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安溪县第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

安溪县第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 某三棱椎的三视图如图所示,该三棱锥的四个面的面积中,最大的是( )

姓名__________

分数__________

A.

B.8

C.

D. 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是( B.[0,1] D.(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,1] )

2. 若 f(x)=﹣x2+2ax 与 g(x)= A.(﹣∞,1] C.(﹣2,﹣1)∪(﹣1,1]

3. 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法 从该地区调查了 500 位老年人,结果如 ........ 下: 性别 是否需要志愿者 需要 不需要
2

男 40 160

女 30 270

500 ? (40 ? 270 ? 30 ?160) 2 n(ad ? bc)2 2 ? 9.967 由K ? 算得 K ? 200 ? 300 ? 70 ? 430 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
附表:

P( K 2 ? k ) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828 参照附表,则下列结论正确的是(
) ①有 99% 以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无 关”; . ②有 99% 以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有 关”; . ③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好; ④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好;

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A.①③

B.①④

C.②③

D.②④ )

4. 执行如图所示的程序框图,则输出的 S 等于(

A.19

B.42

C.47

D.89

5. 若函数 f(x)=loga(2x2+x)(a>0 且 a≠1)在区间(0, )内恒有 f(x)>0,则 f(x)的单调递增区 间为( ) B.(﹣ ,+∞) C.(0,+∞) D.(﹣∞,﹣ ) )

A.(﹣∞, )

6. 设复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则复数

A. 1 ? i B. 1 ? i C. 2 ? i 【命题意图】本题考查复数的有关概念,复数的四则运算等基础知识,意在考查学生的基本运算能力. 7. 某单位安排甲、乙、丙三人在某月 1 日至 12 日值班,每人 4 天. 甲说:我在 1 日和 3 日都有值班; 乙说:我在 8 日和 9 日都有值班; 丙说:我们三人各自值班的日期之和相等.据此可判断丙必定值班的日期是( A.2 日和 5 日 B.5 日和 6 日 C.6 日和 11 日 =( D. bc,sinC=2 D.150° ) D.4 ) sinB,则 A=( ) ) D.2 日和 11 日 )

2 ? z2 ? ( z D. 2 ? i

8. (理)已知 tanα=2,则 A. B. C.

9. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a2﹣b2= A.30° A.7 B.60° B.6 C.120° C.5

10.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公比 q=2,Sk+2﹣Sk=48,则 k 等于(

11. 在平面直角坐标系中, 若不等式组

( 为常数) 表示的区域面积等于 , 则 的值为 (

A.

B.

C.

D.

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12.已知函数 f ( x) ? sin x ? 2 x ,且 a ? f (ln ), b ? f (log 2 ), c ? f (2 0.3 ) ,则( A. c ? a ? b B. a ? c ? b D. b ? a ? c

3 2 C. a ? b ? c

1 3



【命题意图】 本题考查导数在单调性上的应用、 指数值和对数值比较大小等基础知识, 意在考查基本运算能力.

二、填空题
13.抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过 F 且倾斜角等于 为 为___________. 15.如果直线 3ax+y﹣1=0 与直线(1﹣2a)x+ay+1=0 平行.那么 a 等于 16.不等式 . 17.已知正四棱锥 O ? ABCD 的体积为 2 ,底面边长为 3 , 则该正四棱锥的外接球的半径为_________ 的解集为 R,则实数 m 的范围是 . .
2 2

的直线与抛物线在 x 轴上方的曲线交于点 A,则 AF 的长

14.已知关于的不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 (1, 2) ,则关于的不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 的解集

18.已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? m ,其前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2n ,若对 ?n ? N ? , an ? an?1 恒成立,则 m 的取值范围是_______. 【命题意图】本题考查数列递推公式、数列性质等基础知识,意在考查转化与化归、逻辑思维能力和基本运算 能力.

三、解答题
19.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 AA1C1C⊥底面 ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且 AB⊥BC,O 为 AC 中点. (Ⅰ)证明:A1O⊥平面 ABC; (Ⅱ)求直线 A1C 与平面 A1AB 所成角的正弦值; (Ⅲ)在 BC1 上是否存在一点 E,使得 OE∥平面 A1AB,若不存在,说明理由;若存在,确定点 E 的位置.

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20.(本小题满分 12 分)已知向量 a = (m cos wx - m sin wx,sin wx) , b = (- cos wx - sin wx, 2n cos wx) ,

n p ( x ? R ) 的图象关于点 ( ,1) 对称,且 w ? (1, 2) . 2 12 (I)若 m = 1 ,求函数 f ( x) 的最小值; p (II)若 f ( x) ? f ( ) 对一切实数恒成立,求 y ? f ( x) 的单调递增区间. 4
设函数 f ( x) = a ?b 【命题意图】本题考查三角恒等变形、三角形函数的图象和性质等基础知识,意在考查数形结合思想和基本运 算能力.

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21.已知函数 f(x)=|x﹣a|. (Ⅰ)若不等式 f(x)≤2 的解集为[0,4],求实数 a 的值;
2 (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若? x0∈R,使得 f(x0)+f(x0+5)﹣m <4m,求实数 m 的取值范围.

22.巳知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 和 g(x)=ax2+bx+c?lnx(abc≠0).

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(Ⅰ)证明:当 a<0 时,无论 b 为何值,函数 g(x)在定义域内不可能总为增函数; (Ⅱ)在同一函数图象上取任意两个不同的点 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点 C(x0,y0),记 f x) f x) =ax2+bx+c 与 g =ax2+bx+c?lnx ′ x0) 直线 AB 的斜率为 k 若 ( 满足 k=f( , 则称其为“K 函数”. 判断函数 ( (x) 是否为“K 函数”?并证明你的结论.

23.(本小题满分 12 分) 如图(1),在三角形 PCD 中, AB 为其中位线,且 2 BD ? PC ,若沿 AB 将三角形 PAB 折起,使

?PAD ? ? ,构成四棱锥 P ? ABCD ,且
(1)求证:平面 BEF ? 平面 PAB ; (2)当 异面直线 BF 与 PA 所成的角为

PC CD ? ? 2. PF CE

? 时,求折起的角度. 3

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24.已知△ABC 的三边是连续的三个正整数,且最大角是最小角的 2 倍,求△ABC 的面积.

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安溪县第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】 【分析】通过三视图分析出几何体的图形,利用三视图中的数据求出四个面的面积中的最大值. 【解答】解:由题意可知,几何体的底面是边长为 4 的正三角形,棱锥的高为 4,并且高为侧棱

垂直底面三角形的一个顶点的三棱锥, 两个垂直底面的侧面面积相等为:8, 底面面积为: 另一个侧面的面积为: 四个面中面积的最大值为 4 故选 C. 2. 【答案】D ; =4 , =4 ,

2 【解析】解:∵函数 f(x)=﹣x +2ax 的对称轴为 x=a,开口向下,

∴单调间区间为[a,+∞) 又∵f(x)在区间[1,2]上是减函数, ∴a≤1 ∵函数 g(x)= ∵g(x)= 在区间(﹣∞,﹣a)和(﹣a,+∞)上均为减函数,

在区间[1,2]上是减函数,

∴﹣a>2,或﹣a<1, 即 a<﹣2,或 a>﹣1, 综上得 a∈(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,1], 故选:D 【点评】本题主要考查二次函数与反比例函数的单调性的判断,以及根据所给函数单调区间,求参数的范围.

3. 【答案】D 【解析】解析:本题考查独立性检验与统计抽样调查方法.

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由于 9.967 ? 6.635 ,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关,②正确;该地区老年 人是否需要帮助与性别有关, 并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显 差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法 比采用简单随机抽样方法更好,④正确,选 D. 4. 【答案】B 【解析】解:模拟执行程序框图,可得 k=1 S=1 满足条件 k<5,S=3,k=2 满足条件 k<5,S=8,k=3 满足条件 k<5,S=19,k=4 满足条件 k<5,S=42,k=5 不满足条件 k<5,退出循环,输出 S 的值为 42. 故选:B. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的 S,k 的值是解题的关键,属于 基础题. 5. 【答案】D
2 【解析】解:当 x∈(0, )时,2x +x∈(0,1),

∴0<a<1,
2 2 ∵函数 f(x)=loga(2x +x)(a>0,a≠1)由 f(x)=logat 和 t=2x +x 复合而成,

0<a<1 时,f(x)=logat 在(0,+∞)上是减函数,所以只要求 t=2x2+x>0 的单调递减区间. t=2x2+x>0 的单调递减区间为(﹣∞,﹣ ), ∴f(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣ ), 故选:D. 【点评】本题考查复合函数的单调区间问题,复合函数的单调区间复合“同增异减”原则,在解题中勿忘真数 大于 0 条件. 6. 【答案】A 【 解 析 】

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7. 【答案】C 【解析】解:由题意,1 至 12 的和为 78, 因为三人各自值班的日期之和相等, 所以三人各自值班的日期之和为 26, 根据甲说:我在 1 日和 3 日都有值班;乙说:我在 8 日和 9 日都有值班,可得甲在 1、3、10、12 日值班,乙 在 8、9、2、7 或 8、9、4、5, 据此可判断丙必定值班的日期是 6 日和 11 日, 故选:C. 【点评】本题考查分析法,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 8. 【答案】D 【解析】解:∵tanα=2,∴ 故选 D. 9. 【答案】A 【解析】解:∵sinC=2
2 2 ∵a ﹣b =

=

=

=



sinB,∴c=2 =

b, =

bc,∴cosA=

∵A 是三角形的内角 ∴A=30° 故选 A. 【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用,解题的关键是边角互化,属于中档题. 10.【答案】D 【解析】解:由题意,Sk+2﹣Sk= 即 3×2 =48,2 =16, ∴k=4. 故选:D. 【点评】本题考查等比数列的通项公式,考查了等比数列的前 n 项和,是基础题. 11.【答案】B 【解析】【知识点】线性规划 【试题解析】作可行域:
k k



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由题知:

所以 故答案为:B 12.【答案】D

二、填空题
13.【答案】 4 . 【解析】解:由已知可得直线 AF 的方程为 y= (x﹣1),

2 联立直线与抛物线方程消元得:3x ﹣10x+3=0,解之得:x1=3,x2= (据题意应舍去),

由抛物线定义可得:AF=x1+ =3+1=4. 故答案为:4. 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查抛物线的定义,考查学生的计算能力,属于中档题.

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14.【答案】 (?? , ) ? (1,?? ) 【 解 析 】

1 2

考 点:一元二次不等式的解法. 15.【答案】 .

【解析】解:∵直线 3ax+y﹣1=0 与直线(1﹣2a)x+ay+1=0 平行, ∴3aa=1(1﹣2a),解得 a=﹣1 或 a= , 经检验当 a=﹣1 时,两直线重合,应舍去 故答案为: . 【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系,属基础题. 16.【答案】 .

【解析】解:不等式 x2﹣8x+20>0 恒成立



2 可得知:mx +2(m+1)x+9x+4<0 在 x∈R 上恒成立.

显然 m<0 时只需△=4(m+1) ﹣4m(9m+4)<0, 解得:m<﹣ 或 m> 所以 m<﹣ 故答案为:

2

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17.【答案】

11 8

【解析】因为正四棱锥 O ? ABCD 的体积为 2 ,底面边长为 3 ,所以锥高为 2,设外接球的半径为 R ,依轴 截面的图形可知: R 2 ? ( R ? 2)2 ? ( 18.【答案】 ( ?

6 2 11 ) ?R ? 2 8

1 5 , ) 4 3

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)证明:因为 A1A=A1C,且 O 为 AC 的中点, 所以 A1O⊥AC. 又由题意可知,平面 AA1C1C⊥平面 ABC, 交线为 AC,且 A1O?平面 AA1C1C, 所以 A1O⊥平面 ABC. (Ⅱ)如图,以 O 为原点,OB,OC,OA1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知,A1A=A1C=AC=2,又 AB=BC,AB⊥BC,∴ 所以得: ,

则有:



设平面 AA1B 的一个法向量为 n=(x,y,z),则有 令 y=1,得 所以 .



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. 因为直线 A1C 与平面 A1AB 所成角 θ 和向量 n 与 (Ⅲ)设 即 所以 令 OE∥平面 A1AB,得 即﹣1+λ+2λ﹣λ=0,得 , , ,得 , ,得 , 所成锐角互余,所以 .

即存在这样的点 E,E 为 BC1 的中点.

【点评】本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识,考查数形结合、化归与转化 的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力 20.【答案】 21.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)∵|x﹣a|≤2,∴a﹣2≤x≤a+2, ∵f(x)≤2 的解集为[0,4],∴ ,∴a=2.

(Ⅱ)∵f(x)+f(x+5)=|x﹣2|+|x+3|≥|(x﹣2)﹣(x+3)|=5, ∵?x0∈R,使得 即 成立, ,

2 2 ∴4m+m >[f(x)+f(x+5)]min,即 4m+m >5,解得 m<﹣5,或 m>1,

∴实数 m 的取值范围是(﹣∞,﹣5)∪(1,+∞).

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22.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)证明:如果 g(x)是定义域(0,+∞)上的增函数, 则有 g′(x)=2ax+b+ = >0;

2 从而有 2ax +bx+c>0 对任意 x∈(0,+∞)恒成立; 2 又∵a<0,则结合二次函数的图象可得,2ax +bx+c>0 对任意 x∈(0,+∞)恒成立不可能,

故当 a<0 时,无论 b 为何值,函数 g(x)在定义域内不可能总为增函数;
2 2 (Ⅱ)函数 f(x)=ax +bx+c 是“K 函数”,g(x)=ax +bx+c?lnx 不是“K 函数”, 2 事实上,对于二次函数 f(x)=ax +bx+c,

k= 又 f′(x0)=2ax0+b, 故 k=f′(x0);

=a(x1+x2)+b=2ax0+b;

2 故函数 f(x)=ax +bx+c 是“K 函数”; 2 对于函数 g(x)=ax +bx+c?lnx,

不妨设 0<x1<x2,则 k=

=2ax0+b+



而 g′(x0)=2ax0+b+





=

,化简可得,

=



设 t=

,则 0<t<1,lnt=

; ;则 s′(t)= 是(0,1)上的增函数, >0;

设 s(t)=lnt﹣ 则 s(t)=lnt﹣ 故 s(t)<s(1)=0;

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则 lnt≠



2 故 g(x)=ax +bx+c?lnx 不是“K 函数”.

【点评】本题考查了导数的综合应用及学生对新定义的接受能力,属于中档题. 23.【答案】(1)证明见解析;(2) ? ? 【解析】

2? . 3

BA ? AD 从而得到 BA ? 平面 PAD , 试题分析: (1) 可先证 BA ? PA , 再证 CD ? FE , CD ? BE 可得 CD ?
平面 BEF ,由 CD // AB ,可证明平面 BEF ? 平面 PAB ; (2)由 ?PAD ? ? ,取 BD 的中点 G ,连接 FG, AG , 可得 ?PAG 即为异面直线 BF 与 PA 所成的角或其补角,即为所折起的角度.在三角形中求角即可. 1 试题解析:

(2)因为 ?PAD ? ? ,取 BD 的中点 G ,连接 FG, AG ,所以 FG // CD , FG ?

1 CD ,又 AB // CD , 2

1 AB ? CD ,所以 FG // AB , FG ? AB ,从而四边形 ABFG 为平行四边形,所以 BF // AG ,得;同时, 2 2? 因为 PA ? AD , ?PAD ? ? ,所以 ?PAD ? ? ,故折起的角度 ? ? . 3

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考点:点、线、面之间的位置关系的判定与性质. 24.【答案】 【解析】解:由题意设 a=n、b=n+1、c=n+2(n∈N+), ∵最大角是最小角的 2 倍,∴C=2A, 由正弦定理得 ∴ ,则 ,得 cosA= = = , , , ,

由余弦定理得,cosA= ∴ 化简得,n=4, ∴a=4、b=5、c=6,cosA= , 又 0<A<π,∴sinA= ∴△ABC 的面积 S= = =

, = .

【点评】 本题考查正弦定理和余弦定理,边角关系, 三角形的面积公式的综合应用,以及方程思想, 考查化简、 计算能力,属于中档题.

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