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方正县第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

方正县第一中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析

班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1. 如图,棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 为线段 A1B 上的动点,则下列结论正确的有(



①三棱锥 M﹣DCC1 的体积为定值 ②DC1⊥D1M

③∠AMD1 的最大值为 90° ④AM+MD1 的最小值为 2.

A.①② B.①②③ C.③④ D.②③④ 2. 已知 =(2,﹣3,1), =(4,2,x),且 ⊥ ,则实数 x 的值是(

A.﹣2

B.2

C.﹣

D.

3. 已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E 为上底面 A1C1 的中心,若 别为( )

A.x=1,y=1 B.x=1,y= C.x= ,y=

D.x= ,y=1

4. 对于复数

,若集合

具有性质“对任意

,必有



+

,则 x、y 的值分

”,则当

时,

等于 ( )

A1

B-1

C0

D

5. 已知 m,n 为不同的直线,α,β 为不同的平面,则下列说法正确的是( )

A.m?α,n∥m?n∥α B.m?α,n⊥m?n⊥α

C.m?α,n?β,m∥n?α∥β D.n?β,n⊥α?α⊥β

6. 两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是球面面积的 , 则这两个圆锥的体积之比为( )

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A.2:1 B.5:2 C.1:4 D.3:1 7. 在高校自主招生中,某学校获得 5 个推荐名额,其中清华大学 2 名,北京大学 2 名,复旦大学 1 名.并且 北京大学和清华大学都要求必须有男生参加.学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐对象,则不同的推荐方法 共有( ) A.20 种B.22 种C.24 种D.36 种

2+ai

8. 设 a,b∈R,i 为虚数单位,若 1+i =3+bi,则 a-b 为(



A.3

B.2

C.1

D.0

9. 圆心在直线 2x+y=0 上,且经过点(-1,-1)与(2,2)的圆,与 x 轴交于 M,N 两点,则|MN|=( )

A.4 2

B.4 5

C.2 2

D.2 5

10.已知 A, B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 60? , C 为该球面上的动点,若三棱锥 O ? ABC 体积的最大

值为18 3 ,则球 O 的体积为( )

A. 81?

B.128?

C.144?

D. 288?

【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质,意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算

求解能力.

11.一个圆的圆心为椭圆的右焦点,且该圆过椭圆的中心交椭圆于 P,直线 PF1(F1 为椭圆的左焦点)是该圆

的切线,则椭圆的离心率为( )

A.

B.

C.

D.

12.若函数 f (x) ? 4x2 ? kx ? 8 在[5,8] 上是单调函数,则 k 的取值范围是( )
A. ???,40? ?64, ??? B.[40,64] C. ???, 40? D.?64, ???
二、填空题

13.已知函数 f(x)=

,若关于 x 的方程 f(x)=k 有三个不同的实根,则实数 k 的取值范

围是 .

14.观察下列等式

1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 …

照此规律,第 n 个等式为



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15.在极坐标系中,O 是极点,设点 A,B 的极坐标分别是(2 , ),(3,

的距离是



),则 O 点到直线 AB

16.椭圆

的两焦点为 F1,F2,一直线过 F1 交椭圆于 P、Q,则△ PQF2 的周长为



17.函数 f(x)=x2ex 在区间(a,a+1)上存在极值点,则实数 a 的取值范围为 .

18.已知平面上两点 M(﹣5,0)和 N(5,0),若直线上存在点 P 使|PM|﹣|PN|=6,则称该直线为“单曲型 直线”,下列直线中:

①y=x+1 ②y=2 ③y= x ④y=2x+1

是“单曲型直线”的是



三、解答题
19.电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查,其中女性 有 55 名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:将日均收看该体育节 目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中有 10 名女性. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?
非体育迷体育迷合计 男 女 总计 (2)将日均收看该体育节目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育迷”中有 2 名女性,若从 “超级体育迷”中任意选取 2 名,求至少有 1 名女性观众的概率.
附:K2=

P(K2≥k0)

0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k0

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024

6.635 7.879 10.83

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20.某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员,在校内组织猜灯谜竞赛.规定:第一阶段知识测试成绩不小于 160 分的学生进入第二阶段比赛.现有 200 名学生参加知识测试,并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分 布直方图. (Ⅰ)估算这 200 名学生测试成绩的中位数,并求进入第二阶段比赛的学生人数; (Ⅱ)将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛.现甲、乙两队在比赛中均已获得 120 分,进入最后抢答阶 段.抢答规则:抢到的队每次需猜 3 条谜语,猜对 1 条得 20 分,猜错 1 条扣 20 分.根据经验,甲队猜对每条 谜语的概率均为 ,乙队猜对前两条的概率均为 ,猜对第 3 条的概率为 .若这两队抢到答题的机会均等, 您做为场外观众想支持这两队中的优胜队,会把支持票投给哪队?
? ? ? ? 21.已知 A ? a2, a ?1, ?3 , B ? a ? 3,3a ?1, a2 ?1 ,若 A B ? ??3? ,求实数的值.
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22.如图,四面体 ABCD 中,平面 ABC⊥平面 BCD,AC=AB,CB=CD,∠DCB=120°,点 E 在 BD 上,且 CE=DE. (Ⅰ)求证:AB⊥CE; (Ⅱ)若 AC=CE,求二面角 A﹣CD﹣B 的余弦值.
23.已知函数 f(x)=ex﹣ax﹣1(a>0,e 为自然对数的底数). (1)求函数 f(x)的最小值; (2)若 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 a 的值.
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24.(本小题满分 12 分)

已知圆 M 与圆 N : (x ? 5)2 ? ( y ? 5)2 ? r 2 关于直线 y ? x 对称,且点 D(? 1 , 5) 在圆 M 上.

3

3

33

(1)判断圆 M 与圆 N 的位置关系;

(2)设 P 为圆 M 上任意一点, A(?1, 5) , B(1, 5) , P、A、B 三点不共线, PG 为 ?APB的平分线,且交

3

3

AB 于 G . 求证: ?PBG与 ?APG的面积之比为定值.

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方正县第一中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A

【解析】解:①∵A1B∥平面 DCC1D1,∴线段 A1B 上的点 M 到平面 DCC1D1 的距离都为 1,又△DCC1 的面积

为定值 ,因此三棱锥 M﹣DCC1 的体积 V=

= 为定值,故①正确.

②∵A1D1⊥DC1,A1B⊥DC1,∴DC1⊥面 A1BCD1,D1P?面 A1BCD1,∴DC1⊥D1P,故②正确.

③当 0<A1P< 时,在△AD1M 中,利用余弦定理可得∠APD1 为钝角,∴故③不正确;

④将面 AA1B 与面 A1BCD1 沿 A1B 展成平面图形,线段 AD1 即为 AP+PD1 的最小值, 在△D1A1A 中,∠D1A1A=135°,利用余弦定理解三角形得 AD1= 故④不正确. 因此只有①②正确. 故选:A.

=

<2,

2. 【答案】A

【解析】解:∵ =(2,﹣3,1), =(4,2,x),且 ⊥ , ∴ =0, ∴8﹣6+x=0; ∴x=﹣2; 故选 A. 【点评】本题考查向量的数量积判断向量的共线与垂直,解题的关键是将垂直关系转化为两向量的内积为 0, 建立关于 x 的方程求出 x 的值.

3. 【答案】C 【解析】解:如图,

+

+(

故选 C.

).

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4. 【答案】B

【解析】由题意,可取

,所以

5. 【答案】D

【解析】解:在 A 选项中,可能有 n?α,故 A 错误;

在 B 选项中,可能有 n?α,故 B 错误;

在 C 选项中,两平面有可能相交,故 C 错误;

在 D 选项中,由平面与平面垂直的判定定理得 D 正确.

故选:D.

【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

6. 【答案】D 【解析】解:设球的半径为 R,圆锥底面的半径为 r,则 πr2= ×4πR2=

∴球心到圆锥底面的距离为

= .∴圆锥的高分别为 和 .

∴两个圆锥的体积比为 : 故选:D.

=1:3.

,∴r= .

7. 【答案】C

【解析】解:根据题意,分 2 种情况讨论:

①、第一类三个男生每个大学各推荐一人,两名女生分别推荐北京大学和清华大学,

共有

=12 种推荐方法;

②、将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学,其余 2 个女生从剩下的 2 个大学中选,

共有

=12 种推荐方法;

故共有 12+12=24 种推荐方法;

故选:C.

8. 【答案】

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2+ai 【解析】选 A.由 =3+bi 得,
1+i

2+ai=(1+i)(3+bi)=3-b+(3+b)i,

∵a,b∈R,

??2=3-b

∴?

,即 a=4,b=1,∴a-b=3(或者由 a=3+b 直接得出 a-b=3),选 A.

??a=3+b

9. 【答案】

【解析】选 D.设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).

??2a+b=0 ? 由题意得 (-1-a)2+(-1-b)2=r2,
??(2-a)2+(2-b)2=r2

解之得 a=-1,b=2,r=3,

∴圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=9,

令 y=0 得,x=-1± 5,

∴|MN|=|(-1+ 5)-(-1- 5)|=2 5,选 D.

10.【答案】D

【解析】当 OC ?平面 AOB 平面时,三棱锥 O ? ABC 的体积最大,且此时 OC 为球的半径.设球的半径为 R ,

则由题意,得 1 ? 1 ? R2 sin 60?? R ? 18 3 ,解得 R ? 6 ,所以球的体积为 4 ?R3 ? 288? ,故选 D.

32

3

11.【答案】D

【解析】解:设 F2 为椭圆的右焦点

由题意可得:圆与椭圆交于 P,并且直线 PF1(F1 为椭圆的左焦点)是该圆的切线,

所以点 P 是切点,所以 PF2=c 并且 PF1⊥PF2.

又因为 F1F2=2c,所以∠PF1F2=30°,所以



根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a,

所以|PF2|=2a﹣c.

所以 2a﹣c= ,所以 e=



故选 D.

【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题,以即椭圆的定义.

12.【答案】A 【解析】
试题分析:根据 f ? x? ? 4x2 ? kx ?8 可知,函数图象为开口向上的抛物线,对称轴为 x ? k ,所以若函数 f ? x?
8

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在区间?5,8?上为单调函数,则应满足: k ? 5 或 k ? 8 ,所以 k ? 40 或 k ? 64 。故选 A。

8

8

考点:二次函数的图象及性质(单调性)。

二、填空题

13.【答案】 (0,1) .

【解析】解:画出函数 f(x)的图象,如图示:

令 y=k,由图象可以读出:0<k<1 时,y=k 和 f(x)有 3 个交点, 即方程 f(x)=k 有三个不同的实根, 故答案为(0,1). 【点评】本题考查根的存在性问题,渗透了数形结合思想,是一道基础题.
14.【答案】 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=(2n﹣1)2 .
【解析】解:观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 … 等号右边是 12,32,52,72…第 n 个应该是(2n﹣1)2 左边的式子的项数与右边的底数一致, 每一行都是从这一个行数的数字开始相加的, 照此规律,第 n 个等式为 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=(2n﹣1)2, 故答案为:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=(2n﹣1)2
第 10 页,共 16 页

【点评】本题考查归纳推理,考查对于所给的式子的理解,主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之 间的关系,本题是一个易错题.

15.【答案】



【解析】解:根据点 A,B 的极坐标分别是(2 , ),(3, ),可得 A、B 的直角坐标分别是(3, )、(﹣ , ),

故 AB 的斜率为﹣ ,故直线 AB 的方程为 y﹣ =﹣ (x﹣3),即 x+3 y﹣12=0,

所以 O 点到直线 AB 的距离是

=,

故答案为: . 【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法,点到直线的距离公式的应用,属于基础题.

16.【答案】 20 .

【解析】解:∵a=5,由椭圆第一定义可知△PQF2 的周长=4a. ∴△PQF2 的周长=20., 故答案为 20. 【点评】作出草图,结合图形求解事半功倍.
17.【答案】 (﹣3,﹣2)∪(﹣1,0) .

【解析】解:函数 f(x)=x2ex 的导数为 y′=2xex+x2ex =xex (x+2), 令 y′=0,则 x=0 或﹣2, ﹣2<x<0 上单调递减,(﹣∞,﹣2),(0,+∞)上单调递增, ∴0 或﹣2 是函数的极值点, ∵函数 f(x)=x2ex 在区间(a,a+1)上存在极值点, ∴a<﹣2<a+1 或 a<0<a+1, ∴﹣3<a<﹣2 或﹣1<a<0. 故答案为:(﹣3,﹣2)∪(﹣1,0).
18.【答案】 ①② .

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【解析】解:∵|PM|﹣|PN|=6∴点 P 在以 M、N 为焦点的双曲线的右支上,即

对于①,联立

,消 y 得 7x2﹣18x﹣153=0,

∵△=(﹣18)2﹣4×7×(﹣153)>0,∴y=x+1 是“单曲型直线”.

对于②,联立

,消 y 得 x2= ,∴y=2 是“单曲型直线”.

,(x>0).

对于③,联立

,整理得 144=0,不成立.∴

不是“单曲型直线”.

对于④,联立

,消 y 得 20x2+36x+153=0,

∵△=362﹣4×20×153<0∴y=2x+1 不是“单曲型直线”. 故符合题意的有①②. 故答案为:①②. 【点评】本题考查“单曲型直线”的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意双曲线定义的合理运用.

三、解答题
19.【答案】

【解析】解:(1)由频率分布直方图中可知:抽取的 100 名观众中,“体育迷”共有(0.020+0.005)×10×100=25

名.可得 2×2 列联表:

非体育迷体育迷合计

男 30

15 45

女 45

10 55

总计 75

25 100

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算可得 K2 的观测值为:k=

= ≈3.030.

∵3.030<3.841, ∴我们没有理由认为“体育迷”与性别有关.

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(2)由频率分布直方图中可知:“超级体育迷”有 5 名,从而一切可能结果所组成的基本事件空间 Ω={(a1,a2), (a1,a3),(a2,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1, b2)},其中 ai(i=1,2,3)表示男性,bj(j=1,2)表示女性. 设 A 表示事件“从“超级体育迷”中任意选取 2 名,至少有 1 名女性观众”,则事件 A 包括 7 个基本事件:(a1, b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2).
∴P(A)= .
【点评】本题考查了“独立性检验基本原理”、古典概率计算公式、频率分布直方图及其性质,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题.

20.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)设测试成绩的中位数为 x,由频率分布直方图得, (0.0015+0.019)×20+(x﹣140)×0.025=0.5, 解得:x=143.6. ∴测试成绩中位数为 143.6. 进入第二阶段的学生人数为 200×(0.003+0.0015)×20=18 人. (Ⅱ)设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为 ξ、η,
则 ξ~B(3, ),

∴E(ξ)=



∴最后抢答阶段甲队得分的期望为[

]×20=30,

∵P(η=0)=



P(η=1)=



P(η=2)=



P(η=3)=



∴Eη=



∴最后抢答阶段乙队得分的期望为[

]×20=24.

∴120+30>120+24, ∴支持票投给甲队. 【点评】本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识,考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及 应用意识,考查或然与必然的思想,属中档题.

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21.【答案】 a ? ? 2 . 3
【解析】
考点:集合的运算. 22.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)证明:△BCD 中,CB=CD,∠BCD=120°, ∴∠CDB=30°, ∵EC=DE,∴∠DCE=30°,∠BCE=90°, ∴EC⊥BC, 又∵平面 ABC⊥平面 BCD,平面 ABC 与平面 BCD 的交线为 BC, ∴EC⊥平面 ABC,∴EC⊥AB. (Ⅱ)解:取 BC 的中点 O,BE 中点 F,连结 OA,OF, ∵AC=AB,∴AO⊥BC, ∵平面 ABC⊥平面 BCD,平面 ABC∩平面 BCD=BC, ∴AO⊥平面 BCD,∵O 是 BC 中点,F 是 BE 中点,∴OF⊥BC, 以 O 为原点,OB 为 y 轴,OA 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 设 DE=2,则 A(0,0,1),B(0, ,0), C(0,﹣ ,0),D(3,﹣2 ,0), ∴ =(0,﹣ ,﹣1), =(3,﹣ ,0), 设平面 ACD 的法向量为 =(x,y,z),
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,取 x=1,得 =(1, ,﹣3),

又平面 BCD 的法向量 =(0,0,1),

∴cos<

>=

=﹣



∴二面角 A﹣CD﹣B 的余弦值为



【点评】本小题主要考查立体几何的相关知识,具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向 量在立体几何中的应用.本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.
23.【答案】 【解析】解:(1)∵f(x)=ex﹣ax﹣1(a>0), ∴f'(x)=ex﹣a, 由 f'(x)=ex﹣a=0 得 x=lna, 由 f'(x)>0 得,x>lna,此时函数单调递增, 由 f'(x)<0 得,x<lna,此时函数单调递减, 即 f(x)在 x=lna 处取得极小值且为最小值, 最小值为 f(lna)=elna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1. (2)若 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立, 等价为 f(x)min≥0, 由(1)知,f(x)min=a﹣alna﹣1, 设 g(a)=a﹣alna﹣1, 则 g'(a)=1﹣lna﹣1=﹣lna, 由 g'(a)=0 得 a=1, 由 g'(x)>0 得,0<x<1,此时函数单调递增, 由 g'(x)<0 得,x>1,此时函数单调递减, ∴g(a)在 a=1 处取得最大值,即 g(1)=0,
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因此 g(a)≥0 的解为 a=1, ∴a=1.

24.【答案】(1)圆与圆相离;(2)定值为 2.

【解析】

试题分析:(1)若两圆关于直线对称,则圆心关于直线对称,并且两圆的半径相等,可先求得圆 M 的圆心,

r ? DM ,然后根据圆心距 MN 与半径和比较大小,从而判断圆与圆的位置关系;(2)因为点 G 到 AP 和

BP 的距离相等,所以两个三角形的面积比值 S?PBG ? PB ,根据点 P 在圆 M 上,代入两点间距离公式求 PB S?APG PA
和 PA ,最后得到其比值.

试题解析:(1) ∵圆 N 的圆心 N (5 ,? 5) 关于直线 y ? x 的对称点为 M (? 5 , 5) ,

33

33

∴ r2 ?| MD |2 ? (? 4)2 ? 16 , 39

∴圆 M 的方程为 (x ? 5)2 ? ( y ? 5)2 ? 16 .

3

39

∵| MN |? (10 )2 ? (10 )2 ? 10 2 ? 2r ? 8 ,∴圆 M 与圆 N 相离.

3

3

3

3

考点:1.圆与圆的位置关系;2.点与圆的位置关系.1
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