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苏教版高中数学(选修2-2)1.2《导数的运算》word教案2篇

§1.2 导数的运算
§1.2.1 常见函数的导数 目的要求:(1)了解求函数的导数的流程图,会求函数的导函数
(2)掌握基本初等函数的运算法则 教学内容 一.回顾 函数在某点处的导数、导函数
思考:求函数导函数的流程图

新授;求下列函数的导数
(1) y ? kx ? b

(2) f (x) ? x2

(3) f (x) ? x3

(4) f (x) ? 1 x

(5) f (x) ? x

思考:你能根据上述(2)~(5)发现什么结论? 几个常用函数的导数:

基本初等函数的导数:

(7) (x? ) ' ? ? x? ?1(? 为常数)

(8) (ax )' ? ax ln a(a ? 0, 且 a ? 1)

(7)

(loga

x) '

?

1 x

loga

e

?

1 x ln

a

(a

?

0,



a

?

1)

(8) (ex ) ' ? ex

(9) (lnx ) ' ? 1 x

(10) (sin x) ' ? cos x

(11) (cos x) ' ? ?sin x

例 1.若直线 y ? ?x ? b 为函数 y ? 1 图像的切线,求 b 及切点坐标。 x

例 2.直线 y ? 1 x ? 3 能作为下列函数 y ? f (x) 图像的切线吗?若能,求出切点坐标;若 2
不能,简述理由

(1) f (x) ? 1 x

(2) f (x) ? ? 1 x

(3 ) f (x) ? sin x

(4) f (x) ? ex

小结:(1)求函数导数的方法 (2)掌握几个常见函数的导数和基本初等函数的导数公式

作业:

(1)

在曲线

y

?

4 x2

上一点

P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135



(2) 当常数 k 为何值时,直线 y ? x 才能与函数 y ? x2 ? k 相切?并求出切点

§1.2.2 函数的和、差、积、商的导数

目的要求:了解导数的四则运算法则,能利用导数的四则运算法则求函数的导数 重点难点:四则运算法则应用 教学内容: 一.填写下列函数的导数:

(1) (kx ? b) ' ?

(2) (C) ' ?

(3)(xn ) ' ?

( n 为常数) (4)(a x ) ' ?

(a ? 0且a ?1)

(5) (loga x) ' ?

( a ? 0 且 a ? 1)(6) (ex ) ?

(7) (ln x) ?

(8) (sin x) ' ?

二.新授:

例 1.求 y ? x2 ? x 的导数

(9)( cos ) x ' =

思考:(1)已知 f '(x), g '(x) ,怎样求[ f (x) ? g(x)]' 呢?

(2)若 y ' ? x ? 2 ,则 y ?

导数的四则运算法则:
(1) (3) (5)
特别,当 u(x) ? c ( c 为常数)时,有
例 2.求下 列函数的导数
(1) f (x) ? x2 ? sin x

(2) (4)

?

????

c v(x)

????

? ? cv?(x) . v2 (x)

(2) g(x) ? x3 ? 3 x2 ? 6x ? 2 2

例 3.求下列函数的导数:
(1) f (x) ? x sin x

(2) S (t) ? t2 ?1 t

板演:
1. 用两种方法求函数 y ? (2x ?1)(x ? 3) 的导数

2.求下列函数的导数

(1)

f

(x)

?

1 x2

(2) f (x) ? x 2x ?3

(3)

f

(x)

?

sin x x2

(4) y ? x2 ? x2

2. 已知函数 f (x) 的导数是 f '(x) ,求函数[ f (x)]2 的导数。

小结:函数的四则运算法则
作业:
1.求下列函数的导数:
(1) f (x) ? x cos x

(2) f (x) ? 2x ? 3x

(3) f (x) ? ex x

(4) f (x) ? x ln x

(5) f (x) ? log2 x ? x2

(6) y ? ln 2x

(7) y ? log2 3x

(8) y ? sin 2x

2.求曲线 y ? 1 x ? cos x 在 x ? ? 处的切线方程。

2

6

(9) y ? cos(x ? ? ) 3

3. 已知点 P(?1,1) ,点 Q(2,4) 是曲线 y ? x2 上的两点,求与直线 PQ 平行的曲线 y ? x2 的
切线方程。

§1.2.3 简单复合函数的导数

目的要求:(1)掌握求复合函数 f (ax ? b) 的导数的法则

(2)熟练求简单复合函数的导数。 重点难点:复合函数的求导法则是本节课的重点与难点 教学内容: 一.回顾导数的四则运算法则 二.新授: 例 1.求下列两个函数的导数:

(1)已知 f (x) ? (3x ?1)2

(2) f (x) ? sin 2x

思考:如何求函数 f (ax ? b) 的导数?

例 2.求下列函数的导数:
(1) y ? (2x ? 3)3

(2) y ? ln(5x ?1)

例 3.求下列函数的导数:
(1) y ? 1 3x ?1

(2) y ? cos(1? 2x)

例 4.求下列函数的导数:
(1) f (x) ? 2x ? 3 ? 31?x

(2) f (x) ? sin 3x ? cos( x ? ? ) 26

小结:本节课主要介绍了简单复合函数的求导方法,正确理解 y 'u , u 'x

§1.2 导数的运算

习题课 目的要求:(1)回顾常见函数的导数 、简单初等函数的导数,导函数的四则运算,简单复
合函数的导函数
(2)函数导数几何意义的应用。已知点(在曲线上和曲线外)求切线、倾斜
角;已知切线求切点。 教学内容:(回顾) 例1. 求下列函数的导数:

(1) y ? 2x3 ? 3x2 ? 5x ? 4

(2) y ? log2 x ? 2x ?1

(3) y ? (1? x2 ) cos x

(4) y ? 2x ?1

例 2.已知函数 f (x) ? 3cos2 x ? sin2 x ? 2 ,求 f '(5? )

2

2

6

例 3.已知抛物线 y=ax2 +bx+c 通过点 P(1,1),且在点 Q(2,–1)处与直线 y=x–3 相切,求实 数 a、b、c 的值。

例 4.求与曲线 y ? sin(2x ? ? ) 在 x ? ? 的切线平行,并且在 y 轴上的截距为 3 的直线方

6

4



例 5.(1)已知曲线 y ? 1 x3 上一点 P(2, 8 )求(1)过 P 点的切线的斜率 (2)过 P 点的切

3

3

线(2)方程过点(-1,-52)的直线 l 是曲线 y ? x3 ? 3x2 的一条切线,求直线 l 的方程

例 6. 已知曲线 C : y ? 4ax3 ? x ,过点 Q(0, ? 1)作 C 的切线,切点为 P,(1)求证:不论 a
怎样变化,点 P 总在一条定直线上;(2)若 a>0,过点 P 且与 l 垂直的直线与 x 轴交与点 T, 求|OT|的最小值(O 为坐标原点)

小结: 1.常见函数的导数 2. 函数的和,差,积,商的导数 3. 简单复合函数的函数
作业:

1.22 函数的和、差、积、商的导数

教学 目的: 1.理解两个函数的和(或差)的导数法则,学会用法则求一些函数的导数. 2.理解两个函数的积的导数法则,学会 用法则求乘积形式的函数的导数 3.能够综合运用各 种法则求函数的导数
教学重点: 用定义推导函数的和、差、积、商的求导 法则
教学难点: 函数的积、商的求导法则的推导
授课类型:新授课 教学过程: 一、复习引 入: 常见函 数的导数公式:

C'? 0 ; (kx ? b) ' ? k (k,b 为常数) (x n )' ? nxn?1; (ax ) ' ? ax ln a(a ? 0,且a ? 0)

(ex ) ' ? ex (ln x) ' ? 1 x
(sin x)'? cosx ;

(loga

x) '

?

1 x

loga

e

?

1 x ln a

(a

?

0, 且a

?

0)

(cosx)'? ?sin x

二、讲解新课:

例 1.求 y ? x2 ? x 的导数.

法则 1 两个函数的和(或差)的 导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即
? f (x) ? g(x)?' ? f '(x) ? g '(x) 法则 2 常数与函数的积的导数,等于常数与函数的积的导数.?cf (x)?' ? cf (x) '
法则 3 两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以
第二个函数的导 数,即 ? f (x)g(x)?' ? f '(x)g(x) ? f (x)g '(x)
证明:令 y ? f (x)g(x) ,则

?y ? f (x ? ?x) g(x ? ?x) - f (x)g(x)

? f (x ? ?x) g(x ? ?x) - f (x) g(x ? ?x) + f (x) g(x ? ?x) - f (x)g(x) ,

?y ? f (x ? ?x) ? f (x) g(x ? ?x) + f (x) g(x ? ?x) ? g(x)

?x

?x

?x

因为 g(x) 在点 x 处 可导,所以它在点 x 处连续,于是当 ?x ? 0 时, g(x ? ?x) ? g(x) ,

从而 lim ?y ? lim f (x ? ?x) ? f (x) g(x ? ?x) + f (x) lim g(x ? ?x) ? g(x)

?x?0 ?x ?x?0

?x

?x?0

?x

? f ' (x )g (x?) f (x )g ,' (x )

法则 4 两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,

再除以分母的平方,即

? f (x) ?'

? ?

g(

x)

? ?

?

f

'(x)g(x) ? f (x)g '(x) g(x)2

(g(x) ? 0)

三、讲解范例:

例 1 求下列函数的导数 1、y=x2+sinx 的导数.

2、求 y ? (2x2 ? 3)(3x ? 2) 的导数.(两种方法)

3、求下列函数的导数 ⑴ h(x) ? x sin x ⑵ s(t) ? t2 ?1 t

4、y=5x10sinx-2 x cosx-9,求 y′ 5、求 y= x 2 的导数.
sin x

变式:(1)求

y=

x x2

?3 ?3

在点

x=3

处的导数.

(2 ) 求 y= 1 ·cosx 的导数. x
例 2 求 y=tanx 的导数.
例 3 求满足下列条件的函数 f (x) (1) f (x) 是三次函数,且 f (0) ? 3, f '(0) ? 0, f '(1) ? ?3, f '(2) ? 0 (2) f '(x) 是一次函数, x2 f '(x) ? (2x ?1) f (x) ? 1

变式:已知函数 f(x)=x3+bx2 +cx+d 的图象过点 P(0,2),且在点 M 处(-1,f(-1))处的切线方程为 6x-y+7=0,求函数的解析式

四、课堂练习:

1.求下列函数的导数:(1)y= a ? x a?x

x? 2 (2)y= 3x 2

1
(3)y=
1? cos x

五、小结 :由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利

用求导法则与导数公式求导,而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数,商的导数

法则(

u v

)′=

u?v ? uv? v2

(v≠0),如何综合运用函数的和、差、积、商的导数法则,来求一些

复杂函数的导数.要将和、差、积 、商的导数法则记住 六、课后作业:

5、关于坚持的名言,

你既然期望辉煌伟大的一生,那么就应该从今天起,以毫不动摇的决心和坚定不移的信念,凭自己的智慧和毅力,去创造你和人类的快乐。——佚名 6、最可怕的敌人,就是没有坚强的信念。——罗曼·罗兰 7、只要持续地努力,不懈地奋斗,就没有征服不了的东西。——塞内加 8、无论是美女的歌声,还是鬓狗的狂吠,无论是鳄鱼的眼泪,还是恶狼的嚎叫,都不会使我动摇。——恰普曼 9、书不记,熟读可记;义不精,细思可精;惟有志不立,直是无着力处。——朱熹 10、既然我已经踏上这条道路,那么,任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 11、坚强的信念能赢得强者的心,并使他们变得更坚强。——白哲特 12、三军可夺帅也,匹夫不可夺志也。——佚名 13、立志不坚,终不济事。——朱熹 14、富贵不能淫,贫贱不能移,威武不能屈。——孟子 15、关于坚持的名言,意志目标不在自然中存在,而在生命中蕴藏。——武者小路实笃 关于坚持不懈的 50 条励志名人名言 16、意志若是屈从,不论程度如何,它都帮助了暴力。——但丁 17、只要有坚强的意志力,就自然而然地会有能耐、机灵和知识。——陀思妥耶夫斯基 18、功崇惟志,业广惟勤。——佚名 19、能够岿然不动,坚持正见,度过难关的人是不多的。——雨果 20、立志用功如种树然,方其根芽,犹未有干;及其有干,尚未有枝;枝而后叶,叶而后花。——王守仁 21、谁有历经千辛万苦的意志,谁就能达到任何目的。——米南德

22、不作什么决定的意志不是现实的意志;无性格的人从来不做出决定。——黑格尔 23、执着追求并从中得到最大快乐的人,才是成功者。——梭罗 24、有了坚定的意志,就等于给双脚添了一对翅膀。——乔·贝利 25、有百折不挠的信念的所支持的人的意志,比那些似乎是无敌的物质力量有更强大的威力。——爱因斯坦


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