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2018年高中数学第四章定积分4.1.2定积分课件1北师大版选修2_2_图文

第四章 定积分 4.1.2 定积分 复习回顾 曲边梯形面积求法 分割: y a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? ? ? xn?1 ? xn ? b f (? i ) y ? f ( x) ? f (? i ) ? x?b x?a O x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? x0 x1 x2 ? ? ? ? ? ? xi ?1 xi ? ? ? ? ? ? xn ?1xn ? b 讲授新课 一般地,设函数在 f ( x)区间 [a, b]上连续,用分点 a ? x0 ? x1 ? x2 ?? ? xi?1 ? xi ? ? ? xn ? b 将区间 [a, b] 分成 n 个小区间,每个小区间长度为 ?x i ( ?xi ? xi ? xi ?1 ),在每个小区间 [ xi ?1 , xi ] 上取一点 ?i (i ? 1,2,3,? ? ?, n) ,作和式: S n ? f (?1 )?x1 ? f (? 2 )?x2 ? ? ? ? ? f (? i )?xi ? ? ? ? ? f (? n )?xn 如果 f (? i ) 是区间 [ xi ?1 , xi ]上的最大值,则 S n 是曲边梯形 面积的过剩估计值; 如果f (? i ) 是区间[ xi ?1 , xi ]上的最小值, 则 S 是曲边梯形面积的不足估计值. n 基本概念 如果 ?xi 趋近于0(亦即 n ? ?? )时,上述和式 Sn ? f (?1 )?x1 ? f (?2 )?x2 ? ? ? ? ? f (?i )?xi ? ? ? ? ? f (?n )?xn 无限的趋近某个常数A(即曲边梯形面积).称A是 函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上的定积分. 记作 ?a f ( x)dx,即 b ? b a f ( x)dx ? A a 叫作积分的下限,b 叫作积分 其中,? 叫作积分号, x 叫作积分变量,[a, b] f ( x) 叫作被积函数, 的上限, 叫作积分区间. 概念说明 (1).定积分?a f ( x)dx 是一个常数,即 n ? ?? 时, b S n无限接近的常数A,而不是 S n . (2).用定义求积分的一般方法是: 分割 近似代替 求和 b 取极限 b (3).定积分的值与积分变量用什么字母表示无关, 即有 ? b a f ( x)dx ? ? f (t )dt ? ? f (u)du a a ? f ? x ?dx t 变速运动路程: S ? ?t v(t )dt 曲边梯形面积: S ? a 2 1 b 变力做功: W ? ? b a F (r )dr 定积分的几何意义 从几何图形上看,如果函数 y ? f ( x) 在 区间 [a, b] 上连续且恒有 f ( x) ? 0 , 那么 b 定积分 ?a f ( x)dx表示由直线 x ? a, x ? b 以 及 x 轴和曲线 y ? f ( x) 所围成曲边梯形 b 的面积,这就是定积分?a f ( x)dx的几何 意义. 说明:一般情况下,定积分 y y ? f ( x) O x 是介于 x 轴、函数 f ( x) 的图形以及直线 x ? a, ? b a f ( x)dx 的几何意义 x?b 之间各部分面积的代数和,在 x 轴上 方的面积取正号,在 x 轴下方的面积取负号. 上方取正,下方取负 例:说明下列定积分所表示的几何意义,并根据 其意义求出定积分的值. (1) ? 2dx 1 0 ; 2 (2) 1 ? xdx ; 1 (3) ?1 ? 1 ? x dx ; 2 2 (4) ?1 ? 2 xdx. 解(1): 1 ?0 2dx表示的是图 中所示长方形的面积, 由于这个长方形的面 积为2. 所以 y 2 y?2 ? 2dx ? 2 1 0 o 1 x 解(2): ? xdx 表示的是图 中所示梯形的面积, 由于这个梯形的面 2 1 3 积为 . 所以 2 3 2 ?2 ?1 y 2 1 y?x xdx o 1 2 x y 解(3): 1 ?1 ? 1 ? x dx 2 -1 1 y ? 1 ? x2 表示的是图中所示 半径为1的半圆的面 x o o 1 积, 由于这个半圆 ? 的面积为 2 . 所以 ? 1 ?1 1 ? x dx 2 ? ? 2 解(4): 2 ??1 2 xdx 表示的 是图中所示三角形 的面积之差, 由于 y 4 2 C y ? 2x B S?OAB ? S?OCD ? 3 所以 上 方 取 正 ,下 方 取 负 -1 ?o ?A 2 x ? 2 xdx ? 3 2 ?1 D -2 定积分的基本性质 (1) (2) ? b a 1dx ? b ? a b a ? kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx b a a (3) (4) ? [ f ( x) ? f ( x)]dx ? ? 1 2 b b a f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx a b ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx b a c a b c 其中(2)(3)叫作定积分的线性性质 (4)叫作定积分对积分区间的可加性 性质1 性质4 y y A y=1 M O a P C B O a b x N b x 定积分的基本性质 补充规定: ?1? ?a f ? x ? dx ? 0 ? 2? ?a f ? x ? dx ? ??b f ? x ? dx b a a 推广1 [ f ( x ) ? f ( x ) ? ? ? f ( x )] d

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