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福建省南安第一中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案

南安一中 2016~2017 学年度上学期第三次阶段考

高二数学(文)科试卷
本试卷考试内容为:选修 1-1 和复数。分第 I 卷和第 II 卷,共 4 页,满分150分, 考试时间120分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。 2.考生作答时,请将答案答在答题纸上,在本试卷上答题无效。按照题号在各题的答 题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效。 3.答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 4.保持答题纸纸面清洁,不破损。考试结束后,将本试卷自行保存,答题纸交回。

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求) 1.已知复数 z ? A.第一象限

1 ,则 z 在复平面内对应的点在 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.命题“ ?x0 ? ? 0, ??? ,使 ln x0 ? x0 ? 2 ”的否定是 A. ?x ? ? 0, ??? ,ln x ? x ? 2 C. ?x0 ? ? 0, ??? , 使ln x0 ? x0 ? 2 B. ?x ? ? 0, ??? ,ln x ? x ? 2 D. ?x0 ? ? 0, ??? ,ln x0 ? x0 ? 2

x2 y 2 ? 1(a ? 0) 的一条渐进线方程为 2 x ? y ? 0 ,则 a 的值为 3.设双曲线 2 ? 16 a
A.4 B.3 C.2 D.1

2 4. “ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ” 的

A.必要但不充分条件 B.充分但不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条 件 5.某厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第 x 小时,原油温度(单位:℃) 为 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 8(0 ? x ? 5) ,那么原油温度的瞬时变化率的最小值为 3 20 A. 8 B. C. ?1 D. ?8 3
1

6.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦距为 2 7 ,则 m 的值为 16 m
B.23 C.9 或 23 D. 16 ? 7或16 ? 7

A.9

7.有下列四个命题:①“若 x ? y ? 0 ,则 x, y 互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的 面积相等”的否命题;③“若 q ? 1 ,则 x 2 ? 2 x ? q ? 0 有实根”的逆命题;④“不等边三 角形的三个内角相等”的逆否命题;其中真 命题有 . A.①② B.①③ C.②③ D.③④

8.若函数 f ( x) ? 2 x2 ? ln x 在其定义域内的一个子区间 ? k ? 1, k ? 1? 内不是单调函数,则 实数 k 的取值范围是 A. ?1, 2 ? B. ?1, 2 ? C. ?1, ? ? 2?

? 3?

D. ?1, ?

? 3? ? 2?

x2 y 2 ? ? 1 恒有公共点,则实数 m 的取值 9.已知对 k ? R ,直线 2kx ? y ? 1 ? 0 与椭圆 9 m
范围 A. ?1,9? B. ?1, ?? ? C. ?1,9? ? ?9, ??? D.

?9, ???

10.已知函数 f ( x ) 的图像如图所示, f '( x) 是 f ( x ) 的导函数,则下列数值排序正确的是 A. 0 ? f '(3) ? f (3) ? f (2) ? f '(2) B. 0 ? f '(3) ? f '(2) ? f (3) ? f (2) C. 0 ? f '(2) ? f '(3) ? f (3) ? f (2) D. 0 ? f (3) ? f (2) ? f '(3) ? f '(2)

11.双曲线

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0 ,b ? 0 )的一个焦点 F ? c,0? ,虚轴的一个端点为 B ? 0, b? , a 2 b2
b x 垂直,那么此双曲线的离心率为 a
C.

如果直线 FB 与该双曲线的渐近线 y ?

A. 2

B. 3

3 ?1 2

D.

5 ?1 2

12.已知定义域为 R 的偶函数 f ? x ? ,其导函数为 f ? ? x ? ,对任意 x ??0, ??? ,均满足:
2

xf ? ? x ? ? ?2 f ? x ? .若 g ? x ? ? x2 f ? x ? ,则不等式 g ? 2x ? ? g ?1 ? x ? 的解集是
A.? ??, ?1? B.? ?1, ?

? ?

1? 3?

C. ? ??, ?

? ?

1? 3?

D.? ??, ?1? ? ? , ?? ?

?1 ?3

? ?

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二.填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案写在答题卡上 ) : .......... 13.已知 i 为虚数单位,复数 z ?

2i 的共轭复数为 ? 1 ? 2i




14.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上,则该抛物线的准线方程为 15.若函数 f ? x ? ? f '(1) x ? 2x ? 3 ,则 f ' ? 2? 的值为
3 2



16. 已知 P 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 上的动点,点 M 是圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 上的动点,点 N 是 9 16


圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 1 上的动点,则 | PM | ? | PN | 的最大值是

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,其中 17 题为 10 分,其余为 12 分): 17. (本小题 10 分)已知命题 p : “双曲线

y 2 x2 ? ? 1 的离心率 e ? 3 m

?

2, ?? ”,命

?

题 q :“

2 x2 y2 ? ? 1是焦点在 x 轴上的椭圆方程”.若命题 “ p ? q ”是真命题,求实 m m?2

数 m 的取值范围.

18. (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? 6ln x ?

1 2 x ? 5x 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间和极值.

19. (本小题 12 分)已知抛物线 E : y 焦点的距离为 4 . (Ⅰ)求抛物线 E 的方程;

2

? 2 px( p ? 0) 的焦点 F , E 上一点 (3, m) 到

3

(Ⅱ)过 F 作直线 l ,交抛物线 E 于 A, B 两点,若直线 AB 中点的纵坐标为 ? 1 ,求直 线 l 的方程.

20. (本小题 12 分)某商店新进一批商品,每件进价 5 元,据市场调查,当每件售价 14 元时,每星期可卖出 75 件.如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出 的商品件 ... 数 m 与商品单价的降低值 x (单位:元, 0 ? x ? 9 )的平方成正比,已知商品单价降低 1 元时,一星期多卖出 5 件. (Ⅰ)将一星期的商品销售利润 y 表示成 x 的函数; (Ⅱ)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?

x2 y2 3 21. (本小题 12 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆 C 的 2 a b
长轴长为 4. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知直线 l : y ? kx ? 3 与椭圆 C 交于 A,B 两点,是否存在实数 k 使得以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由

22. (本小题 12 分)设函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax2 ? ax , g ( x) ? 2x2 ? 4x ? c . 3

(Ⅰ)试问函数 f(x)能否在 x ? ?1 处取得极值?说明理由; (Ⅱ)若 a ? ?1 ,当 x ? ? ?3, 4? 时,函数 f ( x) 与 g ( x) 的图像有两个公共点,求 c 的取 值范围.

南安一中 2016~2017 学年度上学期第三次阶段考

高二数学(文)科试卷答案
一、选择题:
4

1.D 2.A 3.C 4.B 5.C 6.C 7.B 8.D 9.C 10.A 11.D 12.B 二、填空题: 13.
4 2i ? 5 5

14. x ? ?4

15. 16

16. 9

三、解答题 17. 解:若 p 为真命题,则 e2 ?
若 q 为真命题,则有

3? m ? 2 ,即 m ? A ? ?3, ??? ?????4 分 3

m ? m ? 2 ? 0 ,即 m ? B ? ? 2, 4? .?????8 分 2

因为,命题 “ p ? q ”是真命题 又因为 A ? B ? ? 3, 4? 所以, m ? ? 3,4? 即实数 m 的取值范围为 ? 3, 4 ? . ????10 分

(0, +?) 18.解:(Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 ?????1 分

9 6 x2 ? 5x ? 6 f '( x) ? ? x ? 5 ? , f (1) ? ? 2 x x

9 (1,- ) ?????4 分 切线的斜率k =f '(1) ? 2, 切点为 2 9 所以,切线方程为 y ? ? 2( x ? 1) 即 4 x ? 2 y ? 13 ? 0 ?????6 分 2
(Ⅱ)令 f '( x) ?

x2 ? 5x ? 6 ? 0 ,解得 x ? 2 或 x ? 3 x

由f '( x) ? 0解得0<x<2或x ? 3 ,由f '( x) ? 0解得2 ? x ? 3
(0,2) (3,+?) 所以函数的单调递增区间为 ,

( 2, 3) 函数的单调递减区间为 ?????10 分

且当x=2时,f ( x)取得极大值f (2) ? ?8 ? 6ln 2
当x=3时,f ( x)取得极小值f (3) ? ? 21 ? 6 ln 3 ?????12 分 2

p 19. 解:(Ⅰ) 法一:抛物线 E : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的坐标为 ( ,0) , 2

?m 2 ? 2 p ? 3 ? 由已知 ? ?????2 分 p 2 2 ? (3 ? ) ? m ? 4 2 ?
解得 P ? 2 或 P ? ?14
5

∵P

? 0 ,∴ P ? 2

∴ E 的方程为 y

2

? 4 x .??????4 分
p , 2

2 法二:抛物线 E : y ? 2 px( p ? 0) 的准线方程为 x ? ?

由抛物线的定义可知 3 ? (? 解得

p )?4 2
2

p?2

∴ E 的方程为 y

? 4 x .?????4 分
2

(2)法一:由(1)得抛物线 E 的方程为 y

? 4 x ,焦点 F (1,0)

设 A, B 两点的坐标分别为 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,
2 ? ? y1 ? 4 x1 则? 2 ????6 分 ? ? y2 ? 4 x2

两式相减。整理得

y ?y 4 ? (x ? x ) x ?x y ?y
2 1 1 2 2 1 2 1

∵线段 AB 中点的纵坐标为 ? 1 ∴直线 l 的斜率 k AB

?

4 4 ? ? ?2 ????????10 分 y ? y (?1) ? 2
2 1

直线 l 的方程为 y ? 0 ? ?2( x ? 1) 即 2 x ? 法二:由(1)得抛物线 E 的方程为 y 设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 由?
2

y ? 2 ? 0 ?????12 分

? 4 x ,焦点 F (1,0)

? y2 ? 4x ? x ? my ? 1

消去 x ,得 y 2 ? 4my ? 4 ? 0

设 A, B 两点的坐标分别为 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , ∵线段 AB 中点的纵坐标为 ? 1 ∴

y1 ? y2 ?(?4m) ? ? ?1 2 2

1 ?????????????10 分 2 1 直线 l 的方程为 x ? ? y ? 1 即 2 x ? y ? 2 ? 0 ???????????12 分 2
解得 m ? ?

6

20.解: (Ⅰ)依题意,设 m ? kx 2 ,由已知有 5 ? k ? 12 ,从而 k ? 5

? m ? 5x 2 ?????????2 分 ? y ? (14 ? x ? 5)(75 ? 5x 2 ) ? ?5x 3 ? 45x 2 ? 75x ? 675 (0 ? x ? 9) ??????5 分
(Ⅱ)? y? ? ?15x 2 ? 90x ? 75 ? ?15( x ? 1)(x ? 5) ????????? 6 分 由 y ? ? 0 得 1 ? x ? 5 ,由 y ? ? 0 得 0 ? x ? 1 或 5 ? x ? 9 可知函数在 ?0,1? 上递减,在 ?1,5? 递增,在 ?5,9? 上递减?????????9 分 从而函数 y 取得最大值的可能位置为 x ? 0 或是 x ? 5 当 x ? 0 时, y

? 675

当 x ? 5 时, y

? 800

答:商品每件定价为 9 元时,可使一个星期的商品销售利润最大??????12 分

? a?2 ? ? a?2 ? 21. 解: (Ⅰ)设椭圆的焦半距为 c,则由题设,得 ? c ,???2 3 ,解得 ? c ? 3 ? ? ? ? 2 ?a
分 所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 3 ? 1 ,故所求椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 .????..4 分 4

(Ⅱ)存在实数 k 使得以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O.理由如下:

x2 ? y2 ? 1, 设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,将直线 l 的方程 y ? kx ? 3 代入 4
并整理,得 (1 ? 则 x1 ? x 2 ?

4k ) x ? 8 3kx ? 8 ? 0 (*)
2 2

8 8 3k , x1 x 2 ? .???????????????7 分 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k ??? ? ??? ? 因为以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O,所以 OA ? OB ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

8 4k 2 ? 3 ? ? 0 ,?????.10 分 又 y1 y2 ? k x1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 3 ,于是 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
2

解得 k ? ?

11 ,????????????11 分 2

经检验知:此时(*)式的 Δ >0,符合题意.
7

所以当 k ? ?

11 时,以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O.??????12 分 2

22. 解: (Ⅰ)由题意可知 f '( x) ? x2 ? 2ax ? a,
假设在 x ? ?1 处 f ( x) 取得极值,则有 f '(?1) ? 1 ? 2a ? a ? 0 ∴ a ? ?1 ????????? 2 分 而此时 f '( x) ? x2 ? 2x ? 1 ? ? x ? 1? ? 0 ,
2

∴函数 f ( x) 在 R 上为增函数,无极值. 这与 f ( x) 在 x ? ?1 处有极值矛盾,所以 f ( x) 在 x ? ?1 处无极值.???????? 4 分 (Ⅱ)设 f ( x) ? g ( x) ,则有 x3 ? x2 ? 3x ? c ? 0 ,∴ c ? 设 F ( x) ?

1 3

1 3 x ? x2 ? 3x 3

1 3 x ? x2 ? 3x , G( x) ? c ,令 F '( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得 x1 ? ?1, x2 ? 3 3

列表如下:

x
F′(x) F(x)

-3

(-3,-1) +

-1 0

(-1,3) 减

3 0 -9

(3,4) + 增 -

4

-9



5 3

20 3

由此可知: F ( x) 在(-3,-1)、(3,4)上是增函数,在(-1,3)上是减函数.????????8 分 当 x ? ?1 时, F ( x) 取得极大值 F (?1) ?

5 ;当 x ? 3 时, F ( x) 取得极小值 3

F (?3) ? F (3) ? ?9 ,而 F (4) ? ?

20 . 3

如果函数 f(x)与 g(x)的图像有两个公共点,则函数 F ( x) 与 G ( x) 有两个公共点, 所以 ? 20 ? c ? 5 或 c ? ?9 ????????????????????????12 分

3

3

8


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