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高中数学必修5新教学案:3.3.2简单的线性规划问题(1)

必修 5

3.3.2

简单的线性规划问题(学案)
(第 1 课时)

【知识要点】 1.目标函数、约束条件、线性规划、可行域、可行解、最优解等概念; 2.在约束条件下,求 z ? ax ? by ? c 的最值; 3.线性规划的简单应用. 【学习要求】 1. 知道线性规划的意义; 2. 能正确利用图解法解决线性规划问题; 3. 能用线性规划问题解决简单的实际问题.

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 87 页~第 89 页) 1.在教材第 87 页引例中,约束条件是 ,为什么又叫线性约束条件? 目标函数是 ,为什么又叫线性目标函数? 2. 称为线性规划问题; 3. 叫做可行解; 叫做可行域; 叫做最优解. 【基础练习】 1.给定下列命题:在线性规划问题中,①最优解指的是目标函数的最大值或最小值; ②最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量 x或y ;③最优解指的是目标函数取 得最大值或最小值的可行域; ④最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 其 中真命题的序号是 . 2.在教材第 87 页引例中,当直线 z ? 2 x ? 3 y, 即y ? ? 越向 (上,下) z 越大,直线越向 . 3.解下列线性规划问题:

2 z x ? 经过可行域时,直线 3 3 (上,下) z 越小,为什么? z 的几何意义是

? y ? x, ? (1)求 z ? 2 x ? y 的最大值,使 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ? y ? ?1. ?

1

?5 x ? 3 y ? 15, ? (2)求 z ? 23x ? 5 y 的最大值和最小值,使 x, y 满足约束条件 ? y ? x ? 1, ? x ? 5 y ? 3. ?

【典型例题】

?2 x ? y ? 300 ? x ? 2 y ? 250 ? 例 1 已知 x, y 满足不等式组 ? ,试求 z ? 300x ? 900y 的最大值时点的 x?0 ? ?y ? 0 ? 坐标,及相应的 z 的最大值
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?3 x ? y ? 300, ? 变式训练: 已知 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 250, 求目标函数 z ? 600x ? 300y 的最大 ? x ? 0, y ? 0. ?
值,并求整点最优解.

例 2

075 营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供 0. kg 的碳水化合物,

0. kg 的蛋白质, 0. kg 的脂肪, 1kg 食物 A 含有 0. kg 碳水化合物, 0. kg 蛋白质, 06 06 105 07 0. kg 脂肪,花费 28 元;而 1kg 食物 B 含有 0. kg 碳水化合物, 0. kg 蛋白质, 0. kg 14 105 14 07
脂肪,花费 21 元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用 食物 A 和食物 B 多少 kg ?

2

变式训练:某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产甲产品 1 吨,需要煤 9 吨,需电 4 瓦,工作日 3 个(一个 2 人劳动一天等于一个工作日) ,生产乙种产品 1 吨,需要用煤 4 吨, 需电 5 瓦,工作日 12 个,又知甲产品每吨售价 7 万元,乙产品每吨售价 12 万元,且每天供 煤最多 360 吨,供电最多 200 瓦,全员劳动人数最多 300 人,问每天安排生产两种产品各多 少吨;才能使日产值最大,最大产值是多少?

? x ? y ? 5 ≥ 0, ? 1.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≥ 0, 则 z ? 2 x ? 4 y 的最大值为( ? x ≤ 3. ?
(A) 5 (B) ?38 (C) 10 (D) 38

) .

? x ≤ 2, ? 2.若 ? y ≤ 2, 则目标函数 z ? x ? 2 y 的取值范围是( ? x ? y ≥ 2, ?
6] (A) [2, 5] (B) [2, 6] (C) [3,

) .

5] (D) [3,
y

3.给出平面区域如图所示,若使目标函数

z ? ax ? y (a ? 0) 取得最大值的最优解有无穷多
个,则 a 的值为( (A) ) . (B)

1 4

(C) 4

3 5 5 (D) 3
O

? 22 ? C ?1, ? ? 5?
A(5, 2)

B(11) ,

4.满足 | x | ? | y |≤ 2 的整点(横、纵坐标为 整数)的个数是( (A) 11 ) (B) 12

x
(D) 14

(C) 13

5.给出下面的线性规划问题:求 z ? 3x ? 5 y 的最大值和最小值,使 x , y 满足约束
3

?5 x ? 3 y ≤ 15, ? 条件 ? y ≤ x ? 1, 要使题目中目标函数只有最小值而无最大值, 请你改造约束条件中一个 ? x ? 5 y ≤ 3. ?
不等式,那么新的约束条件是 .

4) , , 6. △ ABC 中,三个顶点的坐标分别为 A(2, , B(?1 2) , C (1 0) ,点 P( x,y ) 在
△ ABC 内部及边界运动,则 z ? x ? y 的最大值及最小值分别是
和 .

?x ? 2 y ? 2 ? 7.已知 x, y 满足不等式 ?2 x ? y ? 1 ,求 z ? 3x ? y 的最小值 ? x ? 0, y ? 0 ?

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8.某工厂家具车间造 A, B 型两类桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木 工做一张 A, B 型桌子分别需要 1 小时和 2 小时,漆工油漆一张 A, B 型桌子分别需要 3 小时 和 1 小时;又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时,而工厂造一张 A, B 型 桌子分别获利润 2 千元和 3 千元,试问工厂每天应生产 A, B 型桌子各多少张,才能获得利 润最大?
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?2 x ? y ? 4 ? 1.(2009 宁夏海南卷理)设 x, y 满足 ? x ? y ? ?1, 则z ? x ? y ( ?x ? 2 y ? 2 ?
(A)有最小值 2,最大值 3 (C)有最大值 3,无最小值 (B)有最小值 2,无最大值 (D)既无最小值,也无最大值

) .

?x ? y ? 2 ? 0 ? 2. (2009 北京卷理) 若实数 x, y 满足 ? x ? 4 则 s ? y ? x 的最小值为 ?y ? 5 ?



4

必修 5

3.3.2 简单的线性规划问题(教案)
(第 1 课时)

【教学目标】 1.知识与技能:使学生了解线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行解、可行域、 最优解等基本概念;了解线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模 能力; 3.情态与价值:培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的 数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力. 【重点】 用图解法解决简单的线性规划问题. 【难点】 准确求得线性规划问题的最优解.

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 87 页~第 89 页)

? x ? 2 y ? 8, ?4 x ? 16, ? ? 1. 在教材第 87 页引例中, 约束条件是 ?4 y ? 12, 为什么又叫线性约束条件? (约 ? x ? 0, ? ? y ? 0. ?
束条件都是关于 x, y 的一次不等式)目标函数是 z ? 2 x ? 3 y ,为什么又叫线性目标函数? (目标函数是关于 x, y 的一次解析式) 2.在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题称为线性规划问题; 3.满足线性约束条件的解 ( x, y ) 叫做可行解;由所有可行解组成的集合叫做可行域; 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解. 【基础练习】 1.给定下列命题:在线性规划问题中,①最优解指的是目标函数的最大值或最小值; ②最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量 x或y ;③最优解指的是目标函数取 得最大值或最小值的可行域; ④最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 其 中真命题的序号是 ④ .

2 z x ? 经过可行域时,直线 3 3 越向 上 (上,下) z 越大,直线越向 下 (上,下) z 越小,为什么?(由 z 的几何
2.在教材第 87 页引例中,当直线 z ? 2 x ? 3 y, 即y ? ? 意义决定的) z 的几何意义是

z 是直线在 y 轴上的截距. 3
5

3.解下列线性规划问题:

? y ? x, ? (1)求 z ? 2 x ? y 的最大值,使 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ? y ? ?1. ? ?5 x ? 3 y ? 15, ? (2)求 z ? 23x ? 5 y 的最大值和最小值,使 x, y 满足约束条件 ? y ? x ? 1, ? x ? 5 y ? 3. ?
答案: (1) z max ? 3 . 【典型例题】 (2) z max ? 17,   z min ? ?11 .

?2 x ? y ? 300 ? x ? 2 y ? 250 ? 例 1 已知 x, y 满足不等式组 ? ,试求 z ? 300x ? 900y 的最大值时点的 ?x ? 0 ?y ? 0 ?
坐标,及相应的 z 的最大值
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【审题要津】先画出平面区域,然后在平面区域内寻找使 z ? 300x ? 900y 取最大值时 的点并求最大值 解:如图所示平面区域 AOBC 点 ,
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y 2x+y=300 A C x+2y=250 O 150 B 250 x

A ( 0 , 1 ,点 ) 2 5 B(150,0),点 C 的坐标由方程组

350 ? x? 2 x ? y ? 300 ? ? ? 3 ?? ? ? x ? 2 y ? 250 ? y ? 200 ? 3 ?
得C (

350 200 , ) , 3 3
得 y =-

l:x+3y=0
1 z x? , 3 900

由 z ? 300x ? 900y ,

z 的最大值, 从而可求 z 的最大值, 900 1 1 1 z 因直线 y =- x ? 与直线 y =- x 平行, 故作与 y =- x 的平行线, 当过点 A(0, 125) 3 900 3 3
欲求 z ? 300x ? 900y 的最大值, 即转化为求截距 时, 对应直线的截距最大, 所以此时整点 A 使 z 取最大值,z max =300×0+900×125=112500 . 【方法总结】1.在线性约束条件下,求 z ? ax ? by ? c 的最值时,作图需准确,要区 别目标函数所对应直线的斜率与可行域的边界直线的斜率的大小关系, 分清目标函数所对应 直线在 y 轴上的截距与 z 的关系. 2.用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答” .

6

变式训练:

?3 x ? y ? 300, ? 已知 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 250, 求目标函数 z ? 600x ? 300y 的最大值, 并求整 ? x ? 0, y ? 0. ?
点最优解. 解:可行域如图所示: 四边形 AOBC 易求点 A (0,126) B (100,0) , 由方程组:

y 3x+y=300 A C x+2y=252 O B 100 2x+y=0 252 x

3 ? ? x ? 69 5 ?3x ? y ? 300 ? ?? ? ? x ? 2 y ? 252 ? y ? 91 1 ? 5 ?
得点 C 的坐标为(69

3 1 ,91 ) 5 5

因题设条件要求整点 ( x, y ) 使 z ? 600x ? 300y 取最大值,将点(69,91)(70,90) , 代入 z ? 600x ? 300y ,可知当 ? 最优解为 (70,90) . 例 2

? x ? 70 时, z 取最大值为 z max =600×70+300×900=69000, ? y ? 90

075 营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供 0. kg 的碳水化合物,

0. kg 的蛋白质, 0. kg 的脂肪, 1kg 食物 A 含有 0. kg 碳水化合物, 0. kg 蛋白质, 06 06 105 07 0. kg 脂肪,花费 28 元;而 1kg 食物 B 含有 0. kg 碳水化合物, 0. kg 蛋白质, 0. kg 14 105 14 07
脂肪,花费 21 元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用 食物 A 和食物 B 多少 kg ? 【审题要津】先将已知数据列成下表,使题意直观化. 食物/ kg 碳水化合物/ kg 0.105 0.105 蛋白质/ kg 0.07 0.14 脂肪/ kg 0.14 0.07

A B

解:设每天食用 x 千克食物 A , y 千克食物 B ,总成本为 z .那么

105 105 075 ?0. x ? 0. y ? 0. , ?0. x ? 0. y ? 0. , 14 06 ? 07 ? 14 07 06 ?0. x ? 0. y ? 0. , ? x ? 0, y ? 0. ?



7

目标函数为

z ? 28x ? 21y .

二元一次不等式组①等价于

?7 x ? 7 y ? 5, ?7 x ? 14 y ? 6, ? ? ?14x ? 7 y ? 6, ? x ? 0, y ? 0. ?
考虑 z ? 28x ? 21y , 将它变形为



作出二元一次不等式组②所表示的平面区域,即可行域.

4 z 4 y ? ? x ? , 这是斜率为 ? , 随 3 21 3 z z 变化的一族平行直线. 是直线在 21 z y 轴上的截距,当 取最小值时, z 21
的值最小. 当然直线要与可行域相交, 即在满足约束条件时目标函数

z ? 28x ? 21y 取得最小值.
由图可见, 当直线 z ? 28x ? 21y 经过可行域上的点 M 时,截距

z 最小,即 z 最小.解方程组 21

?7 x ? 7 y ? 5, ? ?14x ? 7 y ? 6,
得 M 点的坐标为

1 4 x ? ,  y ? . 7 7

所以 z min ? 28x ? 21y ? 16 . 答:每天食用食物 A 约 143g ,食物 B 约 571g ,能够满足日常饮食要求,又使花费最 低,最低成本为16元. 【方法总结】线性规划解决实际问题的解题思路:首先,应准确建立数学模型,即根据 题意找出约束条件, 确定线性目标函数. 然后, 用图解法求得数学模型的解, 即画出可行域, 在可行域内求得使目标函数取得最值的解, 最后, 要根据实际意义将数学模型的解转化为实 际问题的解,即结合实际情况求得最优解. 变式训练:某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产甲产品 1 吨,需要煤 9 吨,需电 4 瓦,工作日 3 个(一个 2 人劳动一天等于一个工作日) ,生产乙种产品 1 吨,需要用煤 4 吨, 需电 5 瓦,工作日 12 个,又知甲产品每吨售价 7 万元,乙产品每吨售价 12 万元,且每天供 煤最多 360 吨,供电最多 200 瓦,全员劳动人数最多 300 人,问每天安排生产两种产品各多 少吨;才能使日产值最大,最大产值是多少?

8

解:设每天生产甲种产品 x 吨,乙种产品 y 吨,日产值为 z 万元。则约束条件为:

?9 x ? 4 y ? 360, ?4 x ? 5 y ? 200, ? ? ?3x ? 12 y ? 150, ? x ? 0, y ? 0. ?
线性目标函数为 z = 7 x ? 12 y . 可行域如图所示: 由图可知当过点(

y 90 9x+4y=360 40 25 40 0 7x+12y=0
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3x+12y=300 100 x 4x+5y=200

155 45 , )时, z 最大. 4 16

z max =305(万元)
答:最大产值为 305 万元
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? x ? y ? 5 ≥ 0, ? 1.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≥ 0, 则 z ? 2 x ? 4 y 的最大值为( D ) . ? x ≤ 3. ?
(A) 5 (B) ?38 (C) 10 (D) 38

? x ≤ 2, ? 2.若 ? y ≤ 2, 则目标函数 z ? x ? 2 y 的取值范围是( A ) . ? x ? y ≥ 2, ?
6] (A) [2, 5] (B) [2, 6] (C) [3,
5] (D) [3,
y

3.给出平面区域如图所示,若使目标函数

z ? ax ? y (a ? 0) 取得最大值的最优解有无穷多
个,则 a 的值为( B ) . (A)

1 4

(B)

(C) 4

3 5 5 (D) 3
O

? 22 ? C ?1, ? ? 5?
A(5, 2)

4.满足 | x | ? | y |≤ 2 的整点(横、纵坐标为 整数)的个数是( C ) (A) 11 (B) 12 (D) 14

B(11) ,

x

(C)13

5.给出下面的线性规划问题:求 z ? 3x ? 5 y 的最大值和最小值,使 x , y 满足约束

9

?5 x ? 3 y ≤ 15, ? 条件 ? y ≤ x ? 1, 要使题目中目标函数只有最小值而无最大值, 请你改造约束条件中一个 ? x ? 5 y ≤ 3. ? ? x ? y ? 3 ≤ 0, ? 不等式,那么新的约束条件是 ? y ≤ x ? 1, ? x ? 5 y ≤ 3. ?
4) , , 6. △ ABC 中,三个顶点的坐标分别为 A(2, , B(?1 2) , C (1 0) ,点 P( x,y ) 在
△ ABC 内部及边界运动,则 z ? x ? y 的最大值及最小值分别是 1
和 -3 .

?x ? 2 y ? 2 ? 7.已知 x, y 满足不等式 ?2 x ? y ? 1 ,求 z ? 3x ? y 的最小值 ? x ? 0, y ? 0 ?
解:作出可行域如图所示: 作直线 l 0 : 3x ? y ? 0 ,作一组与直线 l 0 平行的直线

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y

l : 3x ? y ? z ,( z ∈R)

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∵ x, y 是上面不等式组表示的区域内的点的坐标. 由图可知:当直线 l : 3x ? y ? z 通过 P (0,1)时,

P x+2y=2 O 0.5 2 2x+y=1 3x+y=0 x

z 取到最小值 1,即 z min =1.

8.某工厂家具车间造 A, B 型两类桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木 工做一张 A, B 型桌子分别需要 1 小时和 2 小时,漆工油漆一张 A, B 型桌子分别需要 3 小时 和 1 小时;又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时,而工厂造一张 A, B 型 桌子分别获利润 2 千元和 3 千元,试问工厂每天应生产 A, B 型桌子各多少张,才能获得利 润最大?
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解:设每天生产 A 型桌子 x 张, B 型桌子 y 张,每天获得利润 z 千元

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? x ? 2 y ? 8, ? 则 ?3 x ? y ? 9, ? x ? 0, y ? 0. ?
目标函数为: z ? 2 x ? 3 y . 作出可行域:

y 9
10

3x+y=9 M(2,3) x+2y=8

o

3

x

把直线 l : 2 x ? 3 y ? 0 向右上方平移至 l ? 的位置时,直线经过可行域上的点 M ,且与 原点距离最大,此时 z ? 2 x ? 3 y 取最大值
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解方程 ?

?x ? 2 y ? 8 得 M 的坐标为(2,3). ?3x ? y ? 9

答:每天应生产 A 型桌子 2 张, B 型桌子 3 张才能获得最大利润.

?2 x ? y ? 4 ? 1.(2009 宁夏海南卷理)设 x, y 满足 ? x ? y ? ?1, 则z ? x ? y ( B ) . ?x ? 2 y ? 2 ?
(A)有最小值 2,最大值 3 (C)有最大值 3,无最小值 (B)有最小值 2,无最大值 (D)既无最小值,也无最大值

?x ? y ? 2 ? 0 ? 2. (2009 北京卷理)若实数 x, y 满足 ? x ? 4 则 s ? y ? x 的最小值为 ? 6 . ?y ? 5 ?

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