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高二文科数学期末统考综合练习(一)


高二文科数学期末统考综合练习(一)
x 1.设集合 M={x|2 -1<1,x∈R},N={x|log2x<1,x∈R},则 M∩N 等于( A.[3,4) B.(2,3] C.(1,2) D.(0,1)



2.若复数 =

?

(i 是虚数单位)为纯虚数,则实数 a 的值为(



A.a=1 B.a=-1 C.a=0 D.a=±l 3.对具有线性相关关系的变量 x、y,有一组观测数据(xi,yi) (i=1,2,3,?,8) ,其回归方程为 y=x+a, y1+y2+y3+?+y8=9, 且 x1+x2+x3+?+x8=6, 则实数 a 的值是 ( A.-2 B.2 C.-1 D.1 4.给出一个程序框图,输出的结果为 s=132,则判断框中应填( A.i≥11 B.i≥10 C.i≤11 D.i≤12 5.给出下列命题:? ①向量与是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在一直线上;? ②两个单位向量是相等向量;? ③若 = , = ,则 = ; ④若一个向量的模为 0,则该向量与任一向量平行;? ⑤若与共线,与共线,则与共线 ⑥若 Sn= +






+ ? +



(n∈N*) ,则在 S1,S2,?,S100 中,正数的 ) D.4 个

个数是 72 个. 其中正确命题的个数是( A.1 个 B.2 个 C.3 个

6.

如图, 在半径为 3 的球面上有 A、 B、 C 三点, ∠ABC=90°, BA=BC,

球心 O 到平面 ABC 的距离是 A.




,则 B、C 两点的球面距离是( C.


)

B.π

D.2π

7.某校高二(1)班每周都会选出两位“迟到之星”,期中考试之前一周“迟到之星”人选揭晓之前,小马 说:“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”,小赵说:“一定没有我,肯定有小宋”, 小宋说:“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”,小谭说:“小赵说的对”.已知这四人中有 且只有两人的说法是正确的,则“迟到之星”是( ) A.小赵、小谭 B.小马、小宋 C.小马、小谭 D.小赵、小宋 8.下列类比推理中,得到的结论正确的是( ) A.把 loga(x+y)与 a(b+c)类比,则有 loga(x+y)=logax+logby B.向量,的数量积运算与实数 a,b 的运算性质|ab|=|a|?|b|类比,则有|?|=|||| n n n n n C.把(a+b) 与(ab) 类比,则有(a+b) =a +b D.把长方体与长方形类比,则有长方体的对角线平方等于长宽高的平方和

1

9.直线 y= x+b 是曲线 y=lnx(x>0)的一条切线,则实数 b=(






A.ln2+1 B.ln2-1 C.ln3+1 D.ln3-1 10.已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,满足 f′(x)<f(x) ,且 f(-x)=f(2+x) , x f(2)=1,则不等式 f(x)<e 的解集为( ) A.(-2,+∞) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(2,+∞) 11.已知抛物线 C 的方程为 y2=2px(p>0) ,一条长度为 4p 的线段 AB 的两个端 点 A、B 在抛物线 C 上 运动,则线段 AB 的中点 D 到 y 轴距离的最小值为 ( ) A.2p B.


C.



D.3p )

12.将正奇数按如图所示的规律排列, 则第 21 行从左向右的第 5 个数为 (

A.731 13.当复数 z=
+

B.809

C.852

D.891

+ ( + ? )为实数时,实数 m= ______ .

14.给出以下四个命题,所有真命题的序号为 ______ .
n y1) y2) yn) =∑i=1nyi, ①从总体中抽取的样本 (x1, , (x2, , L, (xn, , 若记=∑i=1 xi, 则回归直线 y=bx+a





必过点(,)

②将函数 y=cos2x 的图象向右平移 个单位,得到函数 = ( ? )的图象;





③已知数列 an,那么“对任意的 n∈N*,点 Pn(n,aa)都在直线 y=2x+1 上”是{an}为等差数列的“充分 不必要条件” ④命题“若 x≥2,则 x≥2 或 x≤-2”的否命题是“若{x}≥2,则-2<x<2” 15.已知 f(x)=axlnx+1,x∈(0,+∞) (a∈R) ,f′(x)为 f(x)的导函数,f′(1)=2,则 a= ______ . 16.在等差数列{an}中,我们有 结论是 ______ . 17.已知 m∈R,集合 A={m|m2-am<12a2(a≠0)};集合 B={m|方程
+ ? + + + + + +

=



,则在正项等比数列{bn}中,我们可以得到类似的

+



=1 表示焦点在 y 轴上的椭

圆},若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件,求 a 的取值范围.

高中数学试卷第 2 页,共 14 页

18.某手机生产企业为了解消费者对某款手机功能的认同情况,通过销售部随机 抽取 50 名购买该款手机的消费者,并发出问卷调查,该问卷只有 30 份给予回 复,这 30 份的评分如下: 男 女 47,36,28,48,29,48,44,50,46,46,42,45,50,37,35, 49 38,35,37,48,47,36,38,45,39,29,49,28,44,33

(Ⅰ)完成茎叶图,并求 16 名男消费者评分的中位数与 14 名女消费者评分的平均值; (Ⅱ)若大于 40 分为“满意”,否则为“不满意”,完成上面的 2×2 列联表,并判断是否有 95%的把握 认为消费者对该款手机的“满意度”与性别有关. 满意 男 女 合计 参考公式: = 参考数据: P (K2≥k0) 0.05 k0 3.841 0.025 5.024 0.01 6.635
(?) (+)(+)(+)(+)

不满意 合计

,其中 n=a+b+c+d

19.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 = ,3b-2c=7,A=60°. (1)求 b 的值; (2)若 AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D,求线段 AD 的长.

20.已知动点 P 到点( ,0)的距离比它到直线 x=- 的距离小 2.






(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)记 P 点的轨迹为 E,过点 S(2,0)斜率为 k1 的直线交 E 于 A,B 两点,Q(1,0) ,延长 AQ,BQ 与 E 交于 C,D 两点,设 CD 的斜率为 k2,证明:


为定值.

3

21.已知函数 f(x)=lnx-a(x-1) ,a∈R. (1)求函数 f(x)在点(1,f(1) )点处的切线方程; (2)当 a=1 时,求函数 f(x)的极值点和极值; (3)当 x≥1 时,f(x)≤
+

恒成立,求 a 的取值范围.

22.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 (1)将 C1 的方程化为普通方程;

= (θ

=?

为参数) .

(2)以 O 为极点,x 轴的正半轴建立极坐标系.设曲线 C2 的极坐标方程是 = ,求曲线 C1 和 C2 的交点 的极坐标.



23.设函数 f(x)=|-2x+4|-|x+6|. (1)求不等式 f(x)≥0 的解集; (2)若 f(x)>a+|x-2|存在实数解,求实数 a 的取值范围.

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高二文科数学期末统考综合练习(一)答案和解析
1.D 2.C 3.D 4.A 5.B 6.B 7.A 8.D 9.B 10.B 11.C 12.B 13.3 14.①②③ 15.2 16. = 6. 解:∵AC 是小圆的直径. 所以过球心 O 作小圆的垂线,垂足 O′是 AC 的中点. O′C= ? ( ) = ,AC=3 , ∴BC=3,即 BC=OB=OC.∴∠ = , 则 B、C 两点的球面距离= × = . 9. 解:求导得:y′=, ∵直线 y=x+b 是曲线 y=lnx(x>0)的一条切线, ∴=,即 x=2, 把 x=2 代入曲线方程得:y=ln2, 把切点(2,ln2)代入直线方程得:ln2=1+b, 解得:b=ln2-1, 10. 解:∵f′(x)<f(x) , ∴f′(x)-f(x)<0, 令 g(x)= 则 g′(x)=
′()?() ()



<0,

故 g(x)在 R 递减, 而 f(-x)=f(2+x) , 则 f(1-x)=f(1+x) ,f(x)关于 x=1 对称, 则 f(2)=f(0)=1, 由 f(x)<e ,得:g(x)= 11. 解:由题意可得抛物线的准线 l:x=-

x

()

<1=g(0) ,

解得:x>0,

分别过 A,B,M 作 AC⊥l,BD⊥l,MH⊥l,垂足分别为 C,D,H 在直角梯形 ABDC 中,MH=
+



由抛物线的定义可知 AC=AF,BD=BF(F 为抛物线的焦点) MH=
+

≥ =2p



即 AB 的中点 M 到抛物线的准线的最小距离为 2p, ∴线段 AB 的中点 M 到 y 轴的最短距离为 ( ? )= . 故选:C. l:x=-,分别过 A,B,M 作 AC⊥l,BD⊥l,MH⊥l,垂足分别为 C,D,H, 要求 M 到 y 轴的最小距离,只要先由抛物线的定义求 M 到抛物线的准线的最小距离 d,然后用 d-即 可求解. 12. 解:由题意知前 20 行共有正奇数 1+3+5+?+39=202=400 个, 则第 21 行从左向右的第 5 个数是第 405 个正奇数, 所以这个数是 2×405-1=809. 故选:B. 第一行有 1 个奇数,第二行有 2 个奇数,?第 n 行有 n 个奇数,每行的最后的奇数是第 1+2+3+?+n= (1+n)×n÷2 个奇数,这个奇数是 2×(1+n)×n÷2-1=(1+n)×n-1,这就是行数 n 和这行的最后 一个奇数的关系,依照这个关系,可得答案.


5

14. 解:根据线性回归直线必过样本中心点知①正确, 将函数 y=cos2x 的图象向右平移 个单位,得到 y=cos2(x- )=cos(2x- ? ) 再利用诱导公式变化为函数 = ( ? )的图象,②正确, 数列 an,那么“对任意的 n∈N*,点 Pn(n,aa)都在直线 y=2x+1 上” 是{an}为等差数列的“充分不必要条件”,③正确, 命题“若 x≥2,则 x≥2 或 x≤-2”的否命题是“若 x<2,则-2<x<2”, 注意命题的否定是即否定条件又否定结论.④不正确, 故答案为:①②③③ 15. 解:f′(x)=alnx+a,∵f′(1)=2,∴a=2. 故答案为 2. 求出 f′(x) ,根据 f′(1)=2 列出方程解出 a. 17.解:对于集合 A,由 m2-am<12a2,故(m-4a) (m+3a)<0, + > 对于集合 B,解 ? > ,解得:-4<m<2; ①a>0 时,集合 A:-3a<m<4a, + < ? 若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件, 则 < 2,解得:0<a<; ②a<0 时,集合 A:a<m<-3a, 若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件, 则
?<4

?<?

? < 2

,解得:- <a<0, 综上:a∈(- ,0)∪(0, ) .







18.解: (Ⅰ)茎叶图如图.

由图可知男消费者评分的中位数是 45.5, 女消费者评分的平均值为 ( + + + +47+36+38+45+39+29+49+28+44+33)=39. (Ⅱ)列联表如图, 满意 男 女 合计 11 5 16 不满意 合计 5 9 14 16 14 30 ≈3.274<3.841,所以没有 95%的把握认为消费者对该款手机的“满意度”与


=

(× ?× ) × × ×

性别有关.

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19.解: (1)由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA, 即 21=b2+c2-bc,联立 3b-2c=7, 解得 b=5,c=4. (2)△ = ? ? = × × ×


= ,△ = ? ? ∠ = × × × =








,△ = ? ? ∠ = × × × = , 由 S△ABC=S△ABD+S△ACD,得 = + ,


∴ =





20.(Ⅰ)解:∵动点 P 到点(,0)的距离比它到直线 x=-的距离小 2, ∴动点 P 到点(,0)的距离与它到直线 x=-的距离相等, ∴动点 P 的轨迹是以点(,0)为焦点的抛物线, ∴动点 P 的轨迹方程为 y2=2x; (Ⅱ)证明:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4) , 则直线 AB 的方程为 y=k1(x-2) ,代入抛物线方程中,得 ? ? = ,










∴y1+y2= ,y1y2=-4




直线 AC,BD 过点 Q(1,0) ,同理可得 y1y3=y2y4=-2, ∴k2= ? =
?
+

∴y3=- , = ? ,






=- +=2k1,



∴ =2.




21.解: (1)由题′ () = ? =

?+

,所以 f′(1)=1-a, 所以切线方程为: (1-a) (x-1)-y=0
?

(2)由题 a=1 时,f(x)=lnx-x+1,所以′ () = ? =

所以 f′(x)>0?0<x<1;f′(x)<0?x>1, 所以 f(x)在(0,1)单增,在(1,+∞)单减,所以 f(x)在 x=1 取得极大值 f(1)=0. 所以函数 f(x)的极大值 f(1)=0,函数无极小值 (3)() ? = +
?( ?) +

, 令 g(x)=xlnx-a(x2-1) (x≥1) ,
?

g′(x)=lnx+1-2ax,令 F(x)=g′(x)=lnx+1-2ax,′ () =

①若 a≤0,F′(x)>0,g′(x)在[1,+∞)递增,g′(x)≥g′(1)=1-2a>0 ∴g(x)在[1,+∞)递增,g(x)≥g(1)=0,从而() ? + ≥ ,不符合题意 ②若<< ,当 ∈ (, ),F′(x)>0,∴g′(x)在(, )递增, 从而 g′(x)>g′(1)=1-2a,以下论证同(1)一样,所以不符合题意 ③若 ≥ ,F′(x)≤0 在[1,+∞)恒成立, ∴g′(x)在[1,+∞)递减,g′(x)≤g′(1)=1-2a≤0, 从而 g(x)在[1,+∞)递减,∴g(x)≤g(1)=0,() ? + ≤ ,


7

综上所述,a 的取值范围是[



, + ∞).
= (θ
=?

22.解: (1)由曲线 C1 的参数方程为


为参数) ,可得(x-1)2+y2=1.


(2)曲线 C2 的极坐标方程是 = ,可得直角坐标方程:y= ,即 y= x.

联立

=

( ? ) + =



,解得 = ,或


=

=



=



分别化为极坐标(0,0) ,( , ). ∴曲线 C1 和 C2 的交点的极坐标为(0,0) ,( , ). 23.解: (1)f(x)≥0 即|2x-4|-|x+6|≥0, 可化为① ?( ? ) + ( + ) ≥ ,或 ③ ( ? ) ? ( + ) ≥ , 解①可得 x<-6; 解②可得? ≤ ≤ ? ;
<?



?( ? ) ? ( + ) ≥ ,或

?≤≤

>2

解③可得 x≥10.

综上,不等式 f(x)≥0 的解集为(?∞, ? ] ∪ [, + ∞)?..(5 分) (2)f(x)>a+|x-2|等价于 2|x-2|-|x+6|>a+|x-2|, 问题等价于|x-2|-|x+6|>a, 而|x-2|-|x+6|≤|(x-2)-(x+6)|=8, 若 f(x)>a+|x-2|存在实数解,则 a<8, 即实数 a 的取值范围是(-∞,8)?(10 分)

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【解析】 x 1. 解:集合 M={x|2 -1<1,x∈R}={x|x-1<0}={x|x<1}, N={x|log2x<1,x∈R}={x|log2x<1=log22} ={x|0<x<2}, ∴M∩N={x|0<x<1}=(0,1) , 故选:D. 分别运用指数不等式和对数不等式的解法,结合指数函数和对数函数的单调性,化简集合 A,B,再由交集 的定义,计算即可得到所求. 本题考查集合的交集运算, 注意运用指数不等式和对数不等式的解法, 结合指数函数和对数函数的单调性, 考查运算能力,属于基础题. 2. 解:复数 =
? ?(? )

=

??

=a2-i 为纯虚数,

∴a2=0,解得 a=0. 故选:C. 利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出. 本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义,属于基础题. 3. 解:∵x1+x2+x3+?+x8=6, (y1+y2+y3+?+y8)=9, ∴=,=,∴样本中心点的坐标为(,) , 代入回归直线方程得,=×+a,∴a=1. 故选:D. 求出横坐标和纵坐标的平均数,写出样本中心点,把样本中心点代入线性回归方程,得到关于 a 的方程, 解方程即可. 本题考查线性回归方程,解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点,这是求解线性回归方程的步骤之 一. 4. 解:按照程序框图依次执行:i=12,s=1;进入循环,s=1×12=12,i=11;s=12×11=132,i=10,跳 出循环, 故 k=10 满足判断框内的条件,而 i=11 不满足,故判断框内的条件应为 i≥11 故选 A. 按照程序框图依次执行,直到 s=132,求出此时的 k,进一步确定判断框内的条件即可. 本题考查循环结构的程序框图,弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决问题的关键. 5. 解:①向量与是共线向量,则∥,但 A、B、C、D 四点不一定在一直线上,故①错误;? ②两个单位向量是相等向量错误,长度相等,但方向不一定相同,故②错误;? ③若 = , = ,则 = ;正确,故③正确, ④若一个向量的模为 0,则该向量为零向量,零向量与任一向量平行,故④正确, ⑤若与共线,与共线,则与共线,错误,当=时,结论不成立,故⑤错误, ⑥∵sin>0,sin >0,?sin >0,sin =0,sin <0,?sin ∴S1=sin>0, S2=sin+sin >0, ?,
. .

<0,sin



=0,

9

S8=sin+sin +?sin +sin +sin =sin +?+sin +sin >0, ?, S12>0, 而 S13=sin+sin +?+sin +sin +sin +sin +?+sin S14=S13+sin


















=0,

=0+0=0, =0+sin=S1>0,S16=S2>0,?S27=S13=0,S28=S14=0,


又 S15=S14+sin



∴S14n-1=0,S14n=0(n∈N*) ,在 1,2,?100 中,能被 14 整除的共 7 项, ∴在 S1,S2,?,S100 中,为 0 的项共有 14 项,其余项都为正数. 故在 S1,S2,?,S100 中,正数的个数是 86.故⑥错误, 故正确的是③④, 故选:B ①根据向量关系的性质进行判断, ②单位向量的方向不一定相同, ③根据相等向量的定义进行判断, ④模长为 0 的向量为零向量, ⑤当=时,结论不成立, sin >0, sin =0, sin <0, ⑥由于 sin>0, ?sin >0, ?sin


sin <0,



=0, 可得到 S1>0, ?S13=0,

而 S14=0,从而可得到周期性的规律,从而得到答案. 本题主要考查命题的真假判断,涉及向量的有关概念和性质,考查学生的运算和推理能力. 6. 解:∵AC 是小圆的直径. 所以过球心 O 作小圆的垂线,垂足 O′是 AC 的中点. O′C= ? ( ) = ,AC=3 , ∴BC=3,即 BC=OB=OC.∴∠ = , 则 B、C 两点的球面距离= × = . 故选 B. 7. 解:小马说:“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”, 如果小马说假话,则小赵、小宋、小谭说的都是假话,不合题意, 所以小马说的是真话; 小赵说:“一定没有我,肯定有小宋”是假话, 否则,小谭说的是真话,这样有三人说真话,不合题意; 小宋说:“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”,是真话; 小谭说:“小赵说的对”,是假话; 这样,四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的, 且“迟到之星”是小赵和小谭. 故选:A. 根据题意,得出四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的,“迟到之星”是小赵和小谭.


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本题考查了逻辑推理的应用问题,是基础题目. 8. 解:根据对数运算法则,可得 A 不正确; 利用向量的数量积运算,可得 B 不正确; 利用乘方运算,可得 C 不正确; 把长方体与长方形类比,则有长方体的对角线平方等于长宽高的平方和,可知 D 正确. 故选:D. 利用对数运算法则、和角的正弦公式、乘方运算、勾股定理,即可得出结论. 本题考查类比推理,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 9. 解:求导得:y′=, ∵直线 y=x+b 是曲线 y=lnx(x>0)的一条切线, ∴=,即 x=2, 把 x=2 代入曲线方程得:y=ln2, 把切点(2,ln2)代入直线方程得:ln2=1+b, 解得:b=ln2-1, 故选:B. 利用求导法则求出曲线方程的导函数解析式,由已知直线为曲线的切线,根据切线斜率求出切点坐标,代 入直线解析式求出 b 的值即可. 此题考查了利用导师研究曲线上某点的切线方程,熟练掌握导数的几何意义是解本题的关键. 10. 解:∵f′(x)<f(x) , ∴f′(x)-f(x)<0, 令 g(x)=
()

,则 g′(x)=

′()?()

<0,

故 g(x)在 R 递减, 而 f(-x)=f(2+x) , 则 f(1-x)=f(1+x) ,f(x)关于 x=1 对称, 则 f(2)=f(0)=1, 由 f(x)<e ,得:g(x)= 解得:x>0, 故选:B. 令 g(x)=
()
x

()

<1=g(0) ,

,求出函数的导数,求出 g(0)=1,从而求出不等式的解集即可.

本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用以及转化思想,是一道中档题. 11. 解:由题意可得抛物线的准线 l:x=-


分别过 A,B,M 作 AC⊥l,BD⊥l,MH⊥l,垂足分别为 C,D,H 在直角梯形 ABDC 中,MH=
+



由抛物线的定义可知 AC=AF,BD=BF(F 为抛物线的焦点) MH=
+

≥ =2p



11

即 AB 的中点 M 到抛物线的准线的最小距离为 2p, ∴线段 AB 的中点 M 到 y 轴的最短距离为 ( ? )= . 故选:C. l:x=-,分别过 A,B,M 作 AC⊥l,BD⊥l,MH⊥l,垂足分别为 C,D,H,要求 M 到 y 轴的最小距离, 只要先由抛物线的定义求 M 到抛物线的准线的最小距离 d,然后用 d-即可求解. 本题考查线段中点到 y 轴距离的最小值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意抛物线性质的合理运 用. 12. 解:由题意知前 20 行共有正奇数 1+3+5+?+39=202=400 个, 则第 21 行从左向右的第 5 个数是第 405 个正奇数, 所以这个数是 2×405-1=809. 故选:B. 第一行有 1 个奇数, 第二行有 2 个奇数, ?第 n 行有 n 个奇数, 每行的最后的奇数是第 1+2+3+?+n= (1+n) ×n÷2 个奇数,这个奇数是 2×(1+n)×n÷2-1=(1+n)×n-1,这就是行数 n 和这行的最后一个奇数 的关系,依照这个关系,可得答案. 本题从观察数阵的排列规律,考查了数列的求和应用问题;解题时,关键是发现规律并应用所学知识,来 解答问题. 13. 解:复数 z=+ + ( + ? )为实数时, 可得 m2+2m-15=0,解得 m=3 或 m=-5(舍去) 故答案为:3. 利用复数的虚部为 0,实部有意义,求解即可. 本题考查复数的基本概念,是基础题,注意实部有意义是易错点. 14. 解:根据线性回归直线必过样本中心点知①正确, 将函数 y=cos2x 的图象向右平移 个单位,得到 y=cos2(x- )=cos(2x- ? ) 再利用诱导公式变化为函数 = ( ? )的图象,②正确, 数列 an,那么“对任意的 n∈N*,点 Pn(n,aa)都在直线 y=2x+1 上” 是{an}为等差数列的“充分不必要条件”,③正确, 命题“若 x≥2,则 x≥2 或 x≤-2”的否命题是“若 x<2,则-2<x<2”, 注意命题的否定是即否定条件又否定结论.④不正确, 故答案为:①②③③ 根据线性回归直线必过样本中心点知①正确,根据三角函数图形的平移和诱导公式知②正确,根据数列的 通项知③正确,根据命题的否定是即否定条件又否定结论,④不正确. 本题考查线性回归方程,考查三角函数图形的变化,考查命题的否定,考查等差数列,本题是一个综合题 目. 15. 解:f′(x)=alnx+a,∵f′(1)=2,∴a=2. 故答案为 2. 求出 f′(x) ,根据 f′(1)=2 列出方程解出 a. 本题考查了基本函数的导数及导数运算,是基础题. 16. 解:由题意,等差数列{an}中,我们有
+ + + + +

=

+

, .

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类比得:在正项等比数列{bn}中 = . 故答案为: = . 由题意,本题用类比推理由等差数列的性质得到等比数列的性质,其运算关系由加类比乘,故结论易得. 本题考查类比推理,掌握类比推理的规则及类比对象的特征是解本题的关键,本题中由等差结论类比等比 结论,其运算关系由加类比乘,由减类比除,解题的难点是找出两个对象特征的对应,作出合乎情理的类 比. 17. 通过讨论 a 的范围,分别求出关于 A、B 的不等式的解集,结合集合的包含关系,得到关于 a 的不等式组, 解出即可. 本题考查了充分必要条件,考查集合的运算以及不等式问题,是一道中档题. 18. (Ⅰ)由图可知男消费者评分的中位数是 45.5,即可估计女性使用微信的平均时间; (Ⅱ)列出列联表,求出 K2,与临界值比较即可得出结论. 本题主要考查独立性检验、茎叶图,考查学生的计算能力,属于中档题. 19. (1)利用余弦定理、方程组的解法即可得出. (2)利用三角形面积计算公式即可得出. 本题考查了余弦定理的应用、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 20. (Ⅰ)由动点 P 到点(,0)的距离比它到直线 x=-的距离小 2,可得动点 P 到点(,0)的距离与它到 直线 x=-的距离相等,由此能求出抛物线方程. (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4) ,则 k2= ? =
?
+









=- +=2k1,即可得出结



论. 本题考查抛物线方程的求法,考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法,解题时要认真审题,注 意直线方程的合理运用. 21. (1)求出导函数,求解切线的斜率 f′(1)=1-a,然后求解切线方程. (2)求出函数的极值点,判断函数的单调性,求解函数的极值即可. (3)令 g(x)=xlnx-a(x2-1) (x≥1) ,求出导函数 g′(x)=lnx+1-2ax,令 F(x)=g′(x)=lnx+1-2ax, 求出′ () =
?

,通过若 a≤0,若<< ,若 ≥ ,分别判断函数的符号函数的单调性,求解函数





的最值,然后求解 a 的取值范围. 本题考查函数的导数的应用,切线方程以及函数的极值单调区间,函数的最值的求法,考查构造法以及转 化思想的应用,分类讨论思想的应用,难度比较大. 22. (1)利用 cos2θ +sin2θ =1 即可化为普通方程. (2)曲线 C2 的极坐标方程是 = ,可得直角坐标方程: y= ,与圆的方程联立即可得出交点坐标, 进而化为极坐标. 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、 曲线的交点坐标、 参数方程应用, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.


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23. (1)通过讨论 x 的范围,得到关于 x 的不等式组,解出即可; (2)问题等价于|x-2|-|x+6|>a,根据绝对值的性质求出 a 的范围即可. 本题考查了解绝对值不等式问题,考查绝对值的性质,是一道中档题.

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