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《1.5 函数 y=Asin(ωx+ψ)》一课一练1


必修 4 数学一课一练(适用新课标人教版)

1.5 函数 y=Asin(ωx+ψ)
一、选择题: 1.用五点法作 y=2sin2x 的图象时,首先应描出的五点的横坐标可以是( π 3π π π 3π A.0, ,π, ,2π B.0, , , ,π 2 2 4 2 4 π π π 2π C.0,π,2π,3π,4π D.0, , , , 6 3 2 3 π? 10.设 f(x)=tan?x+3?,则它的单调区间是________. ? 3 1 14.(10 分)已知 f(x)=a-bcos3x(b>0)的最大值为 ,最小值为- . 2 2 (1)求函数 y=-4asin(3bx)的周期、最值,并求取得最值时的 x; (2)判断 f(x)的奇偶性. π 1.函数 y=sin(2x+ )的图象可看成是把函数 y=sin2x 的图象做以下平移得到( 6 π A.向右平移 6 B. 向左平移 π 12 C. 向右平移 π 12 π D. 向左平移 6 ) )

2.函数 y=sin(

π -2x)的单调增区间是( 4

) B. [kπ+ D. [kπ+ π 5π , kπ+ ] (k∈Z) 8 8 3π 7π , kπ+ ] (k∈Z) 8 8

3π 3π A. [kπ- , kπ+ ] (k∈Z) 8 8 π 3π C. [kπ- , kπ+ ] 8 8 (k∈Z)

3.函数 y=sin(x+

3π )的图象是( 2

) B. 关于 y 轴对称 3 D. 关于 x=- π 对称 2 )

A. 关于 x 轴对称 C. 关于原点对称

4.函数 f(x)=cos(3x+φ)的图像关于原点中心对称的充要条件是( π A. φ= 2 π C. φ= kπ+ 2 (k∈Z) B. φ= kπ(k∈Z) π D. φ= 2kπ- (k∈Z) 2

5.函数 y=

1 sin2x 图象的一条对称轴是( 5



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A.x= -

π 2

B. x= -

π 4

C. x =

π 8

D. x= -

5π 4

二、填空题: 6.函数 y= 1 π sin(3x- ) 的定义域是__________,值域是________,周期是________,振 5 3

幅是________,频率是________,初相是_________. π 7.如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 对称,那么 a=_________. 8 8.函数 y=sin2x 的图象向左平移 π ,所得的曲线对应的函数解析式是__________. 6

9.要得到 y=sin2x-cos2x 的图象,只需将函数 y=sin2x+cos2x 的图象沿 x 轴向____移 ___________个单位. π 10.关于函数 f(x)=4sin(2x+ ) (x∈R),有下列命题: 3 π (1)y=f(x )的表达式可改写为 y=4cos(2x- ); 6 (2)y=f(x )是以 2π 为最小正周期的周期函数; π (3)y=f(x ) 的图象关于点(- ,0)对称; 6 π (4)y=f(x ) 的图象关于直线 x=- 对称; 6 其中正确的命题序号是___________. 三、解答题: π 11.函数 y=sin(2x+ ) 的图象,可由函数 y=sinx 的图象怎样变换得到? 3 π 12.已知函数 f(x)=logacos(2x- )(其中 a>0,且 a≠1) . 3 (1)求它的定义域; (2)求它的单调区间; (3)判断它的奇偶性; (4)判断它的周期性,如果是周期函数,求它的最小正周期.

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13.已知正弦波图形如下:
y 1 0 8 6 4 2 O

? ? 5 x 2 3 6 4 6 8 -0 1 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 . . . . . . . . .

此图可以视为函数 y=Asin(ωx+ ? ) (A>0,ω>0,| ? |< 解析式.

π )图象的一部分,试求出其 2

14. 已知函数 y=3sin(

1 π x- ). 2 4

(1)用“五点法”作函数的图象; (2)说出此图象是由 y=sinx 的图象经过怎样的变化得到的; (3)求此函数的周期、振幅、初相; (4)求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间.

15.如图,某地一天从 6 时到 11 时的温度变化曲线近似满足函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b (1) 求这段时间最大温差; (2) 写出这段曲线的函数解析式.

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参考答案
一、选择题: 1.B 2.D 3.B 4.C 5.B 二、填空题: 1 1 2π 1 1 3 π π 6.(-∞,+ ∞),(- , ), , , , ,- ; 7.a=-1; 8.y=sin2(x+ ); 5 5 3 5 5 2π 3 6 π 9.右, ;10.(1)(3) 2 三、解答题: π π 11.y=sin(2x+ )=sin[2(x+ )] 3 6 π 先向左平移 个单位,横坐标再缩小到原来的一半而得到. 6 12.(1)要使 f(x)有意义,需满足 π cos(2x- )>0 3 π π π ∴ 2kπ- <2x- <2kπ+ 2 3 2 π 5π ∴ kπ- <x<2kπ+ 12 12 π 5π ∴ f(x)的定义域为{x|kπ- <x<2kπ+ ,k∈Z} 12 12 2π 7π (2)当 a>1 时,f(x)的单调增区间是(kπ+ , kπ+ ) 3 6 2π 单调减区间是(kπ, kπ+ ) (k∈Z) 3 2π 当 0<a<1 时,f(x)的单调增区间是(kπ,kπ+ ) (k∈Z) 3 2π 7π 单调减区间是(kπ+ , kπ+ ) (k∈Z) 3 6

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π π (3) f(-x)=logacos[-2x- ]=loga(2x+ ) 3 3 ∵ f(-x)≠f(x) 且 f(-x)≠-f(x) ∴f(x) 不具有奇偶性。 (4)f(x)是周期函数,最小正周期是 π.

13.解:已知信号最大、最小的波动幅度为 6 和-6,∴A=6;又根据图象上相邻两点的坐 标为

5π 5π 2π π π 和 , 间距相当于 y=Asin ωx+ ? ) ( 的图象的半个周期, ∴T=2 ( - ) =π.∵T= , 6 6 ? 3 3 2π

令 T=

?

=π,解得 ω=2;观察图象,点(

π π ,0)是五个关键点中的第三个点,∴ × ? =π, 2+ 3 3

解得 ? =

π π .综上所述,y=6sin(2x+ ). 3 3

14.解: (1)
y 3 2 1 O

? - 1 2 2 3 4

? 3 2

? 7 2

x

(2)方法一:“先平移,后伸缩”. 先把 y=sinx 的图象上所有的点向右平移 (x-

π π 个单位, 得到 y=sin (x- ) 的图象; 再把 y=sin 4 4

1 π π )图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到 y=sin( x- ) 2 4 4 1 π x- )的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变) , 2 4

的图象;最后将 y=sin( 就得到 y=3sin(

1 π x- )的图象. 2 4 1 x) 2
sin

方法二:“先伸缩,后平移”. 先把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到 y=sin( 的图象; 再把 y=sin ( (

1 1 π π x) 图象上所有的点向右平移 个单位, 得到 y=sin (x- ) = 2 2 2 2

x π 1 π ? )的图象;最后将 y=sin( x- )的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横 2 4 2 4 1 π x- )的图象. 2 4

坐标不变) ,就得到 y=3sin(

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(3)周期 T=



?

?

2π π =4π,振幅 A=3,初相是- . 1 4 2

(4)由于 y=3sin(

1 π x- )是周期函数,通过观察图象可知,所有与 x 轴垂直并且通 2 4 1 π π x - = +kπ,解得 直线方 程为 2 4 2

过 图象的 最值 点的直 线都 是此函 数的 对称轴 ,即 令 x=

3π +2kπ,k∈Z; 2
所有图象与 x 轴的交点都是函数的对称中心,所以对称中心为点( x 前的系数为正数,所以把

π +2kπ,0) ,k∈Z; 2

1 1 π π π π x- 视为一个整体,令- +2kπ≤ x- ≤ +2kπ,解得 2 2 4 2 4 2

[-

3π π +4kπ, +4kπ] ,k∈Z 为此函数的单调递增区间. 2 2

15. (1)20° ; (2) y ? 10 sin(

?
8

x ? ? ) ? 20 .


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