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2019-2020学年高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量课后导练北师大版必修4.doc

2019-2020 学年高中数学第二章平面向量 2.3 从速度的倍数到数乘向 量课后导练北师大版必修 4
基础达标 1.已知菱形的两邻边 OA =a, OB =b,其对角线交点为 D,则 OD 等于( )

1 a+b 2 1 C. (a+b) 2
A.

B.a+

1 b 2

D.a+b

解析:由平行四边形法则及平行四边形的性质可得. 答案:C 2.化简:

1 1 [ (2a+8b)-(4a-2b)]得( 3 2

)

A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b 答案:B 3.已知 5(x+a)=3(b-x),则 x 等于( )

5 3 a- b 8 8 5 3 C. ? a+ b 8 8
A. 解析:∵5(x+a)=3(b-x), ∴5x+5a=3b-3x, ∴8x=3b-5a, ∴x= ?

3 5 a- b 8 8 3 5 D. ? a+ b 8 8
B.

5 3 a+ b. 8 8

答案:C 4.已知 e1,e2 是表示平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为一组基底的 是( ) A.e1+e2 和 e1- e2 B.3e1-2e2 和 4e2-6e1 C.e1+2e2 和 e2+2e1 D.e2 和 e1+e2 解析:∵4e2-6e1=-2(3e1-2e2), ∴3e1-2e2 与 4e2-6e1 共线, ∴它们不能作为一组基底,作为基底的两向量一定不共线. 答案:B 5.在 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 M,若设 AB =a, AD =b,则以下选项中,与) B. MB C. MC D. MD

1 1 a+ b 相 2 2

等的向量有( A. MA 解析:∵-

1 1 1 1 1 a+ b= (b-a)= ( AD - AB )= BD = MD . 2 2 2 2 2

答案:D 6.已知 3(x-a)+2(x+2a)-4(x+a-b)=0,则 x_____________. 解析:等式可化为 3x+2x-4x-3a+4b=0, ∴x=3a-4b. 答案:3a-4b 7.设 e1、e2 是不共线向量,e1+4e2 与 ke1+e2 共线,则实数 k 的值___________. 解析:e1+4e2=λ (ke1+e2)=λ ke1+λ e2, ∴λ =4 λ k=1.

1 . 4 1 答案: 4
∴k= 8.在△ABC 中, 设 AB =m, AC =n,D、 E 是边 BC 上的三等分点, 则 AD =_______, AE =_______. 解析:由 D,E 是边 BC 上的三等分点,可得 BD = 答案:

1 2 BC , BE = BC ,转化为已知向量即可. 3 3

2 1 m+ n 3 3

1 2 m+ n 3 3

9. 在平行四边形 ABCD 中, E 、 F 分别为 AB 、 CD 的中点,设 AB =a, AD =b ,求作向量 a-b,

1 1 a-b,b+ a. 2 2

解析:如下图 a-b= AB - AD = DB .

1 1 a-b= AE - AD = DE .b+ a= AD + DF = AF . 2 2
10.如右图, 四边形 ABCD 为矩形, 且|AD|=2|AB|, 又△ADF 为等腰直角三角形, E 为 FD 中点,

EA =e1, EF =e2.以 e1、e2 为基底,表示向量 AF 、 AB 、 AD 及 BD .

解析:∵ EA = e1, EF =e2, ∴ AF =e2-e1. 依题意有|AD|=2|AB|=|DE|,且 F 为 ED 中点, ∴四边形 ABDF 为平行四边形. ∴ BD = AF =e2-e1, AB = EF =e2.

∴ AD = AF + AB =e2-e1+e2=2e2-e1. 综合运用 11.向量 OA 、 OB 、OC 的终点 A、B、C 在一条直线上,且 AC =-3 CB .设 OA =p,OB =q,

OC =r,则下列等式成立的是(
1 3 p+ q 2 2 3 1 C.r= p- q 2 2
A.r=解析:由 AC =-3 CB 得

) B.r=-p+2q D.r=-q+2p

OC - OA =-3( OB - OC ),
即 2 OC =- OA +3 OB ,

1 3 OA + OB , 2 2 1 3 即 r=- p+ q. 2 2
∴ OC =答案:A 12.设一直线上三点 A、B、P 满足 AP =λ PB (λ ≠1),O 是空间一点,则 OP 用 OA 、 OB 表示为( ) B. OP =λ OA +(1-λ ) OB D. OP =

A. OP = OA +λ OB C. OP =

OA ? ? OB 1? ?

1

?

OA +

1 OB 1? ?

解析:由 AP =λ PB (λ ≠1)得

OP - OA =λ ( OB - OP )即 OP =
答案:C

OA ? ? OB . 1? ?

13.已知点 G 是△ABC 的重心,过 G 作 BC 的平行线与 AB、AC 分别交于 E、F,若 BC =a,则

EF =_____________.
解析:∵EF∥BC,∴ EF =λ BC =λ a, 又 EF 过△ABC 的重心 G ,∴| EF |= ∴ EF =

2 | BC | , 3

2 a. 3

答案:

2 a 3

14.e1,e2 是不共线的两个向量, OA =x1e1+y1e2, OB =x2e1+y2e2, AP =λ AB ,那么 OP 等于 _________. 解析:∵ AP = AO + OP ,

AB = AO + OB ,
∴ OP =(1-λ ) OA +λ OB =[(1-λ )x1+λ x2]e1+[(1-λ )y1+λ y2]e2. 答案: [(1-λ )x1+λ x2]e1+[(1-λ )y1+λ y2]e2 15.用向量方法证明:梯形中位线平行于底且等于上、下两底和的一半.

证明:如右图,梯形 ABCD 中, ∵E、F 分别是 AD、BC 的中点, ∴ ED = ? EA , CF = ? BF . ∵ EF = ED + DC + CF ,

EF = EA + AB + BF ,
∴ EF =

1 1 ( ED + EA + DC + AB + CF + BF )= ( DC + AB ). 2 2

又∵DC∥AB, ∴设 AB =λ DC .

1 ( DC + AB ) 2 1 1? ? = ( DC +λ DC )= DC . 2 2
∴ EF = ∴ EF ∥ DC . ∵E、F、D、C 四点不共线, ∴EF∥CD.同理 EF∥AB, 且| EF |= 拓展探究 16.如右图,在△AOB 中, OA =a, OB =b,设点 M 分 AB 所成的比为 2∶1,点 N 分 OA 所成

1 (| AB |+| CD |). 2

比为 3∶1,而 OM 与 BN 交于点 P,试用 a,b 表示 OP .

解析: OM = OA + AM = OA +

2 AB 3

2 ( OB - OA ) 3 2 1 2 =a+ (b-a)= a+ b, 3 3 3
= OA + ∵ OP 与 OM 共线,令 OP =t OM ,则 OP =t( 设 OP =(1-s) ON +s OB =(1-s)

1 2 t 2t a+ b)= a+ b. 3 3 3 3

3 a+sb. 4

3 3 ?t ? ? (1 ? s ) , ?s ? ? ?3 ? 4 5 ?? ∴? ? 2t ? s, ?t ? 9 . ? ? ?3 ? 10
∴ OP =

3 3 a+ b. 10 5


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