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专题 高考中三角函数大题


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高考中三角函数大题分析
了解高考中三角函数大题常见题型。 教 学 重 难 点

高考中三角函数大题的求解。
教 学 过 程(内容可附后)

类型一 解三角形
例 1 .设锐角 ?ABC 的内角 A B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A . ,

(Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cos A ? sin C 的取值范围.
【解析】:(Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ?

1 , 2

由 ?ABC 为锐角三角形得 B ?

π . 6
? ? ? ? ? A? ? ?

(Ⅱ) cos A ? sin C ? cos A ? sin ? ? ?

?? ? ? cos A ? sin ? ? A ? ?6 ? 1 3 ? cos A ? cos A ? sin A 2 2 ?? ? ? 3 sin ? A ? ? . 3? ?

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1

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例 2.在 ?ABC 中,a、b、c 分别是角 A. B.C 的对边,C=2A, cos A ? (1)求 cosC, cos B 的值; (2)若 BA ? BC ?

3 , 4

27 ,求边 AC 的长? 2

【解析】:(1) cosC

? cos 2 A ? 2 cos2 A ? 1 ? 2 ?

9 1 ?1 ? 16 8

1 3 7 3 7 由cosC ? , 得 sin C ? ;由cos A ? , 得 sin A ? 8 8 4 4 ? cos B ? ? cos? A ? C ? ? sin A sin C ? cos A cos C ? 7 3 7 3 1 9 ? ? ? ? 4 8 4 8 16

27 27 ,? ac cos B ? ,? ac ? 24 ① 2 2 a c 3 又 ? , C ? 2 A,? c ? 2a cos A ? a ② sin A sin C 2
(2) BA ? BC ? 由①②解得 a=4,c=6

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 16 ? 36 ? 48 ?

?b ? 5 ,即 AC 边的长为 5.

9 ? 25 16

类型二 最值问题
例 1.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c , sin I.试判断△ ABC 的形状; II.若△ ABC 的周长为 16,求面积的最大值.
【解析】:I. sin

A? B C ? sin ? 2 . 2 2

? ?C
2

? sin

?

C ? ? ? ? ? 即C ? ,所以此三角形为直角三角形. 2 4 2 2
2 2

C C C C ? ? cos ? sin ? 2 sin( ? ) 2 2 2 2 4

II. 16 ? a ? b ? a ? b ? 2 ab ? 等号, 此时面积的最大值为 32 6 ? 4 2 .

2ab , ?ab ? 64(2 ? 2 ) 2 当且仅当 a ? b 时取

?

?

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2

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例 2.在 ?ABC 中,角 A. B.C 所对的边分别是 a,b,c,且 a 2 ? c 2 ? b 2 ? (1)求 sin 2

A?C ? cos 2 B 的值; 2
1 4

1 ac. 2

(2)若 b=2,求△ ABC 面积的最大值.
【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=

sin 2

A?C 1 +cos2B= ? 2 4

(2)由 cos B ?

1 15 , 得 sin B ? . ∵b=2, 4 4

a + c =2ac+4≥2ac,得 ac≤ 3 ,
2

2

1

8

1 15 S△ ABC=2acsinB≤ (a=c 时取等号)

3

故 S△ ABC 的最大值为

15 3

类型三 综合问题
例 1.在 ?ABC 中,角 A. B.C 的对边分别为 a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 m ? ? sin A,cos 2 A ? ,n ? ? 4k ,1?? k ? 1? , 且 m ? n 的最大值是 5,求 k 的值.
2

??

?

?? ?

【解析】:(I)∵(2a-c)cosB=bcosC,

∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcos C. 即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB =sin(B+C) ∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA. ∵0<A<π,∴sinA≠0.

0

0

7

0

3

1

1 ∴cosB= . 2
∵0<B<π,∴B=

6

? . 3
2? ) 3

(II) m ? n =4ksinA+cos2A. =-2sin2A+4ksinA+1,A∈(0, 设 sinA=t,则 t∈ (0,1] .

?? ?

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则 m ? n =-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2,t∈ (0,1] . ∵k>1,∴t=1 时, m ? n 取最大值. 依题意得,-2+4k+1=5,∴k=

?? ?

?? ?

3 . 2
B . C 所 对 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c, 向 量
2

例 2. 在 ?ABC 中 , 已 知 内 角 A .

? m ? 2 s iB ?, n

?

n ? ? ,3? ? ? cos 2B, 2 cos ?

B ? ? ? ? 1? ,且 m / / n ? 2 ?

(I)求锐角 B 的大小; (II)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S ?ABC 的最大值?
【解析】:(1)

B ? ? m / / n ? 2sinB(2cos22-1)=- 3cos2B

?2sinBcosB=- 3cos2B ? tan2B=- 3 2π π ∵0<2B<π,∴2B= 3 ,∴锐角 B=3 (2)由 tan2B=- 3 π 5π ? B=3或 6

π ①当 B=3时,已知 b=2,由余弦定理,得: 4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当 a=c=2 时等号成立) 1 3 ∵△ABC 的面积 S△ ABC=2 acsinB= 4 ac≤ 3 ∴△ABC 的面积最大值为 3 5π ②当 B= 6 时,已知 b=2,由余弦定理,得: 4=a2+c2+ 3ac≥2ac+ 3ac=(2+ 3)ac(当且仅当 a=c= 6- 2时等号成立) ∴ac≤4(2- 3) 1 1 ∵△ABC 的面积 S△ ABC=2 acsinB=4ac≤ 2- 3 ∴△ABC 的面积最大值为 2- 3

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例 3.设向量 a ? (sin x,cos x), b ? (cos x,cos x), x ? R ,函数 f ( x) ? a ? (a ? b) (I)求函数 f ( x) 的最大值与最小正周期; (II)求使不等式 f ( x) ?

3 成立的 x 的取值集合? 2

例 4 设函数 f ( x) ? a ? b, 其中向量a ? (2 cos x,1), b ? (cos x, 3 sin 2 x ? m).

[ (1)求函数 f ( x)的最小正周期和在 0, ? ] 上的单调递增区间;
(2)当 x ? [0,

?
6

]时,?4 ? f ( x) ? 4恒成立, 求实数m 的取值范围。
2

【解析】(1)? f ( x) ? 2 cos x ? :

3 sin 2 x ? m ? 2 sin(2 x ?

?
6

) ? m ?1,

?函数f ( x)的最小正周期T ?

2? ? ? .???? 4分 2 ? 2? 在[0, ? ]上单调递增区间为 0, ], [ , ? ].???? 6分 [ 6 3

(2)当 x ? [0,

?

6 6 当x ? 0时, f ( x) min ? m ? 2, ????8分

]时,? f ( x)递增,?当x ?

?

时, f ( x) max ? m ? 3 ,

?m ? 3 ? 4, 由题设知? ????10分 ?m ? 2 ? ?4, 解之, 得 ? 6 ? m ? 1.????12分

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练习:
1 在 ?ABC 中,角 A. B.C 所对的边分别是 a,b,c,且 a 2 ? c 2 ? b 2 ? (1)求 sin 2

A?C ? cos 2 B 的值; 2

1 ac. 2

(2)若 b=2,求△ ABC 面积的最大值.

3? ? ? sin ?5? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? 2 ? ? 2 已知 f ?? ? ? 3? ? ?? ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? tan ?? ? 3? ? 2 ? 2? ? ?
(I)化简 f ?? ? (II)若 ? 是第三象限角,且 cos ?

? 3? ? 1 ? ? ? ? ,求 f ?? ? 的值? ? 2 ? 5

3 已知 a ? ?

? 3 3? ?x ?x ? ? 2 ,? 2 ? , b ? (sin 4 , cos 4 ) , f ( x) ? a ? b ? ? ?

(1)求 f (x) 的单调递减区间? (2)若函数 y ? g (x) 与 y ? f (x) 关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时, y ? g (x) 的最 大值?

4 3

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4 已知向量 m ? (cos ? ?

2 ? ,?1) , n ? (sin ? ,1) , m 与 n 为共线向量,且 ? ? [? ,0] 3 2

(Ⅰ)求 sin? ? cos? 的值; (Ⅱ)求

sin 2? 的值.? sin ? ? cos?

5 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 中,相邻两个交点之间的距离为

?
2

)的图象与 x 轴的交点

? 2? ,且图象上一个最低点为 M ( , ?2) . 2 3 ? ? (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式;(Ⅱ)当 x ? [ , ] ,求 f ( x) 的值域. 12 2

6 如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔 的塔顶?测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75 , 30 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60 ,AC=0.1km?试探究图中 B,D 间距离与另外 哪 两 点 距 离 相 等 , 然 后 求 B,D 的 距 离 ( 计 算 结 果 精 确 到 0.01km, 2 ? 1.414, 6 ? 2.449)
0 0 0

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7 已 知 ?ABC 的 内 角 A .

A? B m ? (1 ? cos(A ? B), cos ), 2 5 A? B 9 n ? ( , cos ) ,且 m ? n ? . 8 2 8 (Ⅰ)求 tan A ? tan B 的值; ab sin C (Ⅱ)求 2 的最大值. a ? b2 ? c2

B . C 所 对 边 分别 为 a 、 b 、 c , 设向 量

8 在锐角 ?ABC 中,已知内角 A. B.C 所对的边分别为 a、b、c,且 +tanA· B. tan 2 (1)若 a -ab=c2-b2,求 A. B.C 的大小;

(tanA-tanB)=1

(2)已知向量 m =(sinA,cosA), n =(cosB,sinB),求|3 m -2 n |的取值范围.

?

?

?

?

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9 已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(?3, 3) . (1)求 tan ? 的值; (2)定义行列式运算

a b c d

? ad ? bc ,求行列式

sin ? 1

tan ? cos ?

的值;

(3)若函数 f ( x) ? 求函数 y ? 3 f (

cos( x ? ? ) ? sin ? sin( x ? ? ) cos ?

( x?R ),

?
2

? 2 x) ? 2 f 2 ( x) 的最大值,并指出取到最大值时 x 的值

10 已知函数 f ( x) ? sin(? ? ? x)cos ? x ? cos2 ? x ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? , (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的

1 ,纵坐标不变,得到 2

? ?? 函数 y ? g ( x) 的图像,求函数 y ? g ( x) 在区间 ?0, ? 上的最小值. ? 16 ?

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