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选择题的解法_图文

选择题的解法

一、数学选择题的特点
(1)概念性强; (2)量化突出; (3)充满思辨性; (4)形数兼备; (5)解法多样化; (6)答案唯一。

二、选择题的结构形式
由题干和选择支两部分组成。

三、解选择题的原则
根据选择题的题干和选择支两方面提供的信息, 作出正确的选择,一般要求迅速和准确为原则。

四、解选择题的方法
从题干出发,从选择支出发 找出正确的,排除三个错误的

(一)直接法 从题设条件出发,通过正确的运算 或推理,直接得出结论,再与选择支相对照 来确定选项。

1.在 RT △ABC 中, ?C ? 90?, D, E 分别是斜边 AB 上的三等 分点,若 CD ? sin ? , CE ? cos ? ,则 AB 的长为( ) 。

4 A. 3

3 5 B. 5

2 5 C. 5

D.1
? b 2a ? ? 2b a ? ?, D? , ? , ?3 3 ? ? 3 3?

分析:建立直角坐标系,设 A ? a,0? , B ? 0, b ? ,则 E ? ,

? 2 4 2 b2 ?sin ? ? 9 a ? 9 9 ? 2 2 得到: ? ,相加得到: a ? b ? ,所以选 B。 5 a 2 4b 2 2 ?cos ? ? ? ? 9 9 ?

(二) 特殊化法: 用特殊值(特殊图形、 特殊位置) 代替题设普遍条件,得出特殊结论,对各个选项 进行检验, 从而作出正确的判断.常用的特例有特 殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊 角、特殊位置等.适用于一般性条件,定量计算的 选择题。

1. (09 江西理科 12) .设函数 f ( x) ?

ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的定

义域为 D ,若如果所有点 (s, f (t ))(s, t ? D) 构成一个正方形区 域,则 a 的值为 A. ?2 定 B. ?4 C. ?8

D.不能确

分析:特殊化: f ? x ? ?

ax 2 ? 1

2. (08 江西理科)9.若 0<a1<a2,0<b1<b2,且 a1+a2=b1+b2 =1,则下列代数式中值最大的是 ( ) A. lbl+a2b2 a B. la2+b1b2 a C. 1b2+a2bl a

1 D. 2

分 析 : 取 特 殊 值 , 不 妨 设 a1 ? b1 ? b2 ? a2 , 于 是 可 取

1 1 2 3 7 1 a1 ? , b1 ? , b2 ? , a2 ? ? , 所 以 得 a1b1 ? a2b2 ? , 4 3 3 4 12 2 59 1 5 1 a1a2 ? b1b2 ? ? , a1b2 ? a2b1 ? ? ,显然 A 选项代数式的值最大, 144 2 12 2
故选 A。

3. (10 南昌市一模试题)如图,BC 是单位圆 A 的一条直径, F 是

??? ? ??? ? 线段 AB 上的点,且 BF ? 2 FA ,若 DE 是圆 A 中绕圆心 A 运动 ??? ??? ? ? 的一条直径,则 FD?FE 的值是
D B F A E C

分析:特殊化,DE 为垂直 BC 的直径,建立坐标系,选 B。

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点, 4. (10 南昌市一模试题)设 F 为双曲线 16 9 在 x 轴上 F 点的右侧有一点 A ,以 FA 为直径的圆与双曲线左、 FN ? FM 右两支在 x 轴上方的交点分别为 M 、N ,则 的值为 FA
( )

2 A. 5

4 B. 5

5 C. 4

5 D. 2
2a ,选 B。 2c

分析:特殊化,点 A 为右焦点 F ' ,此时 FM ? F ' N ,原式 ?

5.定义在 R 上的函数 f ( x ) 既是奇函数,又是周期函数, T 是它 的一个正周期. 若将方程 f ( x) ? 0 在闭区间 [?T,T ] 上的根的个 数记为 n ,则 n 可能为( A.0 B.1
分析:特殊化, f(x)=sinx

) C.3

D.5

6.在△ ABC 中, A ? ( )

?
3

, BC ? 3 ,则 AB ? AC 的长可表示为

?? ? A.4 3 cos ? B ? ? 3? ?

?? ? B.6sin ? B ? ? 3? ?
?? ? D.6sin ? B ? ? 6? ?

?? ? C.4 3 sin ? B ? ? 6? ?

分析:特殊化,△ABC 为正三角形,则 AB+AC=6,所以选 D。

7.若动点 P、Q 在椭圆 9x2+16y2=144 上,且满足 OP⊥OQ,则中 心 O 到弦 PQ 的距离 OH 必等于 A. B. C. D. ( )

分析:选一个特殊位置(如图) , 令 OP、OQ 分别在长、短正半轴上, 由 a2=16,b2=9 得,OP=4,OQ=3, 则 OH= .根据“在一般情况下 成立,则在特殊情况下也成立”可知,答案 C 正确.

8. 已知公差分别为 2, 的等差数列 ?an ? ,?bn ? , bn ? N ? , 3 且

则数列 abn 是(

? ?

) B.等差数列且公差为 5 D.等比数列且公比为 9

A.等差数列且公差为 6 C.等比数列且公比为 8

分析:特殊化, an ? 2n, bn ? 3n ? abn ? 2 ?3n ? ? 6n 选 A

9. (2010 南昌市质检)设 f ( x ) 是定义在 R 上单调递减的奇函数, 若 x1 ? x2 ? 0 , x2 ? x3 ? 0 , x3 ? x1 ? 0 ,则 A f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? 0 B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? 0 C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 )
分析:特殊化, f ? x ? ? ? x , x1 ? x2 ? x3 ,选 B。

10.函数 f ?x ? ? M sin??x ? ? ??? ? 0? 在区间 ?a, b? 上是增函数, 且 f ?a ? ? ?M , f ?b? ? M , 则 函 数 g ?x ? ? M cos??x ? ? ? 在

?a, b?上
(A) 是增函数

(

) (B) 是减函数

(C) 可以取得最大值 M (D) 可以取得最小值 ? M
分析:特殊化,令 ? ? 1, ? ? 0, ?a, b? ? ??

? ? ?? , ? ,此时 g ( x) ? M cos x 在 ? 2 2?

? ? ?? ?? 2 , 2 ? 上先增后减,当 x ? 0 时, g (x) 可以取到最大值 M ,但却取 ? ?
不到最小值 ? M 故选C.

11.设三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,P、Q 分别是侧棱 AA1、 CC1 上的点,且 PA=QC1,则四棱锥 B—APQC 的体积为 A. 1 V 6 B. 1 V 4 C. 1 V 3

D.

分析:特殊化,P与A1重合,则Q与C重合, 故 V B ? APQC ? V B ? AA1C ? V A1 ? ABC ?

1 V 3

12. 若函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数, y ? f (2 x) 的对称轴是 则 ( A、 x ? 0 B、 x ? 1



1 C、 x ? 2

D、 x ? 2

分 析 : 特 殊 函 数 y ? ( x ?1)2 , 则 y ? f (2 x) 变 为 y ? (2 x ?1)2 , 即 知

y ? f (2 x) 的对称轴是 x ?

1 ,选 C 2

13.△ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,

???? ??? ??? ??? ? ? ? OH ? m(OA ? OB ? OC) ,则 m 的取值是(
A、-1 B、1 C、-2 D、2



分析:特殊化,不妨设△ABC 为直角三角形,则圆心 O 在斜边中点处,此时

???? ??? ??? ??? ? ? ? 有 OH ? OA ? OB ? OC , m ? 1 ,选 B。

(三)筛选法:从题设条件出发,运用定理、性质、公式 推演,根据题设的特殊情况,逐步剔除干扰项,从而得 出正确的判断.特别适用于一般性条件,定性分析的选择 题。

1 1. (08 江西理科 5) 在数列{an}中, 1=2, n+1=an+ln(1+ ), . a a n
则 an=( ) A. 2+ln n +n+ln n B. 2+(n-1)ln n C. nln n 2+ D. 1

分析:

1 3 a2 ? a1 ? ln 2 ? 2 ? ln 2 , a3 ? a2 ? ln(1 ? ) ? 2 ? ln 2 ? ln ? 2 ? ln 3 , 2 2 当 n ? 3 时,经检验只有 A 选项符合,故选 A。

π 2. 江西理科 5) 若 0 ? x ? , (07 . 则下列命题中正确的是 ( 2 3 3 A. sin x ? x B. sin x ? x π π 4 2 4 2 C. sin x ? 2 x D. sin x ? 2 x π π



分析: x ?

?
4

时, sin

? ? ? 2 = ? 0.707 排除 B,C, x ? 时, sin 排除 A。 4 6 6 2

3. (2009 江西)若函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x)cos x , 0 ? x ? 则 f ( x ) 的最大值为 A.1 B. 2 C. 3 ? 1 D. 3 ? 2

?
2



分析:令 x ? 选 B。

?
3

,f?

?? ? ? ? 2 ,排除 A, f ? x ? ? cos x ? 3 sin x ? 1 ? 3 , ?3?

4.函数 f ( x) ? x ? x ? a ? b 为奇函数的充要条件是( ) A.ab=0 B.a+b=0 C.a=b D. a ? b ? 0
2 2

分析:a=0,b=1 排除 A;a=1,b=-1 排除 B;a=1,b=1 排除 C,选 D

5.已知 0<x<y<a<1,则有( A. log a ( xy) ? 0 C. 1 ? log a ( xy) ? 2



B. 0 ? log a ( xy) ? 1 D. log a ( xy) ? 2

分析:取 x ?

1 1 1 1 , y ? , a ? , log 1 ( xy ) ? log 1 ? 5 ,选 D。 8 4 2 2 2 32

6.过抛物线 y =4x 的焦点,作直线与此抛物线相交于两点 P 和 Q,那么线段 PQ 中点的轨迹方程是( (A) y =2x-1 (C) y =-2x+1
2 2

2



(B) y =2x-2 (D) y =-2x+2
2

2

分析:由已知可知轨迹曲线的顶点为(1,0),开口向右,由此排除答案 A、C、 D,所以选 B;

7.已知 y=log a (2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范 围是( ) (A)(0,1) (C)(0,2)

(B)(1,2) (D) [2,+∞ )

分析:∵ 2-ax 是在[0,1]上是减函数,所以 a>1,排除答案 A、C;若 a=2, 由 2-ax>0 得 x<1,这与 x∈[0,1]不符合,排除答案 D.所以选 B.

8.已知长方形的四个项点 A(0,0) ,B(2,0) ,C(2,1)和 D (0,1) ,一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 夹角为 ? 的方向射到 BC 上的点 P1 后,依次反射到 CD、DA 和 AB 上的点 P2、P3 和 P4 (入射解等于反射角) 设 P4 坐标为 x4 ,0), 若 ? x 4 ? 2, 则tan? , ( 1 的取值范围是( )

1 (A) ( ,1) 3 2 1 (C) ( , ) 5 2
出 tan ? = 选 C.

1 2 (B) ( , ) 3 3 2 2 (D) ( , ) 5 3

分析:考虑由 P0 射到 BC 的中点上,这样依次反射最终回到 P0,此时容易求

1 1 ? ≠ ,排除 A、B、D,故 ,由题设条件知,1<x4<2,则 tan 2 2

(四)验证法 就是将各选择支或者其中的特殊值逐一 代入题干进行验证,然后确定符合要求的选择支。适用于 选择支简单,题设复杂的选择题,选择支是范围性的选择 题都适用这种方法。

1. (2009 江西理科)2.函数 y ?

ln( x ? 1) ? x ? 3x ? 4 ( C. ?1, 1)
2

的定义域为

( A. ?4, ? 1)

( B. ?4, 1)

( D. ?1,1]

分析:令 x ? 1 ,分母为 0,又 x ? ?1 ,选 C

2. (2010 南昌质检)函数 f ( x) ? ln(? x 2 ? 5x ? 4) ? sin x 的定 义域是 A. ?0,4? B. ?1, ? ? C. ?? ,4 ? D. ?1, ? ?

分析: x ? 0 ,函数没有意义,排除 A, x ? 2 ,函数有意义,排除 C,选 D。

?2 ? x ? 1 x ? 0 3.设函数 f ( x) ? ? 1 ,若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围 ? 2 x?0 ?x ?
是( ) (A) ? 1 ,1) ( (B) ? 1 , ? ? ) ( (C) ? ? , ? 2 ) ? (0, ? ? ) ( (D) ? ? , ? 1 ) ? (1, ? ? ) (
分析: f ? 0? ? 0 ? 1,排除 A,B, f ? ?2? ? 22 ?1 ? 1 ,选 D。

? ? ?? 4 . 已 知 ? , ? ? ?? , ? , 且 ? ? ? ? 0 ? 2 2?

, 若

sin ? ? 1 ? a,sin ? ? 1 ? a2 ,则实数 a 的取值范围是(



A.? ??, ?2? ? ?1, ???

B. ? ?2,1?

C.(1, 2]

D.(0, 2]

分析:当 a ? ?2 时, sin ? ? 3 ,排除 A,B 当 a ? 1 时,不符,所以选 C

5.函数 y ? sin 4 x ? cos2 x 的最小正周期是( )

? A. 4

? B. 2

C. ?

D.2 ?

分析:依次令 T ?

? ?
4 2 ,

代入,选 B

6. 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等, 则该棱锥一定不是 (



? A ? 三棱锥 ? B ? 四棱锥 ? C ? 五棱锥 ? D ? 六棱锥

分析:假如是六棱锥,则这个六棱锥的底面外接圆半径、底面边长、侧棱长 都相等,这是不可能的,选 D.

1? a2 ? 0 ,则 a 的取值范围是 7.若 log2 a 1? a
1 A. ( ,?? ) 2
B. (1,??)



1 C. ( ,1) 2

D.

1? a2 5 a ? 2 ,则 log2 a ? log4 ? 0 ; 分析:取 1? a 3
1 1 1 ? a2 17 取 a ? ,则 log 2 a ? log 1 ? 0 这说明2和 不在取值范围中, 4 4 1? a 2 20
故选C.

(五)估值法:由于选择题提供了唯一正确的选择支,解 答又无需过程.因此可以猜测、合情推理、估算而获得.这 样往往可以减少运算量,当然自然加强了思维的层次.

1. (07 江西理科 12) .设 p : f ( x) ? ex ? ln x ? 2x2 ? mx ? 1 在

(0, ?) 内单调递增, q : m ≥ ?5 ,则 p 是 q 的( ?
A.充分不必要条件 C.充分必要条件



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 ? x 1 ? 分析:由 f ' ? x ? ? e ? ? 4 x ? m ? 0 得到 m ? ? ? e ? ? 4 x ? ,由 ? 4x x x x ? ? ? x 1 ? x 的最小值为 4, e ? 1 ,估计 ? ? e ? ? 4 x ? 的最大值比 5 小,所以选 B。 x ? ?
x

2.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的正

3 方形,EF∥AB,EF ? ,EF 与面 AC 的距离为 2,则该多面体 2
的体积为( ) (B)5 (C)6

9 (A) 2

15 (D) 2 E
D

F

C

A

B

分析:由已知条件可知,EF∥平面 ABCD,则 F 到平面 ABCD 的距离为 2,

1 ∴VF-ABCD= ·32·2=6,而该多面体的体积必大于 6,故选(D). 3

3.已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径 的一半,且 AB=BC=CA=2,则球面面积是( )

16 (A) π 9
(C)4π

8 (B) π 3 64 (D) π 9

2 3 分析:∵球的半径 R 不小于△ABC 的外接圆半径 r= , 3
16 则 S 球=4πR ≥4πr = π>5π,故选(D). 3
2 2

4. 对于抛物线 y 2 ? 4x 上任意一点 Q, P a, 都满足 PQ ? a , 点 ( 0) 则 a 的取值范围是( A、 ? ??,0? C、 [0, 2] ) B、 (??, 2] D、 (0, 2)

分析:画出草图,知 a<0 符合条件,则排除 C、D;又取 a ? 1 ,则 P 是焦点, 记点 Q 到准线的距离为 d,则由抛物线定义知道,此时 a<d<|PQ|,即表明 a ? 1 符合条件,排除 A,选 B。

5.甲乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3 局 2 胜” ,即以先 赢 2 局者为胜,根据以往经验,每局比赛中甲获胜的概率为 0.6, 则本次比赛中甲获胜的概率为( ) A、 0.216 B、 0.36 C、 0.432 D、 0.648

分析:因为这种比赛没有平局,2 人获胜的概率之和为 1,而甲获胜的概率比 乙大,应该超过 0.5,只有选 D。

(六)极端情况法:根据题干及选择支的特征,考虑极端 情形,有助于缩小选择面,迅速找到答案。

3? x , x ? ? 0,3? ,已知数列 1(10 南昌市一模试题)已知 f ? x ? ? 2 1? x ?an ? 满足 0 ? an ? 3, n ? N ? ,且 a1 ? a2 ??? a2010 ? 670 ,则

f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a2010 )
A . 最大值 6030 B . 有最小值 6027 C . 最大值 6027 D . 有最小值 6030
1 得到:f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a2010 ) =6030, 3 1 猜测:最值为 6030,令 a1 ? 0, a2 ? 0, a3 ? 1, a4 ? a5 ? ? ? a2010 ? ,得到: 3
分析: a1 ? a2 ? ? ? a2010 ? 令

f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a2010 ) ? 6030 ,选 B。

2.△ABC 中,cosAcosBcosC 的最大值是(



3 3 A、 8

1 B、 8

C、1

1 D、 2

分析:直接法,设 y=cosAcosBcosC,则 2y=[cos(A+B)+ cos(A-B)] cosC, 2 2 ∴cos C- cos (A-B) cosC+2y=0, 构造一元二次方程 x - cos (A-B) x+2y=0, 2 则 cosC 是一元二次方程的根,由 cosC 是实数知:△= cos (A-B)-8y≥0, 即 8y≤cos (A-B)≤1,∴ y ?
2

1 ,故应选 B。 8

极端情况法:由于三个角 A、B、C 的地位完全平等,最大值必定在某一 特殊角度取得,故只要令 A=B=C=60゜即得答案 B。

? 3.对任意θ ∈(0, )都有( 2



(A)sin(sinθ )<cosθ <cos(cosθ ) (B) sin(sinθ )>cosθ >cos(cosθ ) (C)sin(cosθ )<cos(sinθ )<cosθ (D) sin(cosθ )<cosθ <cos(sinθ )

分析:当θ ?0 时,sin(sinθ ) ?0,cosθ ?1,cos(cosθ ) ?cos1,故排除 A,B.

? 当θ ? 时,cos(sinθ ) ?cos1,cosθ ?0,故排除 C,因此选 D. 2

4.正三棱锥 A ? BCD 中, E 在棱 AB 上, F 在棱 CD 上,使

AE CF ? ? ? (? ? 0) , EB FD
设 ? 为异面直线 EF 与 AC 所成的角, ? 为异面直线 EF 与

BD 所成的角,则 ? ? ? 的值是
A.

? 6

? B. 4

? C. 3

D.

分 析 : 当 ? ? 0 时 , E ? A , 且 F ? C , 从 而 EF ? AC 。 因 为

AC ? BD ,排除选择支 A, B, C 故选 D(或 ? ? ?? 时的情况,同样可
排除 A, B, C )

(七)数形结合法一般情况下,一份试卷中有1至2个选 择题可用数形结合法求解, 这些题目若纯粹从代数角度出 发,会很麻烦,利用数形结合的思想能达到直观快速的求 解目的

1 . 用 min{a,b,c} 表 示 a,b,c 三 个 数 中 的 最 小 值 . 设 f ( x ) =min{2x,x+2,10-x}(x≥0) ,则 f(x)的最大值为 A.4 C.6 B.5 D.7 ( )

分析:由题意知函数 f(x)是三 个函数 y1=2x,y2=x+2,y3=10-x 中的较小者,作出三个函数在同一个坐标原点之下的图象(如图实线部 分为 f(x)的图象)可知 A(4,6)为函数 f(x)图象的最高点.

2.设 a, b, c 均为正数,

?1? ?1? 且 2 ? log 1 a, ? ? ? log 1 b, ? ? ? log 2 c, 则 ?2? ?2? 2 2
a

b

c

(A) a ? b ? c (C) c ? a ? b
分析:由题意画出函数

(B) c ? b ? a (D) b ? a ? c

?1? y ? 2 x , y ? ? ? , y ? log 2 x, y ? log 1 x ?2? 2
的图象,从图象可得 a ? b ? c ,故选(A).

x

1.关键在于审题与细节,正确审题,注意陷阱;深 入审题,注意隐蔽条件;全面审题,注意特殊情况, 提高解题的正确率
2.解答选择题的错误类型 (1)由于紧张,速度过快而导致基础知识应用有误,公式 定理记不清。 (2)审题匆忙,计算不仔细。 (3)对能力和思想方法要求较高的问题,不能耐心分析、 探究、转化而直接乱猜一个答案。 (4)不善于把得到的结果进行有效检验或比较而丢分。

3.熟练掌握最常规的解选择题的方法 解选择题的最常规解题方法是直接法,实践证 明,大部分选择题都是用直接法解答, 注意:普遍性的条件,定量计算问题,都可以用 特殊化的方法;选择支是范围性的问题,都可以 用验证法;题设复杂,选择支简单的经常用验证 法;各参数地位相同的最值问题,经常可以考虑 各参数相等的情况等。一般说来,能定性判断的, 就不再使用复杂的定量计算;能使用特殊值判断 的,就不必采用常规解法;能使用间接法解的, 就不必采用直接解;对于明显可以否定的选择支 应及早排除,以缩小选择的范围。

4.正确摆第一位 训练选择题的多种解法并不是要同学乱猜一个答案, 选择题的其他解法是以正确为前提的,是合理节省 时间。


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