 2. 故椭圆C的离心率e=? =? . (2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x0≠0.
0 OA · OB 因为OA⊥OB,所以? ? =0,即tx0+2y0=0,解得t=-? .

2 2

?

?

2y x0

2 2 又? +2? =4, x0 y0

所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2
? 2y ? = ? x0 ? 0 ? +(y0-2)2 x0 ? ? 2 4 y0 2 2 =? x0 +? y0 + 2 +4 x0

?

2

?

2 2 4 ? x0 2(4 ? x0 ) x = +? + +4 2 2 x0 2 x0 8 2 x =? +? +4(0< ? 0 ≤4). 2 2 x0 2 x0 8 2 2 x x 因为? +? ≥ 4(0< ? ≤ 4), 且当 ? =4时等号成立, 0 0 2 2 x0
2 ? 0

?

所以|AB|2≥8. 故线段AB长度的最小值为2?2 .

考点三 圆锥曲线中的探索性问题 典例3
x2 y 2 (2015北京,19,14分)已知椭圆C:? +?=1(a>b>0)的离心率为 a 2 b2

2 ? ,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M. 2

(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);
(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是 否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明 理由.
?b ? 1, ? 2 ?c ? , 解析 (1)由题意得 ? 解得a2=2. ? a2 22 2 a ?b ?c , ? ? 2 x 故椭圆C的方程为? +y2=1. 2

?

设M(xM,0).
因为m≠0,所以-1<n<1.
n ?1 因为直线PA的方程为y-1=? x, m m ? m ? ,0 ? . 所以xM=? ,即M? ? 1? n ?1? n ?

(2)存在.因为点B与点A关于x轴对称,所以B(m,-n). 设N(xN,0),则xN=? .
m 1? n

“存在点Q(0,yQ),使得∠OQM=∠ONQ”等价于“存在点Q(0,yQ),使得
| OM | | OQ | y =|x ? =? ”,即y 满足? | OQ | | ON |
Q

2 Q

M

||xN|.

m m m2 因为xM=? ,xN=? ,?+n2=1, 1? n 1? n 2

m2 所以 y =|xM||xN|=? 2 =2. 1? n 所以yQ=?2 或yQ=-?2 .
2 ? Q

故在y轴上存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ.

点Q的坐标为(0,?2 )或(0,-?2 ).

方法技巧
(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”.其步骤如下:假设满足条件的 元素(点、直线、曲线或参数)存在,列出与该元素相关的方程(组),若方 程(组)有实数解,则元素存在,否则,元素不存在. (2)反证法与验证法也是求解探索性问题的常用方法. 3-1 在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,?2 )且斜率为k的直线l与椭圆
2 x ?+y2=1有两个不同的交点P和Q. 2

(1)求k的取值范围; (2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数k, 使得向量? OQ 与? AB 共线?如果存在,求k的值;如果不存在,请说明理 OP +?
?

?

?

由.

解析

x2 (1)由已知条件知,直线l的方程为y=kx+?2 ,代入椭圆方程得? + 2
1 ?2

(kx+?2 )2=1,
? 2? 2 ? k 整理得? ? ? x +2?2 kx+1=0.? ① ?
2 2 直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2-4? ? ? k ? =4k -2>0,解

?1 ?2

? ?

得k<-?或k>?.
? ? 2? ? 2 ?? , ? , ?? 即k的取值范围为 ? ? ∪? ?. 2 2 ? ? ? ?

2 2

2 2

?

?

(2)不存在.
OQ =(x1+x2,y1+y2), 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则? OP +?
4 2k .? ② 1 ? 2k 2 4 2k 2 2 2 由(1)知y1+y2=k(x1+x2)+2?2 =-? 2 +2?2 =? 2 .? ③ 1 ? 2k 1 ? 2k 由题意知A(?2 ,0),B(0,1),
?

?

由方程①知,x1+x2=-?

所以? AB =(-?2 ,1),
OQ 与? AB 共线等价于x1+x2=-?2 (y1+y2), OP +? 所以?
?

?

?

?

将②③代入上式,解得k=?.
2 2 由(1)知k<-?或k>?, 2 2

2 2

OQ 与? AB 共线. OP +? 故不存在符合题意的常数k,使得?

?

?

?


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图