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黑河市第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

黑河市第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知函数 f(x)=2x,则 f′(x)=( A.2x B.2xln2 ) C.2x+ln2 D.

姓名__________

分数__________

2. 设 α、β 是两个不同的平面,l、m 为两条不同的直线,命题 p:若平面 α∥β,l?α,m?β,则 l∥m;命题 q:l∥α,m⊥l,m?β,则 β⊥α,则下列命题为真命题的是( A.p 或 q 3. 在等比数列 A. B.p 且 q 中, B. ,前 项和为 C.¬p 或 q ,若数列 C. ) D.p 且¬q 也是等比数列,则 D. ,若 z=2x+y 的最小值为 1,则 a=( ) 等于( )

4. 已知 a>0,实数 x,y 满足: A.2 B.1 C. D. )

5. 数列 1,3,6,10,…的一个通项公式是( A. an ? n2 ? n ? 1 B. an ?

n(n ? 1) 2

C. an ?

n(n ? 1) 2


D. an ? n2 ? 1

6. 如图所示的程序框图输出的结果是 S=14,则判断框内应填的条件是(

A.i≥7?B.i>15?

C.i≥15?

D.i>31?

7. 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 AA1 ? 平面 ABC,AA1 =2,BC ? 2 3, ?BAC ? 柱各个顶点都在一个球面上,则球的体积为( )

?
2

,此三棱

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A.

32? 3

B. 16?

C.

25? 3


D.

31? 2

8. 函数 f(x)=log2(x+2)﹣ (x>0)的零点所在的大致区间是( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4) 9. 下列关系正确的是( A.1?{0,1} 10.如果 A.1 ) C.1?{0,1} ) D.0 B.1∈{0,1}

D.{1}∈{0,1}

(m∈R,i 表示虚数单位),那么 m=( B.﹣1 + C.2

11. F2 分别是椭圆 设 F1,

=1 Q 两点, (a>b>0) 的左、 右焦点, 过 F2 的直线交椭圆于 P, 若∠F1PQ=60°, )

|PF1|=|PQ|,则椭圆的离心率为( A. B. C. D.

12.已知函数 f(x)=2x﹣2,则函数 y=|f(x)|的图象可能是(



A.

B.

C.

D.

二、填空题
13.如图所示是 y=f(x)的导函数的图象,有下列四个命题: ①f(x)在(﹣3,1)上是增函数; ②x=﹣1 是 f(x)的极小值点; ③f(x)在(2,4)上是减函数,在(﹣1,2)上是增函数; ④x=2 是 f(x)的极小值点. 其中真命题为 (填写所有真命题的序号).

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14.若 15.给出下列命题: ①把函数 y=sin(x﹣

的展开式中含有常数项,则 n 的最小值等于



)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,得到函数 y=sin(2x﹣

);

②若 α ,β 是第一象限角且 α <β ,则 cosα >cosβ ; ③x=﹣ 是函数 y=cos(2x+ π )的一条对称轴; )与函数 y=4cos(2x﹣ )相同;

④函数 y=4sin(2x+ ⑤y=2sin(2x﹣

)在是增函数; . .

则正确命题的序号

16.直线 2x+3y+6=0 与坐标轴所围成的三角形的面积为 cm3.

17.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=AD=3cm,AA1=2cm,则四棱锥 A﹣BB1D1D 的体积为

18.在△ABC 中,若 a=9,b=10,c=12,则△ABC 的形状是



三、解答题
19.数列 {an } 中, a1 ? 8 , a4 ? 2 ,且满足 an?2 ? 2an?1 ? an ? 0(n ? N * ) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 Sn ?| a1 | ? | a2 | ?? | an | ,求 Sn .

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20.已知函数 f(x)=a﹣ (1)若 a=1,求 f(0)的值;



(2)探究 f(x)的单调性,并证明你的结论; (3)若函数 f(x)为奇函数,判断|f(ax)|与 f(2)的大小.

21.已知等边三角形 PAB 的边长为 2,四边形 ABCD 为矩形,AD=4,平面 PAB⊥平面 ABCD,E,F,G 分 别是线段 AB,CD,PD 上的点. (1)如图 1,若 G 为线段 PD 的中点,BE=DF= ,证明:PB∥平面 EFG; (2)如图 2,若 E,F 分别是线段 AB,CD 的中点,DG=2GP,试问:矩形 ABCD 内(包括边界)能否找到 点 H,使之同时满足下面两个条件,并说明理由. ①点 H 到点 F 的距离与点 H 到直线 AB 的距离之差大于 4; ②GH⊥PD.

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22.如图,菱形 ABCD 的边长为 2,现将△ ACD 沿对角线 AC 折起至△ ACP 位置,并使平面 PAC⊥平面

ABC.

(Ⅰ)求证:AC⊥PB; (Ⅱ)在菱形 ABCD 中,若∠ABC=60°,求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值; (Ⅲ)求四面体 PABC 体积的最大值.

23.已知函数 f(x)=lnx﹣ax﹣b(a,b∈R) (Ⅰ)若函数 f(x)在 x=1 处取得极值 1,求 a,b 的值 (Ⅱ)讨论函数 f(x)在区间(1,+∞)上的单调性 (Ⅲ)对于函数 f(x)图象上任意两点 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),不等式 f′(x0)<k 恒成立, 其中 k 为直线 AB 的斜率,x0=λx1+(1﹣λ)x2,0<λ<1,求 λ 的取值范围.

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24. 本小题满分 12 分如图, 在边长为 4 的菱形 ABCD 中,?BAD ? 60 , 点 E 、F 分别在边 CD 、CB 上. 点
?

E 与点 C 、D 不重合, EF ? AC , EF ? AC ? O ,沿 EF 将 ?CEF 翻折到 ?PEF 的位置,使平 面 PEF ?
平 面 ABFED . Ⅰ求 证 : BD ? 平 面 P O A; Ⅱ记 三 棱 锥 P ? A B D 的 体 积 为 V1 ,四 棱 锥 P ? BDEF 的 体 积 为 V2 ,且
D E A O F B C

P

V1 4 求此时线段 PO 的长. ? , V2 3

D A B F O

E C

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黑河市第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】B
x x 【解析】解:f(x)=2 ,则 f'(x)=2 ln2,

故选:B. 【点评】本题考查了导数运算法则,属于基础题. 2. 【答案】 C 【解析】解:在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中 命题 p:平面 AC 为平面 α,平面 A1C1 为平面 β,直线 A1D1,和直线 AB 分别是直线 m,l, 显然满足 α∥β,l?α,m?β,而 m 与 l 异面,故命题 p 不正确;﹣p 正确; 命题 q:平面 AC 为平面 α,平面 A1C1 为平面 β, 直线 A1D1,和直线 AB 分别是直线 m,l, 显然满足 l∥α,m⊥l,m?β,而 α∥β,故命题 q 不正确;﹣q 正确; 故选 C.

【点评】此题是个基础题.考查面面平行的判定和性质定理,要说明一个命题不正确,只需举一个反例即可, 否则给出证明;考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力. 3. 【答案】D 【解析】 设 因为 即 因为 答案:D ,所以 ,即 的公比为 ,则 也是等比数列,所以 ,所以 ,所以 ,故选 D , , ,

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4. 【答案】 C 【解析】解:作出不等式对应的平面区域,(阴影部分) 由 z=2x+y,得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z,由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 C 时,直线 y=﹣2x+z 的截距最小,此时 z 最小. 即 2x+y=1, 由 即 C(1,﹣1), ∵点 C 也在直线 y=a(x﹣3)上, ∴﹣1=﹣2a, 解得 a= . ,解得 ,

故选:C.

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法. 5. 【答案】C 【解析】 试题分析:可采用排除法,令 n ? 1 和 n ? 2 ,验证选项,只有 an ? 考点:数列的通项公式. 6. 【答案】C 【解析】解:模拟执行程序框图,可得 S=2,i=0 不满足条件,S=5,i=1 不满足条件,S=8,i=3 不满足条件,S=11,i=7

n(n ? 1) ,使得 a1 ? 1, a2 ? 3 ,故选 C. 2

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不满足条件,S=14,i=15 由题意,此时退出循环,输出 S 的值即为 14, 结合选项可知判断框内应填的条件是:i≥15? 故选:C. 【点评】本题主要考查了程序框图和算法,依次写出每次循环得到的 S,i 的值是解题的关键,属于基本知识 的考查. 7. 【答案】A 【解析】

考点:组合体的结构特征;球的体积公式. 【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算,其中解答中涉及到三棱柱的线面位置 关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答 问题的能力,以及推理与运算能力和学生的空间想象能力,试题有一定的难度,属于中档试题. 8. 【答案】B 【解析】解:∵f(1)= ﹣3<0,f(2)= ﹣ =2﹣ >0,

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∴函数 f(x)=log2(x+2)﹣ (x>0)的零点所在的大致区间是(1,2), 故选:B. 9. 【答案】B 【解析】解:由于 1∈{0,1},{1}?{0,1}, 故选:B 【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断,其中正确理解集合元素与集合关系的实质,即元素满足 集合中元素的性质,是解答本题的关键. 10.【答案】A 【解析】解:因为 而 所以,m=1. 故选 A. 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数相等的概念,两个复数相等,当且仅当实部等于实 部,虚部等于虚部,此题是基础题. 11.【答案】 D 【解析】解:设|PF1|=t, ∵|PF1|=|PQ|,∠F1PQ=60°, ∴|PQ|=t,|F1Q|=t, 由△F1PQ 为等边三角形,得|F1P|=|F1Q|, 由对称性可知,PQ 垂直于 x 轴, F2 为 PQ 的中点,|PF2|= , ∴|F1F2|= ,即 2c= , = t, (m∈R,i 表示虚数单位), ,

由椭圆定义:|PF1|+|PF2|=2a,即 2a=t

∴椭圆的离心率为:e= =

=



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故选 D.

12.【答案】B 【解析】解:先做出 y=2 的图象,在向下平移两个单位,得到 y=f(x)的图象, 再将 x 轴下方的部分做关于 x 轴的对称图象即得 y=|f(x)|的图象. 故选 B 【点评】本题考查含有绝对值的函数的图象问题,先作出 y=f(x)的图象,再将 x 轴下方的部分做关于 x 轴 的对称图象即得 y=|f(x)|的图象.
x

二、填空题
13.【答案】 ① 【解析】解:由图象得:f(x)在(1,3)上递减,在(﹣3,1),(3,+∞)递增, ∴①f(x)在(﹣3,1)上是增函数,正确, x=3 是 f(x)的极小值点,②④不正确; ③f(x)在(2,4)上是减函数,在(﹣1,2)上是增函数,不正确, 故答案为:①. 14.【答案】5 【解析】 解: 由题意 令 =0,得 n=
r n﹣r 的展开式的项为 Tr+1=Cn( x6) ( r ) =Cnr

=Cnr

,当 r=4 时,n 取到最小值 5

故答案为:5.

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【点评】本题考查二项式的性质,解题的关键是熟练掌握二项式的项,且能根据指数的形式及题设中有常数的 条件转化成指数为 0,得到 n 的表达式,推测出它的值. 15.【答案】 【解析】解:对于①,把函数 y=sin(x﹣ 到函数 y=sin(2x﹣ ),故①正确. ,故②错 )图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变,得

对于②,当 α ,β 是第一象限角且 α <β ,如 α =30°,β =390°,则此时有 cosα =cosβ = 误. 对于③,当 x=﹣ 数 y=cos(2x+ 时,2x+ π =π ,函数 y=cos(2x+ π )=﹣1,为函数的最小值,故 x=﹣

是函

π )的一条对称轴,故③正确. )=4cos[ ﹣(2x+ )]=4cos( ﹣2)=4cos(2x﹣ ),

对于④,函数 y=4sin(2x+ 故函数 y=4sin(2x+ 对于⑤,在上,2x﹣ 故答案为:①③④. 16.【答案】 3 .

)与函数 y=4cos(2x﹣ ∈,函数 y=2sin(2x﹣

)相同,故④正确. )在上没有单调性,故⑤错误,

【解析】解:把 x=0 代入 2x+3y+6=0 可得 y=﹣2,把 y=0 代入 2x+3y+6=0 可得 x=﹣3, ∴直线与坐标轴的交点为(0,﹣2)和(﹣3,0), 故三角形的面积 S= ×2×3=3, 故答案为:3. 【点评】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积公式,属基础题. 17.【答案】 6

【解析】解:过 A 作 AO⊥BD 于 O,AO 是棱锥的高,所以 AO= 所以四棱锥 A﹣BB1D1D 的体积为 V= 故答案为:6. 18.【答案】锐角三角形
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=



=6.

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【解析】解:∵c=12 是最大边,∴角 C 是最大角 根据余弦定理,得 cosC= ∵C∈(0,π ),∴角 C 是锐角, 由此可得 A、B 也是锐角,所以△ABC 是锐角三角形 故答案为:锐角三角形 【点评】本题给出三角形的三条边长,判断三角形的形状,着重考查了用余弦定理解三角形和知识,属于基础 题. = >0

三、解答题
19.【答案】(1) an ? 10 ? 2n ;(2) S n ? ? 【解析】 试题分析:(1)由 an?2 ? 2an?1 ? an ? 0 ,所以 {an } 是等差数列且 a1 ? 8 , a4 ? 2 ,即可求解数列 {an } 的通 项公式;(2)由(1)令 an ? 0 ,得 n ? 5 ,当 n ? 5 时, an ? 0 ;当 n ? 5 时, an ? 0 ;当 n ? 5 时, an ? 0 , 即可分类讨论求解数列 Sn .

?9n ? n 2 (n ? 5) ? . 2 n ? 9 n ? 40( n ? 5) ? ?

当 n ? 5 时, Sn ?| a1 | ? | a2 | ?? | an | ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 9n ? n

2

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∴ Sn ? ?

?9n ? n 2 (n ? 5) ? .1 2 n ? 9 n ? 40( n ? 5) ? ?

考点:等差数列的通项公式;数列的求和. 20.【答案】 【解析】解:(1)a=1 时:f(0)=1﹣ = ;

(2)∵f(x)的定义域为 R∴任取 x1x2∈R 且 x1<x2 则 f(x1)﹣f(x2)=a﹣ ﹣a+ = .

x ∵y=2 在 R 是单调递增且 x1<x2 x1 x2 x1 x2 ∴0<2 <2 ,∴2 ﹣2 <0,

2x1+1>0,2x2+1>0, ∴f(x1)﹣f(x2)<0 即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上单调递增. (3)∵f(x)是奇函数∴f(﹣x)=﹣f(x), 即 a﹣ 解得:a=1. ∴f(ax)=f(x) 又∵f(x)在 R 上单调递增 ∴x>2 或 x<﹣2 时:|f(x)|>f(2), x=±2 时:|f(x)|=f(2), ﹣2<x<2 时:|f(x)|<f(2). 【点评】本题考查的是函数单调性、奇偶性等知识的综合问题.在解答的过程当中充分体现了计算的能力、单 调性定义的应用以及问题转化的能力.值得同学们体会和反思. =﹣a+ ,

21.【答案】 【解析】(1)证明:依题意,E,F 分别为线段 BA、DC 的三等分点, 取 CF 的中点为 K,连结 PK,BK,则 GF 为△DPK 的中位线, ∴PK∥GF, ∵PK?平面 EFG,∴PK∥平面 EFG,

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∴四边形 EBKF 为平行四边形,∴BK∥EF, ∵BK?平面 EFG,∴BK∥平面 EFG, ∵PK∩BK=K,∴平面 EFG∥平面 PKB, 又∵PB?平面 PKB,∴PB∥平面 EFG. (2)解:连结 PE,则 PE⊥AB, ∵平面 PAB⊥平面 ABCD,平面 PAB∩平面 ABCD=AB, PE?平面 PAB,PE⊥平面 ABCD, 分别以 EB,EF,EP 为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立空间直角坐标系, ∴P(0,0, ),D(﹣1,4,0), ),∵P(0,0, =(﹣1,4,﹣ ), ), ), =(﹣1,4,﹣ D(﹣1,4,0), ∵ =

=(﹣ , ,﹣ ),

∴G(﹣ , ,

设点 H(x,y,0),且﹣1≤x≤1,0≤y≤4, 依题意得:
2 ∴x >16y,(﹣1≤x≤1),(i)





=(x+ ,y﹣ ,﹣ ,

),

∵GH⊥PD,∴ ∴﹣x﹣ +4y﹣

,即 y=
2

,(ii)

把(ii)代入(i),得:3x ﹣12x﹣44>0, 解得 x>2+ 或 x<2﹣ ,

∵满足条件的点 H 必在矩形 ABCD 内,则有﹣1≤x≤1, ∴矩形 ABCD 内不能找到点 H,使之同时满足①点 H 到点 F 的距离与点 H 到直线 AB 的距离之差大于 4, ②GH⊥PD.

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【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能 力、空间想象能力,考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识. 22.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)证明:取 AC 中点 O,连接 PO,BO,由于四边形 ABCD 为菱形,∴PA=PC,BA=BC, ∴PO⊥AC,BO⊥AC,又 PO∩BO=O, ∴AC⊥平面 POB,又 PB?平面 POB,∴AC⊥PB. (Ⅱ)∵平面 PAC⊥平面 ABC,平面 PAC∩平面 ABC=AC,PO?平面 PAC, PO⊥AC,∴PO⊥面 ABC,∴OB,OC,OP 两两垂直, 故以 O 为原点, 以 的边长为 2, ∴ , 设平面 PBC 的法向量 ∴ ∴ (Ⅲ)法一: 设∠ABC=∠APC=α,α∈(0,π),∴ 又 PO⊥平面 ABC,∴ ( ∴ ), , = , ,取 x=1,则 ,直线 AB 与平面 PBC 成角为 θ, ,于是 , . , y, z 轴正方向建立空间直角坐标系, ∵∠ABC=60°, 方向分别为 x, 菱形 ABCD

,∴直线 AB 与平面 PBC 成角的正弦值为

, ∴ ,当且仅当 . ,即 时取等号,

∴四面体 PABC 体积的最大值为

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法二:设∠ABC=∠APC=α,α∈(0,π), ∴ ∴ 设 ∴ ∴当 ∴当 ,则 , 时,V'PABC>0,当 时,VPABC 取得最大值 时,V'PABC<0, ,∴四面体 PABC 体积的最大值为 ,(0<x<2) , , 时取等号,∴四面体 PABC 体积的最大值为 . . ,且 0<t<1, , ,又 PO⊥平面 ABC, = ( ),

法三:设 PO=x,则 BO=x, 又 PO⊥平面 ABC, ∴ ∵
2 2 当且仅当 x =8﹣2x ,即

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用,直线与平面所成角的求法,几何体的体积 的最值的求法,考查转化思想以及空间思维能力的培养. 23.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)f(x)的导数为 f′(x)= ﹣a, 由题意可得 f′(1)=0,且 f(1)=1, 即为 1﹣a=0,且﹣a﹣b=1, 解得 a=1.b=﹣2,经检验符合题意.

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故 a=1,b=﹣2; (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 f′(x)= ﹣a,x>1,0< <1, ①若 a≤0,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)递增; ②0<a<1,x∈(1, ),f′(x)>0,x∈( ,+∞),f′(x)<0; ③a≥1,f′(x)<0.f(x)在(1,+∞)递减. 综上可得,a≤0,f(x)在(1,+∞)递增; 0<a<1,f(x)在(1, )递增,在( ,+∞)递减; a≥1,f(x)在(1,+∞)递减. (Ⅲ)f′(x0)= ﹣a= = < [λx1+(1﹣λ)x2], [λ+(1﹣λ) ], , ﹣a, = ﹣a,

直线 AB 的斜率为 k= f′(x0)<k? 即 x2﹣x1<ln 即为 令 t= ﹣1<ln

>1,t﹣1<lnt[λ+(1﹣λ)t],

即 t﹣1﹣tlnt+λ(tlnt﹣lnt)<0 恒成立, 令函数 g(t)=t﹣1﹣tlnt+λ(tlnt﹣lnt),t>1, ①当 0<λ 时,g′(t)=﹣lnt+λ(lnt+1﹣ )= ,

令 φ(t)=﹣tlnt+λ(tlnt+t﹣1),t>1, φ′(t)=﹣1﹣lnt+λ(2+lnt)=(λ﹣1)lnt+2λ﹣1, 当 0<λ≤ 时,φ′(t)<0,φ(t)在(1,+∞)递减,则 φ(t)<φ(1)=0, 故当 t>1 时,g′(t)<0, 则 g(t)在(1,+∞)递减,g(t)<g(1)=0 符合题意; ②当 <λ<1 时,φ′(t)=(λ﹣1)lnt+2λ﹣1>0, 解得 1<t< ,

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当 t∈(1, 当 t∈(1, 则有当 t∈(1, 即有 0<λ≤ .

),φ′(t)>0,φ(t)在(1, ),g′(t)>0,g(t)在(1, ),g(t)>0 不合题意.

)递增,φ(t)>φ(1)=0; )递增,g(t)>g(1)=0,

【点评】本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,同时考查函数的单调性的运用,不等式恒成立思想 的运用,运用分类讨论的思想方法是解题的关键. 24.【答案】 【解析】Ⅰ证明:在菱形 ABCD 中, ∵ BD ? AC ,∴ BD ? AO . ∵ EF ? AC ,∴ PO ? EF , ∵平面 PEF ⊥平面 ABFED ,平面 PEF ? 平面 ABFED ? EF ,且 PO ? 平面 PEF , ∴ PO ? 平面 ABFED , ∵ BD ? 平面 ABFED ,∴ PO ? BD . ∵ AO ? PO ? O ,∴ BD ? 平面 POA . Ⅱ设 AO ? BD ? H .由Ⅰ知, PO ? 平面 ABFED , ∴ PO 为三 棱 锥 P ? A B D 及四棱锥 P? BDEF 的高,

V 4 1 1 ∴ V1 ? S?ABD ? PO , V2 ? S梯形BFED ? PO ,∵ 1 ? , 3 3 V2 3
3 3 1 ∴ S梯形BFED ? S?ABD ? S?CBD ,∴ S?CEF ? S?CBD , 4 4 4 ∵ BD ? AC, EF ? AC , CO 2 S?CEF 1 ) ? ? , ∴ EF / / BD ,∴ ?CEF ∽ ?CBD . ∴ ( CH S ?CBD 4

1 1 1 ∴ CO ? CH ? AH ? ? 2 3 ? 3 , ∴ PO ? OC ? 3 . 2 2 2

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