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包头市第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

包头市第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 设集合 A={x|y=ln(x﹣1)},集合 B={y|y=2x},则 A A.(0,+∞) A.?x≤0,lnx≥x B.(1,+∞) 2. 已知命题“p:?x>0,lnx<x”,则¬p 为( B.?x>0,lnx≥x ) D.?x>0,lnx<x B( ) C.(0,1) D.(1,2) C.?x≤0,lnx<x

姓名__________

分数__________

3. 已知函数 f ( x) ? e x sin x , 其中 x ? R ,e ? 2.71828 的图象不在直线 y ? kx 的下方,则实数 k 的取值范围( A. (??,1) B. (??,1] C. (??, e )
? 2

为自然对数的底数. 当 x ? [0, ) D. (??, e 2 ]
?

?
2

函数 y ? f ( x) ] 时,

【命题意图】本题考查函数图象与性质、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理,意在考查逻辑思维能 力、等价转化能力、运算求解能力,以及构造思想、分类讨论思想的应用. 4. 已知点 A(1,2),B(3,1),则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A.4x+2y=5 A. B. B.4x﹣2y=5 C.π D.2π + =1,不等式 x+y≥2m﹣1 恒成立,则 m 的取值范围( ] C.(﹣∞, ] D.(﹣∞, ] 个单位,所得函 ) C.x+2y=5 ) 5. 函数 y=2sin2x+sin2x 的最小正周期( ) D.x﹣2y=5

6. 已知 x>0,y>0, A.(﹣∞, ]

B.(﹣∞,

7. 将函数 y=cosx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向右平移 数图象的一条对称轴方程是( A.x=π B. C. ) D.

8. 求值: A.tan 38° B.

=(

) C. D.﹣ )

9. 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+3)=f(x),当 0<x≤1 时,f(x)=2x,则 f (2015)=(

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A.2

B.﹣2

C.﹣

D.

10.与向量 =(1,﹣3,2)平行的一个向量的坐标是(

) ,﹣3,﹣2 ) )

A.( ,1,1) B.(﹣1,﹣3,2) C.(﹣ , ,﹣1) D.( 11.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 2cm,则球的表面积是( A.8πcm2 B.12πcm2 C.16πcm2 D.20πcm2

12.已知三棱锥 A﹣BCO,OA、OB、OC 两两垂直且长度均为 6,长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 OA 上运动,另一个端点 N 在△BCO 内运动(含边界),则 MN 的中点 P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的 体积为( )

A.

B.

或 36+

C.36﹣

D.

或 36﹣

二、填空题
13.设 p:f(x)=ex+lnx+2x2+mx+1 在(0,+∞)上单调递增,q:m≥﹣5,则 p 是 q 的
2 2

条件.

14.已知关于的不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 (1, 2) ,则关于的不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 的解集 为___________. 15.三角形 ABC 中, AB ? 2 3, BC ? 2, ?C ? 60 ,则三角形 ABC 的面积为 16.在复平面内,复数 与 对应的点关于虚轴对称,且 ,则 ____. . .

17.在等差数列 {an } 中, a1 ? ?2016,其前 n 项和为 Sn ,若

S10 S8 ? ? 2 ,则 S2016 的值等于 10 8

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式,对等差数列性质也有较高要求,属于中等难度. 18.已知抛物线 C1 : y ? 4 x 的焦点为 F ,点 P 为抛物线上一点,且 | PF |? 3 ,双曲线 C2 :
2

x2 y2 ? ?1 a2 b2

( a ? 0 , b ? 0 )的渐近线恰好过 P 点,则双曲线 C2 的离心率为 识交汇,难度中等.

.

【命题意图】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程,双曲线的渐近线,抛物线的定义,突出了基本运算和知

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三、解答题
19.已知△ABC 的三边是连续的三个正整数,且最大角是最小角的 2 倍,求△ABC 的面积.

20.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 C1:

为参数),曲线 C2:

=1.

(Ⅰ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,求 C1,C2 的极坐标方程; (Ⅱ)射线 θ= (ρ≥0)与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2 的交点为 B,求|AB|.

21.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些 图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设 第 n 个图形包含 f(n)个小正方形.

(Ⅰ)求出 f(5); (Ⅱ)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出 f(n+1)与 f(n)的关系式,并根据你得到的关系式求 f(n) 的表达式.

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22.(本小题满分 12 分)

如图四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面为菱形,AA1⊥底面 ABCD,M 为 A1A 的中点,AB=BD=2,且△BMC1 为 等腰三角形. (1)求证:BD⊥MC1; (2)求四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的体积.

23.如图,已知边长为 2 的等边△ PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面,BC=2 点 (Ⅰ)试在棱 AD 上找一点 N,使得 CN∥平面 AMP,并证明你的结论. (Ⅱ)证明:AM⊥PM.

,M 为 BC 的中

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24.设函数 (Ⅰ)求函数 (Ⅱ)求函数 的最小正周期; 在



上的最大值与最小值.

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包头市第二中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】解:集合 A={x|y=ln(x﹣1)}=(1,+∞),集合 B={y|y=2x}=(0,+∞) 则 A∪B=(0,+∞) 故选:A. 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题目. 2. 【答案】B 【解析】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“p:?x>0,lnx<x”,则¬p 为?x>0,lnx≥x. 故选:B. 【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查. 3. 【答案】B 【 解 析 】 由 题 意 设 g ( x) ? f ( x) ? kx ? e sin x ? kx , 且 g ( x ) ? 0 在 x ? [0, ] 时 恒 成 立 , 而
x

? x g '( x) ? e x (sin x ? cos x) ? k .令 h( x) ? e x (sin x ? cos x) ,则 h '( x) ? 2e cos x 0? ,所以 h( x) 在 [0, ] 上递 2 ? ? ? 2 增, 所以 1 ? h( x) ? e . 当 k ? 1 时,g '( x) ? 0 ,g ( x) 在 [0, ] 上递增,g ( x) ? g (0) ? 0 , 符合题意; 当 k ? e2 2 ? ? 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 在 [0, ] 上递减, g ( x) ? g (0) ? 0 ,与题意不合;当 1 ? k ? e 2 时, g ?( x) 为一个递增 2 ? ? 函数,而 g '(0) ? 1 ? k ? 0 , g '( ) ? e 2 ? k ? 0 ,由零点存在性定理,必存在一个零点 x0 ,使得 g '( x0 ) ? 0 , 2 当 x ? [0, x0 ) 时, g '( x) ? 0 ,从而 g ( x) 在 x ? [0, x0 ) 上单调递减,从而 g ( x) ? g (0) ? 0 ,与题意不合,综上
所述: k 的取值范围为 (??,1] ,故选 B. 4. 【答案】B 【解析】解:线段 AB 的中点为 ∴垂直平分线的斜率 k= =2, ,kAB= =﹣ ,

? 2

∴线段 AB 的垂直平分线的方程是 y﹣ =2(x﹣2)?4x﹣2y﹣5=0, 故选 B.

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【点评】本题考查两直线垂直的性质,线段的中点坐标公式,以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法.

5. 【答案】C
2 【解析】解:函数 y=2sin x+sin2x=2×

+sin2x=

sin(2x﹣

)+1,

则函数的最小正周期为 故选:C.

=π ,

【点评】本题主要考查三角恒等变换,函数 y=Asin(ω x+φ )的周期性,利用了函数 y=Asin(ω x+φ )的周 期为 ,属于基础题.

6. 【答案】D 【解析】解:x>0,y>0, 所以(x+y)( + )=10+ 当且仅当 + =1,不等式 x+y≥2m﹣1 恒成立, ≥10 =16, ;

时等号成立,所以 2m﹣1≤16,解得 m ];

故 m 的取值范围是(﹣ 故选 D. 7. 【答案】B

【解析】解:将函数 y=cosx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 得到 y=cos x,再向右平移 由 (x 即 )=kπ,得 x +2kπ,k∈Z, , , 个单位得到 y=cos[ (x =2kπ, )],

当 k=0 时,

即函数的一条对称轴为 故选:B

【点评】 本题主要考查三角函数的对称轴的求解, 利用三角函数的图象关系求出函数的解析式是解决本题的关 键. 8. 【答案】C

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【解析】解: 故选:C.

=tan(49°+11°)=tan60°=



【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用,属于基础题. 9. 【答案】B 【解析】解:因为 f(x+3)=f(x),函数 f(x)的周期是 3, 所以 f(2015)=f(3×672﹣1)=f(﹣1); 又因为函数 f(x)是定义 R 上的奇函数,当 0<x≤1 时,f(x)=2 , 所以 f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2, 即 f(2015)=﹣2. 故选:B. 【点评】本题主要考查了函数的周期性、奇偶性的运用,属于基础题,解答此题的关键是分析出 f(2015)=f (3×672﹣1)=f(﹣1). 10.【答案】C 【解析】解:对于 C 中的向量:(﹣ , ,﹣1)=﹣ (1,﹣3,2)=﹣ 因此与向量 =(1,﹣3,2)平行的一个向量的坐标是 故选:C. 【点评】本题考查了向量共线定理的应用,属于基础题. 11.【答案】B 【解析】解:正方体的顶点都在球面上,则球为正方体的外接球,则 2 R= ,S=4πR =12π
2 x

, .

=2R,

故选 B 12.【答案】D 【解析】 【分析】由于长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 OA 上运动,另一个端点 N 在△BCO 内运动(含边界), 有空间想象能力可知 MN 的中点 P 的轨迹为以 O 为球心,以 1 为半径的球体,故 MN 的中点 P 的轨迹与三棱 锥的面所围成的几何体的体积,利用体积分割及球体的体积公式即可. 【解答】 解: 因为长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 OA 上运动, 另一个端点 N 在△BCO 内运动 (含边界) ,

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有空间想象能力可知 MN 的中点 P 的轨迹为以 O 为球心,以 1 为半径的球体,则 MN 的中点 P 的轨迹与 三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的 或该三棱锥减去此球体的 ,即: . 故选 D 或

二、填空题
13.【答案】 必要不充分

x 【解析】解:由题意得 f′(x)=e + +4x+m, x 2 ∵f(x)=e +lnx+2x +mx+1 在(0,+∞)内单调递增, x ∴f′(x)≥0,即 e + +4x+m≥0 在定义域内恒成立,

由于 +4x≥4,当且仅当 =4x,即 x= 时等号成立,
x 故对任意的 x∈(0,+∞),必有 e + +4x>5

∴m≥﹣e ﹣ ﹣4x 不能得出 m≥﹣5
x 但当 m≥﹣5 时,必有 e + +4x+m≥0 成立,即 f′(x)≥0 在 x∈(0,+∞)上成立

x

∴p 不是 q 的充分条件,p 是 q 的必要条件,即 p 是 q 的必要不充分条件 故答案为:必要不充分 14.【答案】 (?? , ) ? (1,?? ) 【 解 析 】

1 2

考 点:一元二次不等式的解法. 15.【答案】 2 3 【解析】

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试题分析:因为 ?ABC 中, AB ? 2 3, BC ? 2, C ? 60? ,由正弦定理得

BC ? AB ,即 A ? C ,所以 C ? 30? ,∴ B ? 90? , AB ? BC , S?ABC
考点:正弦定理,三角形的面积.

1 2 3 2 , sin A ? ,又 ? 2 3 sin A 2 1 ? ? AB ? BC ? 2 3 . 2

【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用,三角形的面积公式.在解三角形有关问题时,正弦定理、余弦定 理是两个主要依据,一般来说,当条件中同时出现 ab 及 b 、 a 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正 弦、余弦交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦,再结合和、差、倍角的正弦公式进行解答.解三角形 时.三角形面积公式往往根据不同情况选用不同形式 16.【答案】-2 【解析】【知识点】复数乘除和乘方 【试题解析】由题知: 所以 故答案为:-2 17.【答案】 ? 2016
2 2

1 1 1 abc ab sin C , ah , (a ? b ? c)r , 等等. 2 2 2 4R

18.【答案】 3

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:由题意设 a=n、b=n+1、c=n+2(n∈N+), ∵最大角是最小角的 2 倍,∴C=2A,

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由正弦定理得 ∴

,则 ,得 cosA= = = , ,



由余弦定理得,cosA= ∴ 化简得,n=4, ∴a=4、b=5、c=6,cosA= , 又 0<A<π,∴sinA= ∴△ABC 的面积 S= = =



, = .

【点评】 本题考查正弦定理和余弦定理,边角关系, 三角形的面积公式的综合应用,以及方程思想, 考查化简、 计算能力,属于中档题. 20.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)曲线 由 (Ⅱ)射线 射线 所以 21.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, ∴f(2)﹣f(1)=4=4×1. f(3)﹣f(2)=8=4×2, f(4)﹣f(3)=12=4×3, f(5)﹣f(4)=16=4×4 ∴f(5)=25+4×4=41.… (Ⅱ)由上式规律得出 f(n+1)﹣f(n)=4n.…
2 2 为参数)可化为普通方程:(x﹣1) +y =1,

2 2 可得曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=2cosθ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ (1+sin θ)=2.

与曲线 C1 的交点 A 的极径为 与曲线 C2 的交点 B 的极径满足 .

, ,解得 ,

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∴f(2)﹣f(1)=4×1, f(3)﹣f(2)=4×2, f(4)﹣f(3)=4×3, … f(n﹣1)﹣f(n﹣2)=4?(n﹣2), f(n)﹣f(n﹣1)=4?(n﹣1)… ∴f(n)﹣f(1)=4[1+2+…+(n﹣2)+(n﹣1)]=2(n﹣1)?n,
2 ∴f(n)=2n ﹣2n+1.…

22.【答案】 【解析】解:(1)证明:如图,连接 AC,设 AC 与 BD 的交点为 E, ∵四边形 ABCD 为菱形, ∴BD⊥AC, 又 AA1⊥平面 ABCD,

BD? 平面 ABCD,∴A1A⊥BD; 又 A1A∩AC=A,∴BD⊥平面 A1ACC1, 又 MC1? 平面 A1ACC1,∴BD⊥MC1. (2)∵AB=BD=2,且四边形 ABCD 是菱形, ∴AC=2AE=2 AB2-BE2=2 3, 又△BMC1 为等腰三角形,且 M 为 A1A 的中点, ∴BM 是最短边,即 C1B=C1M. 则有 BC2+C1C2=AC2+A1M2, C 1C 2 即 4+C1C2=12+( ), 2 4 6 解得 C1C= , 3 所以四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的体积为 V=S 菱形 ABCD×C1C 1 1 4 6 = AC×BD×C1C= ×2 3×2× =8 2. 2 2 3

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即四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的体积为 8 2. 23.【答案】 【解析】(Ⅰ)解:在棱 AD 上找中点 N,连接 CN,则 CN∥平面 AMP; 证明:因为 M 为 BC 的中点,四边形 ABCD 是矩形, 所以 CM 平行且相等于 DN, 所以四边形 MCNA 为矩形, 所以 CN∥AM,又 CN?平面 AMP,AM?平面 AMP, 所以 CN∥平面 AMP. (Ⅱ)证明:过 P 作 PE⊥CD,连接 AE,ME, 因为边长为 2 的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面,BC=2 所以 PE⊥平面 ABCD,CM= 所以 PE⊥AM, 在△AME 中,AE= 所以 AE =AM +ME , 所以 AM⊥ME, 所以 AM⊥平面 PME 所以 AM⊥PM.
2 2 2

,M 为 BC 的中点

, =3,ME= = ,AM= = ,

【点评】 本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理的运用; 正确利用已知条件得到线线关系是关 键,体现了转化的思想. 24.【答案】 【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合 【试题解析】(Ⅰ)因为

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. 所以函数 的最小正周期为 . .

(Ⅱ)由(Ⅰ),得 因为 所以 所以 所以 且当 当 时, 时, , , . . 取到最大值 取到最小值 ; .

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