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辽宁省大连市第二十高级中学2016届高三数学上学期期末考试试题 文


2015-2016 学年度上学期期末考试 高三数学试卷(文科)
考试 时间:120 分钟 试题分数:150 分 参考公式:球的体积公式: V ?

4 ? R 3 ,其中 R 为半径. 3

卷Ⅰ 一、选择题: 本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | 2 ? x ? 4}, B ? {x | ?2 ? x ? 3} ,则 A ? (C R B) 等于 A. (1,2) B. (3,4) C. (1,3) D. (1,2) ? (3,4) 2.已知 z1 ? m ? i, z 2 ? 1 ? 2i, 若 A.2 B. ? 2

z1 1 ? ? ,则实数 m 的值为 z2 2
C.

1 2

D. ?

1 2

3. 等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S 3 ? 6, a1 ? 4 ,则公差 d 等于 A.1 B.

5 3

C. ? 2

D.3

4.已知向量 a ? (3,4), b ? ( x,1) ,且 (a ? b) ? b ?| a | ,则实数 x 的值为 A. ? 3 B. ? 2 C.0 D. ? 3 或 0 5.已知 sin( A.

?

7 9

1 ? ? ) ? ,则 cos(? ? 2? ) 等于 2 3 2 7 B. ? C. 9 9

D. ?

2 3

?x ? y ? 4 ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? 6. 实数 x, y 满足条件 ? ,则 z ? x ? y 的最小值为 ?x ? 0 ? ?y ? 0
A. ? 2 B. ? 1 C.0 D.1 7. “ m ? 2 ”是“直线 3x ? (m ? 1) y ? (m ? 7) ? 0 与直线 mx ? 2 y ? 3m ? 0 平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

8. 从抛物线 y 2 ? 4x 图象上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M ,且 | PM |? 5 ,设抛物线 的焦点为 F ,则 ?MPF 的面积为 A.10 B.20

C.40

D.80

1

9. 某四面体的三视图如右图所示,其主视图、左视图、俯视图都是边长为 1 的正方形,则此 四面体的外接球的体积为 A.

4? 3

B. 3?

C.

3 ? 2

D. ? (

10. 若执行右下的程序框 图,则输出的 k 值是 A.4 B. 5 C. 6

D. 7

? x ( xy ? 0) 3? 4 ? 3 , (?2)?4 ? 4 , 11. 定义运算: , 例如: x?y ? ? ? y ( xy ? 0)
开始

则函数 f ( x) ? x 2 ?(2x ? x 2 ) 的最大值为 A.0 B.1 C.2 D.4


n=3,k=0 n 为偶数

12. 已 知 函 数 y ? f ( x ? 1) 的 图 象 关 于 点 (1,0) 对 称 , 且 当

x ? (??,0) 时, f ( x) ? xf ?( x) ? 0 成立(其中 f ?( x ) 是 f ( x) 的导
函数) ,若 a ? 30.3 ? f (30.3 ), b ? (log? 3) ? f (log? 3),



n n? 2

n ? 3n ? 1

1 1 c ? (log3 ) ? f (log3 ) ,则 a , b, c 的大小关系是 9 9
a?b?c A. c?a?b B. c?b?a C. a?c?b D.
卷Ⅱ 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.函数 f ( x) ? lg x ? x ? 3 的零点有______个. 14. 已知 x 是 [?4,4] 上的一个随机数, 则使 x 满足 x 2 ? x ? 2 ? 0 的概率为___________. 15 . 已 知 双 曲 线

k=k+1 n=8
是 否

输出 k 结束

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 一 条 渐 近 线 经 过 点 (3,6) , 则 该 渐 近 线 与 圆 a2 b2

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 16 相交所得的弦长为___________.
16.设 {a n } 是等比数列,公比 q ? 2 , S n 为 {a n } 的前 n 项和.记 Tn ? 设 Tn0 为数列 {Tn } 的最大项,则 n0 ? ___________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2

17 S n ? S 2 n ,n? N * , a n ?1

17. (本小题满分 12 分) 已知 a , b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 所对的边长,且 a cos B ? b cos A ? c. (Ⅰ)求

3 5

tan A 的值; tan B
2

ab sin C 的值. a ? b2 ? c2 18. (本小题满分 12 分)
(Ⅱ)若 A ? 60 ? ,求 为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天,某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷” 冬衣募捐活动,共有 50 名志愿者参与。志愿者的工作内容有两类:1.到各班做宣传,倡议同学 们积极捐献冬衣;2.整理、打包募捐上来的衣物. 每位志愿者根据自身实际情况,只参与其中 的某一项工作. 相关统计数据如下表所示: 到班级宣传 男生 女生 总计 12 8 20 整理、 打包衣物 12 18 30 总计 24 26 50

(Ⅰ)据此统计,你是否认为志愿者对工作的选择与其性别有关? (Ⅱ)用分层抽样的方法在从参与整理、打包衣物工作的志愿者中抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人. 那么至少有一人是女生的概率是多少? 参考公式: ? ?
2

n(n11n22 ? n12 n21 )2 . n1? n2? n?1n?2

P( ? 2 ≥k
0

)

0. 10 2. 706

0. 05 3. 841

0. 010 6. 635

0. 005 7. 879

k0
19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD中,侧面 PAB ? 底面

P E B A D C

ABCD ,且 ?PAB ? ?ABC ? 90? , AD // BC , PA ? AB ? BC ? 2 AD , E 是 PC 的中点. (Ⅰ)求 证: DE // 平面 PAB ; (Ⅱ)求证:平面 PCD ? 平面 PBC .

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:

1 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,离心率 e ? ,其中 F 是椭圆的右焦点,焦距为 2,直 2 2 a b
3

线 l 与椭圆 C 交于点 A, B ,线段 AB 的 中点的横坐标为 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)求实数 ? 的值. 21. (本小题满分 12 分)

??? ? ??? ? 1 ,且 AF ? ? FB (其中 ? ? 1 ). 4

设 函 数 f ( x) ? e x ? ax ? b 在 点 (0, f (0)) 处 的 切 线 方 程 为 x ? y ?1 ? 0 . ( 自然 对 数 的 底数

e ? 2.718 ???)
(Ⅰ)求 a , b 值,并求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 4 . 请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. D 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 C 如图,已知: C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点, CH ⊥ AB 于点 H ,直线 AC 与过 B 点 的切线相交于点 F E D , F 为 BD 中点,连接 AF 交 CH 于点 E , (Ⅰ)求证:∠BCF=∠CAB ; (Ⅱ)若 FB=FE=1,求⊙O 的半径. B (H O A 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t ? x ? 1? ? 2 l 已知直线 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴 ? y ? 1? 2 t ? ? 2 2 建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4? (sin ? ? cos? ) ? 4 ? 0 ,. (Ⅰ)写出直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)求直线 l 与曲线 C 交点的极坐标 ( ? ? 0,0 ? ? ? 2? )
24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 1 . (Ⅰ)求证: a ? b ? c ?
2 2 2

1 a 2 b2 c2 ? ? ? 1. ; (Ⅱ)求证: 3 b c a

4

2015-2016 学年度上学期期末考试高三数学试卷(文科)参考答案 一.选择题 1.B 2.D 3.C 4.D 5.A 6.B 7.A 8.A 9.C 10.A 11.D 12.B 二.填空题 13. 1 三.解答题 17.解: (Ⅰ)由正弦定理 14.

3 8

15.

16 5 5

16.4

a b c 3 ,得 sin A cos B ? sin B cos A ? sin C, ? ? sin A sin B sin C 5 又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ,

2 8 ? sin A cos B ? sin B cos A, 5 5 tan A sin A cos B 可得 ? ? 4. ????(6 分) tan B sin B cos A 3 , (Ⅱ)若 A ? 60 ? ,则 tan A ? 3 ,得 tan B ? 4 a2 ? b2 ? c2 ? cos C ? , 2ab
?
(12 分) 18. 解: (Ⅰ) ? ?
2

ab sin C sin C 1 1 1 tan A ? tan B 5 3 ? ? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? ?? 2 2 2 cos C 2 2 2 tan A tan B ? 1 2 a ?b ?c
2

?

50(12 ?18 ? 12 ? 8) 2 25 ? ? 1.923 ? 3.841 ????????2 分 20 ? 30 ? 24 ? 26 13

没有理由认为志愿者对工作的选择与其性别有关. ??????????4 分 (Ⅱ)参与整理 、打包衣物工作的志愿者中男生 12 人,女生 18 人,共 30 人, 用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 所以,被抽中的男生有 12 ? 被抽中的女生有 18 ?

5 1 ? 30 6

1 ? 2 人,记作 a , b ; 6
??????????8 分

1 ? 3 人,记作 x, y , z . 6

从这 5 人中选 2 人的所有可能情况有:

(a, b),(a, x),(a, y),(a, z),(b, x),(b, y),(b, z),( x, y),( x, z),( y, z) ,共 10 种
用事件 A 表示“至少有一人是女生”,则它所包含所有可能情况有:

(a, x),(a, y),(a, z ),(b, x),(b, y),(b, z),( x, y),( x, z),( y, z) ,共 9 种
5

所以 P ( A) ?

9 10

????????????????????12 分

19. (Ⅰ)证明:取 PB 中点 F ,连接 EF , AF , 由已知 EF // BC // AD ,且 2 EF ? 2 AD ? BC , 所以,四边形 DEFA 是平行四边形, 于是 DE // AF , AF ? 平面 PAB , DE ? 平面 PAB , 因此 DE // 平面 PAB . ????????????????????6 分 (Ⅱ)侧面 PAB ? 底面 ABCD , ? P 且 ?PAB ? ?ABC ? 90 所以 BC ? 平面 PAB , F E AF ? 平面 PAB ,所以 AF ? BC , 又因为 PA ? AB , F 是 PB 中点,于是 AF ? PB , B C PB ? BC ? B , 所以 AF ? 平面 PBC , 由(Ⅰ)知 DE // AF ,故 DE ? 平面 PBC , A D 而 DE ? 平面 PCD , 因此平面 PCD ? 平面 PBC . ?????12 分 20. 解: (Ⅰ)由条件可知, c ? 1, a ? 2 ,故 b ? a ? c ? 3 ,
2 2 2

椭圆的标准方程是

x2 y 2 ? ?1. 4 3

???(4 分)

(Ⅱ)由 AF ? ? FB ,可知 A,B,F 三点共线,设 点A( x1 , y1 ), 点B( x2 , y2 ) 若直线 AB ? x 轴,则 x1 ? x2 ? 1 ,不合题意. 当 AB 所在直线 l 的斜率 k 存在时,设方程为 y ? k ( x ? 1) .

??? ?

??? ?

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 y2 ,消去 y 得 ? 3 ? 4k ? x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4
由①的判别式 ? ? 64k ? 4(4k ? 3)(4k ?12) ? 144(k ? 1) ? 0 .
4 2 2 2



? 8k 2 x ? x ? ? ? 1 2 4k 2 ? 3 因为 ? , 2 ? x x ? 4k ? 12 1 2 ? 4k 2 ? 3 ?
所以 x1 ? x2 ?

???(6 分)

1 8k 2 1 ? ,所以 k 2 ? . 2 4 4k ? 3 2

???(8 分)
6

将k ?
2

1 1? 3 5 代入方程①,得 4 x 2 ? 2 x ? 11 ? 0, 解得x ? . ??? (10 分) 4 4

又因为 AF ? (1? x1, ? y1 ), FB ? ( x2 ?1, y2 ) , AF ? ? FB ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??

1 ? x1 3? 5 . ,所以 ? ? 2 x2 ? 1

???(12 分)

21. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? e x ? a , 由已知, f ?(0) ? ?1 , f (0) ? ?1 ,故 a ? ?2 , b ? ?2 ,

f ?( x) ? e x ? 2 ,当 x ? (??,ln 2) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? (ln 2, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,
故 f ( x ) 在 (??,ln 2) 单调递减,在 (ln 2, ??) 单调递增;??(6 分) (Ⅱ)方法 1:不等式 f ( x) ? x2 ? 4 ,即

x2 ? 2 x ? 2 ? 1, ex

设 g ( x) ?

x2 ? 2 x ? 2 4 ? x2 ? g ( x ) ? , , ex ex

x ? [0, 2) 时, g ?( x) ? 0 , x ? (2, ??) 时, g ?( x) ? 0 ,
所以 g ( x) 在 [0, 2) 递增,在 (2, ??) 递减, 当 x ? 0 时, g ( x) 有最大值 g ( 2) ?
2

6 ?1, e2

因此当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 . ????(12 分) 方法 2:设 g ( x) ? f ( x) ? ( x ? 4) ? e ? x ? 2x ? 2 ,
2 x 2

g?( x) ? ex ? 2x ? 2 ? f ( x) 在 (??,ln 2) 单调递减,在 (ln 2, ??) 单调递增,
因为 g ?(0) ? ?1 ? 0 , g ?(2) ? e 2 ? 6 ? 0 , 0 ? ln 2 ? 2 , 所以 g ?( x ) 在 [0, ??) 只有一个零点 x0 ,且 x0 ? (0, 2) , e
x0

? 2 x0 ? 2 ,

当 x ?[0, x0 ) 时, g ?( x) ? 0 ,当 x ? ( x0 , ??) 时, g ?( x) ? 0 ,
7

g ( x) 在 [0, x0 ) 单调递减,在 ( x0 , ??) 单调递增,
当 x ? 0 时, g ( x) ? g ( x0 ) ? e 0 ? x02 ? 2x0 ? 2 ? 4 ? x02 ? 0 ,
x

因此当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 4 . ????(12 分) 22. (Ⅰ)证明:因为 AB 是直径, 所以∠ACB=90° 又因为 F 是 BD 中点,所以∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB 因此∠BCF=∠CAB ????????5 分 (Ⅱ)解:直线 CF 交直线 AB 于点 G, 由 FC=FB=FE 得:∠FCE=∠FEC 可证得:FA=FG,且 AB=BG 2 2 由切割线定理得: (1+FG) =BG×AG=2BG ??① 2 2 2 在 Rt△BGF 中,由勾股定理得:BG =FG -BF ??② 2 由①、②得:FG -2FG-3=0 解之得:FG1=3,FG2=-1(舍去) G 所以 AB=BG= 2 2 所以⊙O 半径为 2 . ???10 分

D C F B E H O A

? 2 t ? x ? 1? ? 2 消去参数 ,化为普通方程 x ? y ? 2 ? 0 23. 解: (Ⅰ)将 ? t 2 ? y ? 1? t ? ? 2 ? x ? ? cos ? 再将 ? 代入 x ? y ? 2 ? 0 ,得 ? cos ? ? ? sin ? ? 2 ???????????5 ? y ? ? sin ?
分 (Ⅱ)联立直线 l 与曲线 C 的极坐标方程

? ? cos ? ? ? sin ? ? 2 ? 2 ? ? ? 4 ? (sin ? ? cos ? ) ? 4 ? 0
?? ? 2 ? ?1 ? 2 ? 2 因为 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ,所以可解得 ? 或? ?, ??1 ? 0 ?? 2 ? ? 2

) .???????????10 分 2 2 2 2 2 2 2 24. 证明: (I)∵ a ? b ? 2ab , b ? c ? 2bc , c ? a ? 2ca ,
∴ a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ,
2 2 2

因此 l 与 C 交点的极坐标分别为 (2, 0) , (2,

?

2 ∵ (a ? b ? c) ? 1,∴ a ? b ? c ? 2ab ? 2bc ? 2ca ? 1 ,
2 2 2

8

∴ 3(a2 ? b2 ? c2 ) ? 1,即 a ? b ? c ?
2 2 2

1 ; 3

????5 分

(I I)∵

a2 b2 c2 ? b ? 2a , ? c ? 2b , ? a ? 2c , b c a



a 2 b2 c 2 a 2 b2 c2 ? ? ? (a ? b ? c) ? 2(a ? b ? c) ,即 ? ? ? a ? b ? c , b c a b c a
????10 分

a 2 b2 c2 ? ? ? 1. ∵ a ? b ? c ? 1 ,∴ b c a

9


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