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四川省成都七中(高新校区)2014届高三数学“一诊”模拟试题 理


成都七中(高新校区)高 2014 届一诊模拟数学试卷(理科)
考试时间:120 分钟 总分:150 分 一.选择题(每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求. ) 1. 设 i 是虚数单位,则复数 (1 ? i) ?

2 在复平面内对应的点位于 i
C. 第三象限 ( )



) D. 第

A. 第一象限 B. 第二象限 四象限 2. 下列命题中真命题的是

A. “关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 有解”的否定是“ ?x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? 0 成立” B. ?x0 ? R ,使得 e 0 ? 0 成立
x

C. ?x ? R , 3 ? x
x

3

D. “ x ? a ? b ”是“ x ? 2ab ”的充分条件
2 2

3. 已知 ? 、 ? 是两个不同的平面,下列四个命题是“面 ? ∥面 ? ”的充分条件的为 ( )

A. 存在一条直线 a , a ? 面? 且 a ∥面 ? B. 存在一个平面 ? , ? ? ? , ? ? ? C. 存在两条平行直线 a、b , a ? ? , b ? ? , a ∥ ? 且 b ∥ ? D. 存在两条异面直线 a、b , a ? ? , b ? ? , a ∥ ? 且 b ∥ ?

4. 某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为: [20,40) , [40,60) , [60,80) , [80,100] , 则 该 次 英 语 测 试 该 班 的 平 均 成 绩 是 ( ).

A. 63

B. 65

C. 68

D. 70

? ? ? ? ? ? ? ? 5 5. 已知向量 a ? (1, 2) , b ? (?2, ?4) , c ? 5 ,若 (a ? b) ? c ? ,则 a 与 c 的夹角为 2
( ) A. 30° B. 60° C. 120° D.150° 6. 如图,是一正方体被过点 A,M,N 的平面和点 N,D,C 的平面截去两个角后所得的几何 体 , 其 中 M , N 分 别 为 棱 A1B1 , A1D1 的 中 点 , 则 该 几 何 体 的 正 视 图 为 ( )

1

7. 若 ( x ? ) n 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等, 则该展开式中的常数项是 ( ) A.第 3 项 B. 第 4 项 8. 在平面直角坐标系 xoy 中不等式组 ? 点 ( A.

1 x

C.第 5 项

D.第 6 项

?2 ? x ? 5 确定的平面区域为 D,在区域 D 中任取一 ?2 ? y ? 5
满 足

P(a, b)






P

a ? 2b ?
1 2

1 的0







2 3

B.

7 12

C.

D. ( )

5 12

9. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则下列命题正确的是

A. 若数列 {an } 是等比数列,则数列 S n , S 2 n ? S n , S3n ? S2 n 是等比数 列 B. 若数列 {an } 是等差数列,当 Sn ? m , Sm ? n 时, Sm? n ? m ? n ; C. 若 1, a , b , c ,9 成等比数列,则 b ? ?3 D. 若数列 {an } 满足 an ? an ?1 ? an ? an ?1 ,则数列 {an ? 2 ? an } 是等差数列 10. 对于实数 x , 定义 [ x] 表示不超过 x 的最大整数, 执行如右图的程序框图, 如果输入的 N=2014,则输出的 [ S ] 是 ( ) D. 3

A. 0 B. 1 C. 2 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中的横线上。 ) 11. 在 ? ABC 中, ?C ? 90 ,M 是 BC 的中点,若 sin ?MAC ?
3

?

1 ,则 sin ?BAC ? 3

12. 设 f ( x) ? ax ? 3x ? 1 ,若对于 x ?[?1,1] 总有 f ( x) ? 0 成立,则 a ? 13. 设 a ? b ? 1, b ? 0 ,则当 a ? 时,

1 4a ? 取得最小值 a b

14. 在 1,2,3,4,5 这五个数中任取三个组成数字不重复的三位数,则所有三位数的和为 (用数字作答)

, y , ? , ?均为实 15. 若定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? ? x ? ? y? ? ? f ? x ? ? ? f? y ?, ( x
2

数) ,则称 f ? x ? 为 R 上的线性变换,现有下列命题: ① f ? x ? ? 2 x 是 R 上的线性变换 ②若 f ? x ? 是 R 上的显性变换,则 f ? kx ? ? kf ? x ?? k ? R ? ③若 f ? x ? 与 g ? x ? 均为 R 上的线性变换,则 f ? x ? ? g ? x ? 是 R 上的线性变换 ④ f ? x ? 是 R 上的线性变换的充要条件为 f ? x ? 是 R 上的一次函数 其中是真命题有 (写出所有真命题的编号)

三.解答题(16-19 每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 16. (本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 S5 ? a3 , 且 S1 ,S 3 ,S 9 成等比数列, 求数列 {an }
2

的通项公式

17. (本小题满分 12 分) 已知向量 OA ? (? cos ? , ? sin ? ) (? ? 0) , OB ? (? sin ? , cos ? ) , OC ? (1, 0) ,其 中 O 为坐标原点。 (Ⅰ)若 ? ? 2 , ? ?

??? ?

??? ?

????

?

3 ??? ? ??? ? (Ⅱ)若 AB ? 2 OB 对任意实数 ? , ? 都成立,求实数 ? 的取值范围。

, ? ? (0, ? ) ,且 OA ? BC ,求 ? ;

??? ?

??? ?

18. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥面 ABCD,E 为 PD 之中点,PA=2AB=2 P (Ⅰ)求证:CE∥面 PAB; (Ⅱ)求二面角 C-PD-A 的平面角的正弦; E (Ⅲ)在 PC 上是否存在点 F 使得 PC⊥面 AEF,若存在,说明位置: A 若不存在,说明理由
B C

D

3

19. (本小题满分 12 分) 波波斯基以游戏方式决定是否参加学校同人社还是学校芭蕾舞团,游戏规则为:以 O 为起点(如图正方体 ABCD-EFGH 的中心为点 O) ,再从 A,B,C,D,E,F,G,H 这 8 个 顶点中任取两点为终点分别得到两个向量,记这两个向量的数量积为 X,若 X ? 0 就参 加芭蕾舞团,否则就参加同人社。 (Ⅰ)求波波参加学校芭蕾舞社的概率; (Ⅱ)若分别在左面四个顶点 A,D,H,E 处放置蓝球,右面四个顶点 B,C,G,F 处放置 红球,波波斯基在上底面随机抽取 2 个球,在下底面随机抽取 3 个球,记抽得的红球个 数为 ? ,写出随机变量 ? 的分布列和数学期望。

20. (本小题满分 13 分) ⑴ 求 证 : 函 数 f ( x) ? x ? 3x 对 于 区 间 [?1,1] 上 任 意 两 个 自 变 量 x1 , x2 . , 都 有
3

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4
⑵若过点 A (1, m) (m ? 2) 可作曲线 f ( x) ? x ? 3x 的三条切线,求实数 m 的取值范
3

围。

4

21. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)若函数 f1 ( x) ? e 的图象恒在函数 f 2 ( x) ? x ? m 图象的上方,求 m 的取值范围;
x

(Ⅱ)已知: f ( x) ?

ln x ? 1 ,求 f ( x) 的最大值; ex
2 ?2

(Ⅲ)若对于(Ⅱ)问中的 f ( x) ,记 g ( x) ? ( x ? x) ? f '( x) ,求证: g ( x) ? 1 ? e

5


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