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朔城区第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

朔城区第一高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含答案 班级__________ 一、选择题
1. 数列{an}满足 an+2=2an+1﹣an,且 a2014,a2016 是函数 f(x)= (a2000+a2012+a2018+a2030)的值是( A.2 B.3 C.4 D.5 ) +6x﹣1 的极值点,则 log2

座号_____

姓名__________

分数__________

2. 设复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则复数 A. 1 ? i B. 1 ? i C. 2 ? i

2 ? z2 ? ( z D. 2 ? i



【命题意图】本题考查复数的有关概念,复数的四则运算等基础知识,意在考查学生的基本运算能力. 3. 如果双曲线经过点 P(2, A.x2﹣ =1 B. ﹣ ),且它的一条渐近线方程为 y=x,那么该双曲线的方程是( =1 C. ﹣ =1 D. ﹣ =1 )

4. 一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧(左)视图分别如图所,则该几何体的俯视图为 ( )

A.

B.

C.

D.

5. 若动点 A,B 分别在直线 l1:x+y﹣7=0 和 l2:x+y﹣5=0 上移动,则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值 为( A.3 6. 设 a=0.5 A.c<b<a A.x﹣2y+7=0 ) B.2 ,b=0.8 C.3 D.4 ) D.b<a<c ) D.2x+y﹣5=0

,c=log20.5,则 a、b、c 的大小关系是( C.a<b<c C.x﹣2y﹣5=0

B.c<a<b B.2x+y﹣1=0

7. 过点(﹣1,3)且平行于直线 x﹣2y+3=0 的直线方程为(

8. 在平面直角坐标系中,把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点.若 a 为无理数,则在过点 P(a,﹣ ) 的所有直线中( ) A.有无穷多条直线,每条直线上至少存在两个有理点 B.恰有 n(n≥2)条直线,每条直线上至少存在两个有理点

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C.有且仅有一条直线至少过两个有理点 D.每条直线至多过一个有理点

9. 如果一个几何体的三视图如图所示,主视图与左视图是边长为 2 的正三角形、俯视图轮廓为正方形,(单 位:cm),则此几何体的表面积是( )

A.8cm2 B. A. [2, ??)

10.函数 f ( x) ? x 2 ? 4x ? 5 在区间 ?0, m? 上的最大值为 5,最小值为 1,则 m 的取值范围是( B. ? 2, 4? C. ( ??, 2]

cm2 C.12 cm2

D.

cm2 ) D. ? 0, 2?

11.若函数 f(x)=loga(2x2+x)(a>0 且 a≠1)在区间(0, )内恒有 f(x)>0,则 f(x)的单调递增区 间为( ) B.(﹣ ,+∞) C.(0,+∞) ) D.(﹣∞,﹣ )

A.(﹣∞, )

12.已知复数 z 满足(3+4i)z=25,则 =( A.3﹣4i B.3+4i C.﹣3﹣4i D.﹣3+4i

二、填空题
?y ? x y 2 ? 2 xy ? 3x 2 ? 13.已知 x , y 满足 ? x ? y ? 4 ,则 的取值范围为____________. x2 ?x ? 1 ?
14.已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2
2 )an+sin

,则该数列的前 16 项和为 .



15.x 为实数,[x]表示不超过 x 的最大整数,则函数 f(x)=x﹣[x]的最小正周期是

? x2 ? 1, x ? 0 x 16.已知函数 f ( x) ? ? , g ( x) ? 2 ? 1,则 f ( g (2)) ? x ? 1, x ? 0 ?
17.满足关系式{2,3}?A?{1,2,3,4}的集合 A 的个数是 .

, f [ g ( x)] 的值域为



【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识,意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力.

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18.设 x, y 满足条件 ?

? x ? y ? a, ,若 z ? ax ? y 有最小值,则 a 的取值范围为 ? x ? y ? ?1,



三、解答题
19.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l 过点 P(1,0), 斜率为 ,曲线 C:ρ=ρcos2θ+8cosθ. (Ⅰ)写出直线 l 的一个参数方程及曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|PA|?|PB|的值.

20.(本题满分 12 分)为了了解某地区心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机地对入院的 50 人进行了问 卷调查,得到了如下的 2 ? 2 列联表: 患心肺疾病 男 女 合计 20 10 30 患心肺疾病 5 15 20 合计 25 25 50

(1)用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽 6 人,其中男性抽多少人? (2)在上述抽取的 6 人中选 2 人,求恰有一名女性的概率. (3)为了研究心肺疾病是否与性别有关,请计算出统计量 K ,判断心肺疾病与性别是否有关? 下面的临界值表供参考:
2

0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10 .828 n(ad ? bc) 2 2 (参考公式: K ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P( K 2 ? k ) k

0.15 2.072

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21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ex ? ax2 ? bx . (1)当 a ? 0, b ? 0 时,讨论函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上零点的个数; (2)证明:当 b ? a ? 1 , x ? [ ,1] 时, f ( x) ? 1 .

1 2

22.(本小题满分 13 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是梯形, AB / / DC ,?ABD ? 为 PA 的中点. (Ⅰ)在棱 PB 上确定一点 E ,使得 CE / / 平面 PAD ; (Ⅱ)若 PA ? PB ? PD ? 6 ,求三棱锥 P ? BDF 的体积.

?
2

, AD ? 2 2 , AB ? 2 DC ? 2 , F

P

F D

C

A

B

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23.设 f(x)=x2﹣ax+2.当 x∈,使得关于 x 的方程 f(x)﹣tf(2a)=0 有三个不相等的实数根,求实数 t 的取值范围.

24.在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1:(x+3) +(y﹣1) =4 和圆 C2:(x﹣4) +(y﹣5) =4 (1)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 ,求直线 l 的方程 (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分别与圆 C1 和 C2 相交, 且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,求所有满足条件的点 P 的坐标.

2

2

2

2

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朔城区第一高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含答案(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】解:函数 f(x)= ∵a2014,a2016 是函数 f(x)= +6x﹣1,可得 f′(x)=x2﹣8x+6, +6x﹣1 的极值点,

2 ∴a2014,a2016 是方程 x ﹣8x+6=0 的两实数根,则 a2014+a2016=8.

数列{an}中,满足 an+2=2an+1﹣an, 可知{an}为等差数列, ∴a2014+a2016=a2000+a2030,即 a2000+a2012+a2018+a2030=16, 从而 log2(a2000+a2012+a2018+a2030)=log216=4. 故选:C. 【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键. 2. 【答案】A 【 解 析 】

3. 【答案】B 【解析】解:由双曲线的一条渐近线方程为 y=x,
2 2 可设双曲线的方程为 x ﹣y =λ(λ≠0),

代入点 P(2, λ=4﹣2=2,

),可得

2 2 可得双曲线的方程为 x ﹣y =2,

即为



=1.

故选:B. 4. 【答案】C 【解析】 解: 由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向, 从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧, 由以上各视图的描述可知其俯视图符合 C 选项. 故选:C.

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【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系,要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义.

5. 【答案】A 【解析】解:∵l1:x+y﹣7=0 和 l2:x+y﹣5=0 是平行直线, ∴可判断:过原点且与直线垂直时,中的 M 到原点的距离的最小值 ∵直线 l1:x+y﹣7=0 和 l2:x+y﹣5=0, ∴两直线的距离为 = , + =3 ,

∴AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为 故选:A

【点评】本题考查了两点距离公式,直线的方程,属于中档题. 6. 【答案】B 【解析】解:∵a=0.5 ∴0<a<b, ∵c=log20.5<0, ∴c<a<b, 故选 B. 【点评】本题主要考查了对数值、指数值大小的比较,常常与中间值进行比较,属于基础题. 7. 【答案】A 【解析】解:由题意可设所求的直线方程为 x﹣2y+c=0 ∵过点(﹣1,3) 代入可得﹣1﹣6+c=0 则 c=7 ∴x﹣2y+7=0 故选 A. 【点评】本题主要考查了直线方程的求解,解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程 x﹣ 2y+c=0. 8. 【答案】C 【解析】解:设一条直线上存在两个有理点 A(x1,y1),B(x2,y2), 由于 也在此直线上, ,b=0.8 ,

所以,当 x1=x2 时,有 x1=x2=a 为无理数,与假设矛盾,此时该直线不存在有理点;

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当 x1≠x2 时,直线的斜率存在,且有



又 x2﹣a 为无理数,而 所以只能是 即 ;

为有理数,

,且 y2﹣y1=0,

所以满足条件的直线只有一条,且直线方程是 所以,正确的选项为 C. 故选:C.



【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题,解题的关键是理解新定义的内容,寻找解 题的途径,是难理解的题目. 9. 【答案】C 【解析】解:由已知可得:该几何体是一个四棱锥, 侧高和底面的棱长均为 2,
2 故此几何体的表面积 S=2×2+4× ×2×2=12cm ,

故选:C. 【点评】本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积和表面积,空间几何体的三视图,根据已知判断几何体 的形状是解答的关键. 10.【答案】B 【解析】 试题分析: 画出函数图象如下图所示,要取得最小值为, 由图可知 m 需从开始, 要取得最大值为,由图可知 m 的右端点为,故 m 的取值范围是 ? 2, 4? .

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考点:二次函数图象与性质. 11.【答案】D
2 【解析】解:当 x∈(0, )时,2x +x∈(0,1),

∴0<a<1,
2 2 ∵函数 f(x)=loga(2x +x)(a>0,a≠1)由 f(x)=logat 和 t=2x +x 复合而成,

0<a<1 时,f(x)=logat 在(0,+∞)上是减函数,所以只要求 t=2x2+x>0 的单调递减区间. t=2x2+x>0 的单调递减区间为(﹣∞,﹣ ), ∴f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣ ), 故选:D. 【点评】本题考查复合函数的单调区间问题,复合函数的单调区间复合“同增异减”原则,在解题中勿忘真数 大于 0 条件. 12.【答案】B 解析:∵(3+4i)z=25,z= ∴ =3+4i. 故选:B. = =3﹣4i.

二、填空题
13.【答案】 ? 2, 6?

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【解析】

考点:简单的线性规划. 【方法点睛】本题主要考查简单的线性规划.与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数
2 2 的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.常见代数式的几何意义:(1) x ? y 表示点

? x, y ? 与原点 ? 0, 0? 的距离;(2) ? x ? a ? ? ? y ? b ?
2

2

表示点 ? x, y ? 与点 ? a, b ? 间的距离;(3)

? x, y ? 与 ? 0, 0? 点连线的斜率;(4) x ? a 表示点 ? x, y ? 与点 ? a, b ? 连线的斜率.
14.【答案】 546 .
* 【解析】解:当 n=2k﹣1(k∈N )时,a2k+1=a2k﹣1+1,数列{a2k﹣1}为等差数列,a2k﹣1=a1+k﹣1=k;

y?b

y 可表示点 x

当 n=2k(k∈N )时,a2k+2=2a2k,数列{a2k}为等比数列, ∴该数列的前 16 项和 S16=(a1+a3+…+a15)+(a2+a4+…+a16) =(1+2+…+8)+(2+22+…+28) = =36+29﹣2 =546. 故答案为:546. +

*



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【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前 n 项和公式、“分类讨论方法”,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题. 15.【答案】 [1, )∪(9,25] .

【解析】解:∵集合
2 得 (ax﹣5)(x ﹣a)<0,



当 a=0 时,显然不成立, 当 a>0 时,原不等式可化为 , 若 时,只需满足 , 解得 若 ; ,只需满足 , 解得 9<a≤25, 当 a<0 时,不符合条件, 综上, 故答案为[1, )∪(9,25]. 【点评】本题重点考查分式不等式的解法,不等式的性质及其应用和分类讨论思想的灵活运用,属于中档题.

16.【答案】 2 , [?1, ??) . 【 解 析 】

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17.【答案】 4 . 【解析】解:由题意知, 满足关系式{2,3}?A?{1,2,3,4}的集合 A 有: {2,3},{2,3,1},{2,3,4},{2,3,1,4}, 故共有 4 个, 故答案为:4. 18.【答案】 [1, ??) 【解析】 解析: 不等式 ?

? x ? y ? a, 表示的平面区域如图所示, 由 z ? ax ? y 得 y ? ax ? z , 当 0 ? a ? 1 时, ? x ? y ? ?1,

平移直线 l1 可知, z 既没有最大值,也没有最小值;当 a ? 1 时,平移直线 l2 可知,在点 A 处 z 取得最小值; 当 ?1 ? a ? 0 时,平移直线 l3 可知, z 既没有最大值,也没有最小值;当 a ? ?1 时,平移直线 l4 可知,在点 A 处 z 取得最大值,综上所述, a ? 1 . y
l4 l3
O

l2
A

l1

x

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵直线 l 过点 P(1,0),斜率为 ∴直线 l 的一个参数方程为 (t 为参数); ,

2 ∵ρ=ρcos2θ+8cosθ,∴ρ(1﹣cos2θ)=8cosθ,即得(ρsinθ) =4ρcosθ, 2 2 ∴y =4x,∴曲线 C 的直角坐标方程为 y =4x.

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(Ⅱ) 把

2 2 代入 y =4x 整理得:3t ﹣8t﹣16=0,

设点 A,B 对应的参数分别为 t1,t2,则 ∴ .



【点评】本题考查了直线参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题.

20.【答案】 【解析】【命题意图】本题综合考查统计中的相关分析、概率中的古典概型,突出了统计和概率知识的交汇, 对归纳、分析推理的能力有一定要求,属于中等难度.

21.【答案】(1)当 a ? (0, 点;(2)证明见解析. 【解析】

e2 e2 e2 ) 时,有个公共点,当 a ? 时,有个公共点,当 a ? ( , ??) 时,有个公共 4 4 4

试题分析: (1)零点的个数就是对应方程根的个数,分离变量可得 a ? 单调性可知 h( x) 在 (0, ??) 的最小值 h(2) ?

ex ex h ( x ) ? , 构造函数 ,利用 h( x) ' 求出 x2 x2

e2 ,根据原函数的单调性可讨论得零点个数;(2)构造函数 4
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h( x) ? ex ? x2 ? x ?1 ,利用导数可判断 h( x) 的单调性和极值情况,可证明 f ( x) ? 1 .1
试题解析:

当 a ? (0, 当a ?

e2 ) 时,有 0 个公共点; 4

e2 ,有 1 个公共点; 4 e2 当 a ? ( , ?? ) 有 2 个公共点. 4 x 2 ' x (2)证明:设 h( x) ? e ? x ? x ?1 ,则 h ( x) ? e ? 2 x ? 1 ,
令 m( x) ? h ( x) ? e ? 2 x ?1,则 m ( x) ? e ? 2 ,
' x ' x

1 1 2 2 ' 当 x ? (ln 2,1) 时, m ( x) ? 0 , m( x) 在 (ln 2,1) 上是增函数,

因为 x ? ( ,1] ,所以,当 x ? [ , ln 2) 时, m' ( x) ? 0 ; m( x) 在 [ , ln 2) 上是减函数,

1 2

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考点:1.函数的极值;2.函数的单调性与导数的关系;3.不等式;4.函数的零点. 【方法点睛】本题主要考查函数的极值,函数的单调性与导数的关系,不等式,函数的零点.有关零点问题一 类题型是直接求零点,另一类是确定零点的个数.确定函数零点的常用方法:(1)解方程判定法,若方程易求解时 用此法;(2)零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质,导数等知识;(3)数形结合法.在研究函数零点, 方程的根及图象交点的问题时,当从正面求解难以入手,可以转化为某一个易入手的等价问题求解,如求解含绝 对值,分式,三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 22.【答案】(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)当 E 为 PB 的中点时, CE / / 平面 PAD . (1 分) 连结 EF 、 EC ,那么 EF / / AB , EF ? ∵ DC / / AB , DC ?

1 AB . 2

1 AB ,∴ EF / / DC , EF ? DC ,∴ EC / / FD . (3 分) 2 又∵ CE ? 平面 PAD , FD ? 平面 PAD ,∴ CE / / 平面 PAD . (5 分)
(Ⅱ)设 O 为 AD 的中点,连结 OP 、 OB ,∵ PA ? PD ,∴ OP ? AD , 在直角三角形 ABD 中, OB ?

1 AD ? OA , 又∵ PA ? PB ,∴ ?PAO ? ?PBO ,∴ ?POA ? ?POB ,∴ 2

OP ? OB ,
∴ OP ? 平面 ABD . (10 分)

PO ? PA2 ? AO 2 ? ( 6)2 ? ( 2) 2 ? 2 , BD ? AD2 ? AB2 ? 2 1 1 1 2 ∴三棱锥 P ? BDF 的体积 VP ? BDF ? VP ? ABD ? ? ? 2 ? 2 ? . (13 分) 2 2 3 3

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P

F

E D

C

O
A B

23.【答案】
2 【解析】设 f(x)=x ﹣ax+2.当 x∈,则 t=



∴对称轴 m= ∴

∈(0, ],且开口向下; ,此时 x=9 .

时,t 取得最小值

∴税率 t 的最小值为

【点评】 此题是个指数函数的综合题, 但在求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定义域内求最 值的知识.考查的知识全面而到位! 24.【答案】 【解析】 【分析】(1)因为直线 l 过点 A(4,0),故可以设出直线 l 的点斜式方程,又由直线被圆 C1 截得的弦长为 2 ,根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理,我们可以求出弦心距,即圆心到直线的距离,得到一个关于 直线斜率 k 的方程,解方程求出 k 值,代入即得直线 l 的方程. (2)与(1)相同,我们可以设出过 P 点的直线 l1 与 l2 的点斜式方程,由于两直线斜率为 1,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,故我们可以得到一个关于直线斜率 k 的方程,解方程求出 k 值,代入即得直线 l1 与 l2 的方程. 【解答】解:(1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交; ∴直线 l 的斜率存在,设 l 方程为:y=k(x﹣4)(1 分) 圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d,∵l 被⊙C1 截得的弦长为 2 ∴d= =1(2 分) d= 从而 k(24k+7)=0 即 k=0 或 k=﹣

∴直线 l 的方程为:y=0 或 7x+24y﹣28=0(5 分) (2)设点 P(a,b)满足条件, 由题意分析可得直线 l1、l2 的斜率均存在且不为 0, 不妨设直线 l1 的方程为 y﹣b=k(x﹣a),k≠0 则直线 l2 方程为:y﹣b=﹣ (x﹣a)(6 分)

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∵⊙C1 和⊙C2 的半径相等,及直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等, ∴⊙C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等 即 = (8 分)

整理得|1+3k+ak﹣b|=|5k+4﹣a﹣bk| ∴1+3k+ak﹣b=±(5k+4﹣a﹣bk)即(a+b﹣2)k=b﹣a+3 或(a﹣b+8)k=a+b﹣5 因 k 的取值有无穷多个,所以 或 (10 分)

解得



这样的点只可能是点 P1( ,﹣ )或点 P2(﹣ ,

)(12 分)

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