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2015年上海市浦东新区区高三数学(理科)二模卷(含答案)


2015 年上海市浦东新区高三二模 数学试卷(理科)
注意:1.答卷前,考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2.本试卷共 23 道试题,满分 150,考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分) ;考生应在答题纸相应编号的空格内直接填 写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.不等式 3x ? 2 的解为 .. . 2.设 i 是虚数单位,复数 ? a ? 3i ??1 ? i ? 是实数,则实数 a ?

?1 ? 1 2 ? 3.已知一个关于 x, y 的二元一次方程组的增广矩阵为 ? ? ,则 x ? y ? ?0 1 2?

.

4.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? n ,则该数列的通项公式 an ?
1? ? 5.已知 ? x 2 ? ? 展开式中二项式系数之和为 1024,则含 x2 项的系数为 x? ?
n

.

.0

6.已知直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与 ? x ? 1? ? y2 ? r 2 圆相切,则该圆的半径大小为
2

.

7.在极坐标系中,已知圆 ? ? 2r sin ? ? r ? 0? 上的任意一点 M ? ? ,? ? 与点 N ? 2, ? ? 之间的最小 距离为 1,则 r ? .

8.若对任意 x ? R ,不等式 sin 2 x ? 2sin 2 x ? m ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是 . 2 9.已知球的表面积为 64? cm ,用一个平面截球,使截面球的半径为 2 cm ,则截面与球心的 距离是 cm 1 10.已知随机变量 ? 分别取 1、2 和 3,其中概率 p ?? ? 1? 与 p ?? ? 3? 相等,且方差 D? ? , 3 则概率 p ?? ? 2? 的值为
2

.

11.若函数 f ? x ? ? x 2 ? x 3 ? 4 的零点 m ? ? a, a ? 1? , a 为整数,则所以满足条件 a 的值 为 . 12.若正项数列 ?an ? 是以 q 为公比的等比数列,已知该数列的每一项 a k 的值都大于从 ak ? 2 开 始的各项和,则公比 q 的取值范围是 .

13.已知等比数列 ?an ? 的首项 a1 、公比 q 是关于 x 的方程 ?t ? 1? x2 ? 2x ? ? 2t ? 1? ? 0 的实数 解,若数列 ?an ? 有且只有一个,则实数 t 的取值集合为 .

14.给定函数 f ? x ? 和 g ? x ? ,若存在实常数 k , b ,使得函数 f ? x ? 和 g ? x ? 对其公共定义域 D 上的任何实数 x 分别满足 f ? x ? ? kx ? b 和 g ? x ? ? kx ? b ,则称直线 l : y ? kx ? b 为函数 f ? x ?

和 g ? x ? 的“隔离直线”.给出下列四组函数: ① f ? x? ?
1 1 ? 1, g ? x ? ? sin x ;② f ? x ? ? x3 , g ? x ? ? ? ; x 2 x

1 1 ③ f ? x ? ? x ? , g ? x ? ? lg x ;④ f ? x ? ? 2x ? x , g ? x ? ? x x 2

其中函数 f ? x ? 和 g ? x ? 存在“隔离直线”的序号是

.

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) ;每小题给出四个选项,其中有且只有一个选 项是正确的,考生应在答题纸相应的位置上,选对得 5 分,否则一律不得分. 15.已知 a , b 都是实数,那么“ 0 ? a ? b ”是“ A.充分不必要条件 C.充要条件
1 1 ? ”的 a b

(

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

16.平面 ? 上存在不同的三点到平面 ? 的距离相等且不为零,则平面 ? 与平面 ? 的位置关系 是 A. 平行 B. 相交 ( ) C. 平行或重合 D. 平行或相交

17.若直线 ax ? by ? 3 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 3 没有公共点,设点 P 的坐标 ? a, b ? ,那过点 P 的一条 直线与椭圆 A. 0

x2 y 2 ? ? 1 的公共点的个数为 4 3 B. 1

( C. 2

) D. 1 或 2

18.如图,正方体 PP 1 2P 3P 4 ?Q 1Q2 Q3Q4 的棱长为 1,设

x ? PQ 1,2,3,4?? , 1 1?SiTj , Si , Tj ??P i , Qj ? , ?i, j ??
对于下列命题:
x ?1; ①当 SiTj ? PQ i i 时,
P1

?

?

P4 P2

P3

②当 x ? 0 时, ? i, j ? 有 12 种不同取值;
Q4

Q3 Q2

③当 x ? ?1 时, ? i, j ? 有 16 种不同的取值; ④ x 的值仅为 ?1,0,1 . 其中正确的命题是 A. ①② B. ①④ ( )

Q1

C. ①③④

D. ①②③④

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分) :解答下列各题必须在答题纸的相应位置上,

写出必要的步骤. 19. (本大题共有 2 个小题,满分 12 分)第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分. a 已知函数 f ? x ? ? x ? , ? x ? 0 ? , a 为实数. x (1)当 a ? ?1 时,判断函数 y ? f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上的单调性,并加以证明; (2)根据实数 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ? x ? 的最小值.

20. (本大题共有 2 个小题,满分 12 分)第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面正方形 ABCD 为边长为 2, PA ? 底面 ABCD , E 为
2 . 2 (1)求异面直线 AE 与 PD 所成角的大小(结果用反三角函数表示) ; PCD (2)求点 B 到平面 的距离.
BC 的中点, PC 与平面 PAD 所成的角为 arctan

P

A B

D

C

21. (本大题共有 2 个小题,满分 14 分)第(1)题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 一颗人造卫星在地球上空 1630 千米处沿着圆形轨道匀速运行,每 2 小时绕地球一周,将地 球近似为一个球体,半径为 6370 千米,卫星轨道所在圆的圆心与地球球心重合,已知卫星 与中午 12 点整通过卫星跟踪站 A 点的正上空 A' ,12:03 时卫星通过 C 点, (卫星接收天 线发出的无线电信号所需时间忽略不计) (1)求人造卫星在 12:03 时与卫星跟踪站 A 之间的距离.(精确到 1 千米) (2)求此时天线方向 AC 与水平线的夹角(精确到 1 分). C A'

A

O

22. (本大题共有 3 个小题,满分 16 分)第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分, 第(3)小题满分 6 分. 已知直线 l 与圆锥曲线 C 相交于两点 A, B ,与 x 轴, y 轴分别交于 D、 E 两点,且满足

EA ? ?1 AD EB ? ?2 BD
(1)已知直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 4 ,抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x ,求 ?1 ? ?2 的值; (2)已知直线 l : x ? my ? 1? m ? 1? ,椭圆 C :

x2 1 1 ? y 2 ? 1,求 ? 的取值范围; ?1 ?2 2

x2 y 2 2a2 ,试问 D 是否为定点?若是,求 ? ? 1 a ? 0, b ? 0 , ? ? ? ? ? ? 1 2 a 2 b2 b2 点 D 的坐标;若不是,说明理由.
(3)已知双曲线 C :

23. (本大题共有 3 个小题,满分 18 分)第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分. 第(3)小题满分 8 分. 记无穷数列 ?an ? 的前 n 项 a1 , a2 , 最小项为 Bn ,令 bn ? An ? Bn . (1)若数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n2 ? 7n ? 6 ,写出 b1 , b2 ,并求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? 1 ? 2n ,判断 ?an?1 ? an ? 是否等差数列,若是,求出公 差;若不是,请说明理由; (3)若数列 ?bn ? 为公差大于零的等差数列,求证: ?an?1 ? an ? 是否为等差数列.
, an 的最大项为 An ,第 n 项之后的各项 an ?1 , an ? 2 ,




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