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中学代数研究---一元三次方程通解求法

关于一元三次方程通解的解法 设有一般一元三次方程 ax3 ? bx2 ? cx ? d ? 0( a ? 0 ) ,我们对 它先进行化简,目标是将它的二次项系数化为 0,这种想法 的由来是因为我们通过实践发现无二次项的一元三次方程 比较容易求解,因此,我们想到先除去二次项,然后再求 解;具体做法是: 令 x ? y ? k 其中 k 是一个待定的常数,将 其代入原一般一元三次方程 ax3 ? bx2 ? cx ? d ? 0 ( a ? 0 )中,得 到:
a( y ? k )3 ? b( y ? k )2 ? c( y ? k ) ? d ? 0

展开并整理得到:

ay3 ? (3ka ? b) y 2 ? (3k 2 a ? 2bk ? c) y ? (ak 3 ? bk 2 ? ck ? d ) ? 0

1 ---------○ 取k ? ?
b , x? y? b 即 3a 3a

2 1 -------○ , 将其代入方程○

并整理得:
ay 3 ? (c ? b2 2b3 bc )y ? ( ? ? d) ? 0 3a 27a 2 3a



两边同时除以 a 得到: 其中
1 b2 p ? (c ? ) a 3a

y ? py ? q ? 0
3

3 -------- ○



q?

1 2b3 bc ( ? ? d) a 27a 2 3a

事实上,以上过程也证明了对于任意一个一元三次方 3 程,我们都可以将它化为上述○的这种形式,这样我们就 可以直接求不含二次项的一元三次方程的解了;接下来, 3 我们只要将方程○的解求出来,就可以自然的求得最原始 的一般的一元三次方程的通解了;

3 我们再次将○式作变换,令 y ? u ? v (其中 u 和 v 是未知 3 数) ,并将其代入方程○得到: (u ? v)3 ? p(u ? v) ? q ? 0 ,化简后 得到:
u 3 ? v3 ? q ? (3uv ? p)(u ? v) ? 0

4 --------○

4 因为我们用两个未知数 u 和 v 代替了 y , 因此为了减少○ 5 中未知数的个数,我们不妨再要求 (3uv ? p) =0 -----○ ,这 6 将其代入方程○我们可 样我们就可以得出 uv ? ? p ------○, 4
3

以得到: u 3 ? v3 ? q ? 0 ,从而我们就得到以下方程组:
p ? ? uv ? ? 即 3 , ? 3 3 ?u ? v ? ?q ? ? 3 3 p3 ?u v ? ? 27 ? ?u 3 ? v3 ? ?q ?

这样我们就可以利用韦达定

理知道:
u 3 和 v 3 可以看成是一元二次方程 z 2 ? qz ?

p3 ? 0 的两个根; 27

从而我们利用一元二次方程的求根公式可以得到:
q q 2 p3 u3 ? ? ? ? 2 4 27


q 2 p3 ? 4 27

q q 2 p3 v3 ? ? ? ? 2 4 27

从而 u1 ? 3 ? q ?
2

, u2 ? ?u1 ,

u3 ? ? 2u1



q q 2 p3 v1 ? 3 ? ? ? 2 4 27

, v2 ? ?v1 , ,
?2 ?

v3 ? ? 2 v1



(其中 ? ? ?1 ?

3i

2

?1 ? 3i 2



由于 y ? u ? v ,所以将上式进行组合得到以下三个解:
y1 ? u1 ? v1

,y2 ? ?u1 ? ? 2v1 ,y3 ? ? 2u1 ? ?v1 容易发现 y2 和 y3 是一对

共轭的虚根,这与我们已学到的代数基本定理是一致的。

而这三个解即为一元三次方程的通解; 通过以上过程我们知道,对于一般的一元三次方程, 我们也可以利用韦达定理进行求其通解;关键点在于如何 将一元三次方程化为我们熟悉的一元二次方程,这是解题 的关键所在,因此我们要想办法去除一些项,然后再进行 转化; 类似于一元二次方程的判别式做法,我们也引入一元 三次方程的判别式 D= q
2

4

?

p3 ; 由上述的三次方程根的推导过 27

程,我们知道 D 决定了根的性质。 1、 当 D>0 时,u 3 和 v 3 是两不等的实根,方程○有一个 3 实根和两个共轭的虚根
y1 ? u1 ? v1

1 3 y2 ? ?u1 ? ? 2v1 ? ? (u1 ? v1 ) ? i (u1 ? v1 ) 2 2 1 3 y3 ? ? (u1 ? v1 ) ? i (u1 ? v1 ) 2 2

2、

当 D=0 时,这时 u3 ? v3 ? ? q ,方程○有三个实根, 3
2

并且其中两个实根相等 3、

y1 ? ?2 3

q 2

, y2 ? y3 ? 3

q 2

当 D<0 时,这时 u 和 v 都是复数,并且是共轭复数, 实
u ?
3




3



n

z ?

n

z





q q 2 p3 ? ? ? ? 2 4 27

q q 2 p3 ? ?i ? 2 4 27

?

3

?

p3 p ? ? 27 3

5 现在我们证明 u 和 v 是共轭的:由方程○我们知道 v ? ?

p 3u

?v ? ? 3pu ? ? 3pu ? ? 3pu uu u

2

??

pu ?u p 3(? ) 3

从而 u 和 v 是共轭的;

设 u1 ? s ? it 为 u 的任意一个值,从而 v1 ? s ? it ,因此
y1 ? u1 ? v1 ? 2s

1 3 y2 ? ?u1 ? ? 2v1 ? ? (u1 ? v1 ) ? i (u1 ? v1 ) ? ? s ? 3t 2 2 1 3 y3 ? ? (u1 ? v1 ) ? i (u1 ? v1 ) ? ? s ? 3t 2 2

为三个互异的实根。 以上就是根据一元三次方程根的判别式来判断根的性 质的,从上述整个过程我们不难发现,对于一般的一元 三次方程,其判别式也是根据二次根号里面的数只能为 正这条性质来进行判定的,先判断其根( u 和 v )是否为 实根或是虚根的情况,然后进一步判定 y1 、 y2 、 y3 的虚 实情况;这样我们就得出了一元三次方程根的判别式方 法。


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