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【创优设计】高二数学人教B版选修2-1课件2.3.2 双曲线的几何性质_图文

2.3.2 双曲线的几何性质 课程目标 1.类比椭圆的性质,能根据双曲线的标准方程, 讨论它的几何性质. 2.能够运用双曲线的性质解决一些简单问题. 3.正确理解双曲线的特有性质——渐近线. 学习脉络 双曲线的标准方程和几何性质 x2 标准方程 a2 ? 2 =1 b y2 y2 a2 ? 2 =1 b x2 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 图形 性 质 范围 对称 性 x≥a 或 x≤-a,y∈R 对称轴:x 轴、y 轴 对称中心:原点 x∈R,y≤-a 或 y≥a 对称轴:x 轴、y 轴 对称中心:原点 顶 点 渐 近 线 离 心 率 实 虚 轴 a ,b ,c 的 关系 顶点坐标 A1(-a,0),A2(a,0) y=± x 顶点坐标 A1(0,-a),A2(0,a) y=± x e= ,e∈(1,+∞),其中 c= 2 + 2 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2 叫做双曲线 的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚 半轴长 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) 思考 1 双曲线的离心率对开口大小有怎样的影响? 提示:双曲线的离心率 e= 反映了双曲线开口的大小,e 越大,双曲线的 开口就越大. 思考 2 双曲线的焦点始终在什么轴所在的直线上? 提示:实轴. 思考 3 一条直线与双曲线的渐近线平行时,它与双曲线有几 个公共点? 提示:1 个. 名师点拨双曲线与椭圆的六个不同点: 双曲线 曲线 顶点 轴 渐近线 离心率 a,b,c 关系 两支曲线 两个顶点 实、虚轴 有渐近线 e>1 a2+b2=c2 椭圆 封闭的曲线 四个顶点 长、短轴 无渐近线 0<e<1 a2-b2=c2 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一由双曲线方程研究其几何性质 已知双曲线的方程求该双曲线的有关性质的步骤:先将双曲线的方程 2 化为标准形式2 ? 2 2 =1 a2,b2,而不是 a,b)求出 c,进而对照双曲线的几何性质得到相应的答案.画几 何图形时,要先画双曲线的两条渐近线(即以 2a,2b 为两邻边的矩形的对角 线所在的直线)和两个顶点,然后根据双曲线的变化趋势画出双曲线的近似 图形. 【典型例题 1】求双曲线 16x2-9y2=-144 的半实轴长、半虚轴长、焦点 坐标、顶点坐标、离心率和渐近线方程,并作出草图. 思路分析:将双曲线方程变为标准方程,确定 a,b,c 后求解. 2 2 或 2 - 2 = 1 ,再根据 a,b 的值(注意分母分别为 探究一 探究二 探究三 探究四 解:把方程 16x -9y =-144 化为标准方程 5 4 2 2 2 4 2 ? 2 3 4 3 2 =1,由此可知,半实轴长 a=4,半虚轴长 b=3,c= 2 + 2 =5,焦点坐标为(0,-5),(0,5);顶点坐标为 (0,-4),(0,4);离心率为 e= = ;渐近线方程为 y=± x.作草图. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究二利用几何性质求双曲线的标准方程 双曲线标准方程的求法和椭圆方程的求法类似,一般都采用待定系数 法,即先设出标准方程,再利用条件列出关于 a,b,c 的方程,解方程组求出待 定系数. 【典型例题 2】根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,焦距为 10; 2 (2)已知双曲线的渐近线方程为 y=± x,且过点 M 3 2 2 (3)与椭圆49 + 24=1 2 1 9 ,-1 2 ; 有公共焦点,且率心率 e=4. 5 思路分析:根据题设条件确定 a,b 的关系式,利用解方程的方法求得 a,b 的值.但焦点位置不明确的,要注意分情况讨论.也可根据双曲线的几何情况, 设出双曲线系方程再求解. 探究一 2 2 解:(1)解法一:当焦点在 x 轴上时,设所求双曲线方程为2 ? 2 =1. 1 1 由渐近线方程为 y=± x,得 = 2,2c=10. 2 探究二 探究三 探究四 又 c2=a2+b2,得 a2=20,b2=5, 2 2 所以双曲线的标准方程为20 ? 5 =1. 2 2 同理,当焦点在 y 轴上时,可得双曲线的方程为 ? =1, 5 20 2 2 2 2 所以所求双曲线的标准方程为 ? =1 或 ? =1. 20 5 5 20 1 解法二:由渐近线方程为 y=± x, 2 2 2 2 2 可设双曲线方程为 4 -y =λ(λ≠0),即4 ? =1. 由 a2+b2=c2,2c=10,得|4λ|+|λ|=25, 所以|λ|=5,所以 λ=± 5, 2 2 2 所以所求双曲线的标准方程为 ? =1 或 20 5 5 2 ? =1. 20 探究一 探究二 探究三 探究四 (2)因为双曲线的渐近线方程为 2x± 3y=0, 所以可设双曲线的方程为 4x2-9y2=λ(λ≠0). 又因为双曲线过点 M 所以 λ=4× 4 -9=72. 所以双曲线方程为 4x2-9y2=72, 2 2 即标准方程为18 ? 8 =1. 81 9 ,-1 2 , (3)解法一:由椭圆方程可得焦点坐标为(-5,0),(5,0),即 c=5 且焦点在 x 轴上. 2 2 设双曲线方程为 2 ? 2=1(a>0,b>0),且 c=5. 5 又 e= = , 4 所以 a=4, 所以 b2=c2-a2=9. 探究一 探究二 探究三 探究四 2 2 所以双曲线的标准方程为16 ? 9 =1. 解法二:因为椭圆的焦点在 2 =1(24<λ<49). -24 5 -24 又 e=4,所以 49- 2 x 轴上,所以可设双曲线方程为 49- ? = 16-1,解得 λ

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