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高中数学苏教版必修4课件:第一章 三角函数 1.3.4_图文

精品数学课件
苏教版









1.3 三角函数的图象和性质

业 分



1.3.4 三角函数的应用

测 评

阶 段 二

1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.(重点) 2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.(难点)

[小组合作型]

图 1-3-15.

三角函数在物理学中的应用 已知电流 I=Asin(ωt+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2在一个周期内的图象如

图 1-3-15

(1)根据图中数据求 I=Asin(ωt+φ)的解析式; (2)如果 t 在任意一段1150秒的时间内,电流 I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值 和最小值,那么 ω 的最小正整数值是多少? 【导学号:06460036】 【精彩点拨】 可先由图象确定电流 I 的解析式,再由函数的性质确定 ω 的值. 【自主解答】 (1)由图知,A=300. T2=1180-???-9100???=1150, ∴T=715,∴ω=2Tπ=150π.

I=300sin(150πt+φ). 由???-9010,0???为第一个关键点, ∴150π·???-9100???+φ=0,∴φ=π6, ∴所求解析式为 I=300sin???150πt+π6???,t∈[0,+∞). (2)由题意 T≤1150,即2ωπ≤1510, ∴ω≥300π≈942, ∴所求 ω 的最小正整数值是 943.

1.三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动、电 流强度、单摆、弹簧振子等随时间变化的问题,解决这类问题 必须要清楚振幅、频率、周期、初相、相位的实际意义和表示 方法.
2.将图形语言转化成符号语言,根据图形信息利用待定系 数法,求函数模型 y=Asin(ωx+φ)中的未知参数后,再由解析 式及性质解决具体问题.

[再练一题] 1.弹簧振子以 O 点为平衡位置,在 B,C 间做简谐运动,B,C 相距 20 cm, 某时刻振子处在 B 点,经 0.5 s 振子首次达到 C 点.求: (1)振动的振幅、周期和频率; (2)振子在 5 s 内通过的路程及这时位移的大小. 【解】 (1)设振幅为 A,则 2A=20(cm),A=10(cm).设周期为 T,则T2= 0.5(s),T=1(s),f=1(Hz). (2)振子在 1T 内通过的距离为 4A, 故在 t=5 s 内通过的路程为 5T,即 s=5×4A=20A=20×10 cm=200 cm=2 m. 5 s 末物体处在 B 点,所以它相对平衡位置的位移为 10 cm.

三角函数在实际生活中的应用 如图 1-3-16 所示,游乐场中的摩天轮匀速转动,每转 动一圈需要 12 分钟,其中心 O 距离地面 40.5 米,半径为 40 米, 如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变 化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请回答下列问题: 图 1-3-16 (1)求出你与地面的距离 y(米)与时间 t(分钟)的函数关系式; (2)当你第 4 次距离地面 60.5 米时,用了多长时间? 【精彩点拨】 审清题意 → 建立函数模型 →
解答函数模型 → 得出结论 .

【自主解答】 (1)可以用余弦函数来表示该函数的关系式,由已知,可设 y =40.5-40cos ωt,t≥0,由周期为 12 分钟可知,当 t=6 时,摩天轮第 1 次到达 最高点,即此函数第 1 次取得最大值,所以 6ω=π,即 ω=π6.所以 y=40.5-40cosπ6 t(t≥0).
(2)设转第 1 圈时,第 t0 分钟时距地面 60.5 米,由 60.5=40.5-40cosπ6t0,得 cosπ6t0=-12,所以π6t0=23π或π6t0=43π,解得 t0=8 或 4.所以 t=8 分钟时,第 2 次 距地面 60.5 米,故第 4 次距离地面 60.5 米时,用了 12+8=20(分钟).

解三角函数应用问题的基本步骤

[再练一题] 2.如图 1-3-17,某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足函数 y= Asin(ωx+φ)+b.
图 1-3-17 (1)求这一天 6~14 时的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.

【解】 (1)由图可知:这段时间的最大温差是 20 ℃;

(2)从图可以看出:从 6~14 是 y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图象,∴T2= 14-6=8,∴T=16.
∵T=2ωπ,∴ω=π8.

又∵???????Ab==3300+-22 1100==2100,,

∴?????bA==2100.,

∴y=10sin???π8x+φ???+20. 将点(6,10)代入得:sin???34π+φ???=-1, ∴34π+φ=2kπ+32π,k∈Z, ∴φ=2kπ+34π,k∈Z,取 φ=34π, ∴y=10sin???π8x+34π???+20(6≤x≤14).

[探究共研型]
三角函数的数据拟合问题 探究 1 在利用已收集到的数据解决实际问题时,我们首先要对数据如何处 理? 【提示】 先画样本数据散点图,通过分析其变化趋势确定合适的函数模
型. 探究 2 当散点图具有什么特征时,可以用正(余)弦函数模型来解决实际问
题. 【提示】 当散点图具有波浪形的特征时,便可考虑应用正(余)弦函数模型
来解决实际问题.

某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度 y(米)随着时间 t(0≤t≤24,单位:小时)而周期性变化,每天各时刻 t 的浪高数据 的平均值如下表:
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0 (1)试在图中描出所给点; (2)观察图,从 y=at+b,y=Asin(ωt+φ)+b,y=Acos(ωt+φ)中选择一个合 适的函数模型,并求出该拟合模型的解析式;

(3)如果确定在一天内的 7 时至 19 时之间,当浪高不低于 0.8 米时才进行训 练,试安排恰当的训练时间.
图 1-3-18 【精彩点拨】 画散点图 ―→ 选择函数模型 ―→ 解决实际问题

【自主解答】 (1)描出所给点如图所示:
(2)由(1)知选择 y=Asin(ωt+φ)+b 较合适. 令 A>0,ω>0,|φ|<π. 由图知,A=0.4,b=1,T=12, 所以 ω=2Tπ=π6.

把 t=0,y=1 代入 y=0.4sin???π6t+φ???+1,得 φ=0. 故所求拟合模型的解析式为
y=0.4sinπ6t+1(0≤t≤24). (3)由 y=0.4sinπ6t+1≥0.8, 则 sinπ6t≥-12, 则-π6+2kπ≤π6t≤76π+2kπ(k∈Z), 即 12k-1≤t≤12k+7(k∈Z), 注意到 t∈[0,24],所以 0≤t≤7,或 11≤t≤19,或 23≤t≤24. 再结合题意可知,应安排在 11 时到 19 时训练较恰当.

用三角函数解决实际问题的关键在于如何把实际问题三角函 数模型化,而散点图起了关键的作用.解决这类题目的步骤如下:
?1?搜集实际问题的数据,作出“散点图”; ?2?观察散点图,用三角函数模型拟合散点图,得到函数模型; ?3?通过图象或解析式研究函数的性质; ?4?用得到的性质解决提出的实际问题.

[再练一题] 3.某港口的水深 y(m)是时间 t(0≤t≤24,单位:h)的函数,下面是水深数 据:
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描出的曲线如图 1-3-19 所示,经拟合,该曲线可近似地看成 正弦函数 y=Asin ωt+b 的图象.

图 1-3-19 (1)试根据以上数据,求出 y=Asin ωt+b 的表达式; (2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离不少于 4.5 m 时是安全的, 如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为 7 m,那么该船在什么时间段能够安 全进港?若该船欲当天安全离港,则在港内停留的时间最多不能超过多长时
间?(忽略进出港所用的时间)

【解】 (1)由拟合曲线可知,函数 y=Asin ωt+b 在一个周期内由最大变到 最小需 9-3=6(h),此为半个周期,∴函数的最小正周期为 12 h,因此,2ωπ=12, ω=π6.
又∵当 t=0 时,y=10; 当 t=3 时,取最大值 13. ∴b=10,A=13-10=3. ∴所求函数表达式为 y=3sin π6x+10.

(2)由于船的吃水深度为 7 m,船底与海底的距离不少于 4.5 m,故船舶在航 行时水深 y 应大于等于 7+4.5=11.5(m).
由拟合曲线可知,一天 24 h,水深 y 变化两个周期. 令 y=3sin π6x+10≥11.5, 可得 sin π6x≥12. ∴2kπ+π6≤π6x≤2kπ+56π(k∈Z), ∴12k+1≤x≤12k+5(k∈Z).

取 k=0,则 1≤x≤5; 取 k=1,则 13≤x≤17; 取 k=2 时,则 25≤x≤29(不合题意). 从而可知,该船在 1 点到 5 点或者 13 点到 17 点两个时间段可安全进港; 船舶要在一天之内在港口停留时间最长,就应从凌晨 1 点进港,而下午的 17 点 前离港,在港内停留的时间最长为 16 个小时.

[构建·体系]

1.电流 I 随时间 t 变化的关系式是 I=Asin ωt,t∈[0,+∞),若 ω=10π rad/s,

A=5,则电流 I 变化的周期是________,当 t=610 s 时,电流 I=________. 【解析】 由已知得 I=5sin 10πt,

∴T=120ππ=15.

当 t=610 s 时,I=50sin 10π·610=5sin π6=52.

【答案】

1 5

5 2

2.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上,按月呈 f(x) =Asin(ωx+φ)+bA>0,ω>0,|φ|<π2的模型波动(x 为月份),已知 3 月份达到最 高价 9 千元,7 月份价格最低为 5 千元,根据以上条件可确定 f(x)的解析式为 ________. 【导学号:06460037】
【解析】 由题意,可得 A=9-2 5=2,b=9+2 5=7,周期 T=2ωπ=2×(7- 3)=8,∴ω=π4,
∴f(x)=2sin???π4x+φ???+7.

∵当 x=3 时,y=9, ∴2sin???34π+φ???+7=9, 即 sin???34π+φ???=1. ∵|φ|<π2,∴φ=-π4. ∴f(x)=2sin???π4x-π4???+7(1≤x≤12,x∈Z). 【答案】 f(x)=2sin???π4x-π4???+7(1≤x≤12,x∈Z)

3.某地一天内的温度变化曲线满足 y=3sin(0.2x+25)+15,则在一天内, 该地的最大温差是________.
【解析】 因为函数 y=3sin(0.2x+25)+15 的振幅为 A=3,可以判断该地 的最大温差是 2A=6.
【答案】 6

4.一物体相对于某一固定位置的位移 y(cm)和时间 t(s)之间的一组对应值如

下表所示:

t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y -4.0 -2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 -2.8 -4.0

则可近似地描述该物体的位移 y 和时间 t 之间关系的一个三角函数为

________. 【解析】 由样本数据可知,T=0.8,且该物体的位移 y 和时间 t 之间的位

置关系近似的用 y=-Acos ωt 来表示.

又 A=0.4,ω=2Tπ=02.π8=52π.

∴y=-0.4cos52πt.

【答案】

y=-0.4cos

5π 2t

5.弹簧上挂的小球作上下振动,它在时间 t(s)内离开平衡位置的位移 h(cm) 由下列函数关系式决定:h=3sin???2t+π4???.
(1)以 t 为横坐标,h 为纵坐标作出图象(0≤t≤π); (2)求小球开始振动时的位置; (3)经过多长时间,小球往返一次? (4)每秒内小球往返几次?

【解】 (1)所求函数图象如图所示:
(2)当 t=0 时 h=322(cm); (3)T=π≈3.14(s),即每经过 3.14 s 小球往返振动一次; (4)由(3)可知,每秒内小球往返1π次.

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