fccjxxw.com
非常超级学习网 学习超级帮手
当前位置:首页 >> 数学 >>

2数列(老师版)

第二部分、数列
一:数列的概念 1.数列的一般形式可以写成 a1 , a2 , a3 ,?, an ,?,简记为 ?an ? . 2.数列的分类: (1)按项数分:有穷数列与无穷数列; (2)按项之间的大小关系:递增数列、递减数列、常数列与摆动数列. 3.数列的通项公式: 定义域 解析式 函数 R 或 R 的子集 数列(特殊的函数)

y ? f (x)

N * 或它的子集 an ? f (n)

图象 点的集合 一些离散的点的集合 4.数列的表示方法:列表法、图象法、通项公式法、递推公式法. 5.数列的前 n 项和与通项的公式: ① S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ; ② a n ? ? 二:等差数列 1.等差数列定义: a n ? a n ?1 ? d 2.等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d 3. 等差中项:a, b, c 成等差数列,那么 b 叫做 a 和 c 的等差中项。 2b=a+c 4.等差数列的前 n 项和公式: S n ?

? S1 ( n ? 1) . ? S n ? S n ?1 ( n ? 2)

n(a1 ? a n ) 2

或 S n ? na1 ?

n(n ? 1) d 2

5. 等差数列 {an } 中,若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq 6. 等 差 数 列 {an } 的 公 差 为 d , 则 任 意 连 续 m 项 的 和 构 成 的 数 列 S m 、 S 2 m ? Sm 、

S3m ? S2m 、??仍为等差数列,公差为 m 2 d
7.在等差数列 {an } 中,有关 S n 的最值问题 (1)邻项变号法 ① 当 a1 ? 0 、 d ? 0 时,满足 ? ② 当 a1 ? 0 、 d ? 0 时,满足 ?

? am ? 0 ?a m ?1 ? 0

的项数 m 使得 S m 取最大值. 的项数 m 使得 S m 取最小值.

? am ? 0 ?a m ?1 ? 0

(2)利用 S n ( d ? 0 时, S n 是关于 n 的二次函数)进行配方(注意 n 应取正整数) 8.等差数列的判定方法 (1)定义法: an?1 ? an ? d ( n ? N ? , d 是常数) ? ?an ? 是等差数列; (2)中项法: 2an?1 ? an ? an?2 ( n ? N ? ) ? ?an ? 是等差数列.
重庆专注教育考试服务中心 江北校区:重庆市江北区观音桥步行街嘉年华大厦 12-3(苏宁电器背面)电话:86798788 龙湖校区:重庆渝北区龙湖 MOCO(龙湖国际)17 楼 5-8(水晶郦城旁)电话:88199890 渝北校区:重庆市渝北区两路步行街金易都会七楼 705(米萝咖啡楼上) 电话:67158018 邮箱:focusedu@163.com 网址:www.test-focus.com 1

(3)通项公式法: an ? pn ? q (p,q 为常数) ? ?an ? 是等差数列. (4)前 n 项和公式法: Sn ? An2 ? Bn ( A, B 是常数, A ? 0 ) ? ?an ? 是等差数列. 三:等比数列 1. 等比数列定义: an ? qan?1 2. 等比数列的通项公式: an ? a1q n?1 3. 等比中项: 如果在 a 与 c 中间插入一个数 b, a, b, 成等比数列, b ? ac或b ? ? ac 使 c 则
2

4. 等比数列的前 n 项和公式:当 q ? 1 时, Sn ? na1 (是关于 n 的正比例式);

a ? an q a1 (1 ? q n ) 或 Sn ? 1 1? q 1? q 5.等比数列 {an } 中,若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq
当 q ? 1 时, S n ? 6.等比数列 {an } 的公比为 q ,且 S n ? 0 ,则任意连续 m 项的和构成的数列 S m 、 S 2 m ? Sm 、

S3m ? S2m 、??仍为等比数列,公比为 q m
7.等比数列的判定方法: (1)定义法:

a n ?1 ? q ( n ? N ? , q ? 0 是常数) ? ?an ? 是等比数列; an
2

(2)中项法: an?1 ? an ? an?2 ( n ? N ? )且 an ? 0

? ?an ? 是等比数列.

(3)通项公式法: an ? pqn (p,q 为常数) ? ?an ? 是等比数列. (4)前 n 项和公式法: Sn ? An2 ? Bn ( A, B 是常数, A ? 0 ) ? ?an ? 是等差数列. 四: 典型例题 题型一:求通项公式 1. 利用等差等比定义求通项公式; 例 1.已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? ?20, a1 ? a9 ? ?28 .求数列 ?an ? 的通项公式.

2.通过 S n 求 an ; 例 2.已知下列数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,分别求它们的通项公式 an .
重庆专注教育考试服务中心 江北校区:重庆市江北区观音桥步行街嘉年华大厦 12-3(苏宁电器背面)电话:86798788 龙湖校区:重庆渝北区龙湖 MOCO(龙湖国际)17 楼 5-8(水晶郦城旁)电话:88199890 渝北校区:重庆市渝北区两路步行街金易都会七楼 705(米萝咖啡楼上) 电话:67158018 邮箱:focusedu@163.com 网址:www.test-focus.com 2

⑴ Sn ? 2n 2 ? 3n ; ⑵ Sn ? 3n ? 1. 【解析】⑴当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ? 12 ? 3 ? 1 ? 5 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2n 2 ? 3n) ? 2(n ? 1) 2 ? 3(n ? 1) ? 4n ? 1 . 当 n ? 1 时, 4 ? 1 ? 1 ? 5 ? a1 ,?an ? 4n ? 1 . ⑵当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ? 1 ? 4 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (3n ? 1) ? (3n?1 ? 1) ? 2 ? 3n?1 . 当 n ? 1 时, 2 ? 31?1 ? 2 ? a1 ,? an ? ?

?

?

?4(n ? 1) . n ?1 ?2 ? 3 (n ? 2)

【名师指引】 任何一个数列, 它的前 n 项和 Sn 与通项 an 都存在关系: n ? ? a 若 a1 适合 an ,则把它们统一起来,否则就用分段函数表示. 3.用累加法求 an?1 ? an ? f (n) 型通项;

?S1 (n ? 1) ?S n ? S n?1 (n ? 2)

例 3. 已 知 无 穷 数 列 ?a n ? 的 的 通 项 公 式 是 an ? ? ? , 若 数 列 ?bn ? 满 足 b1 ? 1 ,

?1? ?2?

n

bn ?1 = bn + an (n ? 1) ,求数列 ?bn ? 的通项公式.

练习:已知数列{ an }满足 a1 ? 1, an ? 3 (1)求 a2 ,

n?1

? an?1 (n ? 2) ,

a4 . (2)求证 an ?

3n ? 1 . 2
2 3

(1)解: a1 ? 1, a2 ? 3 ? 1 ? 4, a3 ? 3 ? 4 ? 13, a4 ? 3 ? 13 ? 40.
重庆专注教育考试服务中心 江北校区:重庆市江北区观音桥步行街嘉年华大厦 12-3(苏宁电器背面)电话:86798788 龙湖校区:重庆渝北区龙湖 MOCO(龙湖国际)17 楼 5-8(水晶郦城旁)电话:88199890 渝北校区:重庆市渝北区两路步行街金易都会七楼 705(米萝咖啡楼上) 电话:67158018 邮箱:focusedu@163.com 网址:www.test-focus.com 3

(2)证明:由已知 an ? an?1 ? 3n?1 ,得

an ? an ? an?1 ? (an?1 ? an?2 ) ? (an?2 ? an?3 ) ? ?? (a2 ? a1 ) ? a1
? 3n?1 ? 3n?2 ? 3n?3 ? ? ? 3 ? 1

?

3n ? 1 ; 2

? an ?

3n ? 1 . 2

4.用累乘法求 an ? f (n) ? an?1 型通项 例 4.已知 a1 ? 1 , an ? n(an?1 ? an ) (n ? N * ) ,求数列 ?a n ? 通项公式.

a1 ? 1, an ? n(an?1 ? an ) ?

an ?1 n ? 1 ,使用迭乘法,得 a n ? n. ? an n

5.用构造等比数列求 an ? Aan?1 ? B 型数列通项; 例 5.(1){an}中,a1=2,an+1=3an+2 (2){an}中,a1=2,a2=5,且 an+2-3an+1+2an=0

解 (1)a n+1 = 3a n +2 ? a n+1 +1 = 3(a n +1)
∴{an+1}是等比数列 ∴an+1=3·3n-1 ∴an=3n-1

(2)a n+2 -3a n+1+2a n = 0 ? a n+2 -a n+1 = 2(a n+1-a n )
∴{an+1-an}是等比数列,即 an+1-an=(a2-a1)·2n-1=3·2n-1 a2 - a1=3 , a3 - a2=3 · 21 , a4 - a3=3 · 22 , ? , an - an-1=3 · 2n-2 ,

a n = 3[1+2 +2 +?+2
2

n-2

2 n?1 ? 1 ] = 3· = 3(2 n ?1 -1) 2 ?1

重庆专注教育考试服务中心 江北校区:重庆市江北区观音桥步行街嘉年华大厦 12-3(苏宁电器背面)电话:86798788 龙湖校区:重庆渝北区龙湖 MOCO(龙湖国际)17 楼 5-8(水晶郦城旁)电话:88199890 渝北校区:重庆市渝北区两路步行街金易都会七楼 705(米萝咖啡楼上) 电话:67158018 邮箱:focusedu@163.com 网址:www.test-focus.com 4

练习:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求 ?an ? 的通项公式.

6.取倒数转化为等差数列 将递推数列 an?1 ? 数变换. 例 6.已知数列 ?an ? (n ? N ) 中, a1 ? 1 , an ?1 ?
*

can 1 d 1 1 (c ? 0, d ? 0) ,取倒数变成 ? ? 的形式的方法叫倒 an ?1 c an c an ? d

3an ,求数列 ?an ? 的通项公式. 2an ? 1

练习:数列 ?an ?中, a1 ? 2, an ?1 ?

2a n (n ? N ? ) ,求数列 ?an ?的通项公式. 4 ? an

【解析】? an ?1 ?

2a n 4 ? an 1 2 1 1 1 1 1 ,? ? ? ? ,? ? ? 2( ? ) . a n ?1 2 an 2 4 ? an an ?1 2an an 2

? 1 1? 1 1 ?数列 ? ? ? 是以 2 为公比的等比数列,其首项为 ? ? 1. a1 2 ? an 2 ?
?
1 1 2 ? ? 2 n?1 ? an ? n an 2 2 ?1

7.配凑法构造新数列 例 7.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 3n ,求数列 ?an ? 的通项公式. 【解析】? an?1 ? 3an ? 3n ,?

a n ?1 a a ? nn1 ? 1 ,令 nn ? bn n ? 3 3 3 ?1

重庆专注教育考试服务中心 江北校区:重庆市江北区观音桥步行街嘉年华大厦 12-3(苏宁电器背面)电话:86798788 龙湖校区:重庆渝北区龙湖 MOCO(龙湖国际)17 楼 5-8(水晶郦城旁)电话:88199890 渝北校区:重庆市渝北区两路步行街金易都会七楼 705(米萝咖啡楼上) 电话:67158018 邮箱:focusedu@163.com 网址:www.test-focus.com 5

?数列 ?bn ?是等差数列, bn ? 1 ? 1(n ? 1) ? n ,? an ? n ? 3n?1 .
练习:在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? ) an ? 式. 解: (I)由已知有

1 n

a n ?1 ,设 bn ? n ,求数列 {bn } 的通项公 n 2 n

an ?1 an 1 1 ? ? n ? bn ?1 ? bn ? n n ?1 n 2 2 1 ( n? N* ) n ?1 2

利用累差迭加即可求出数列 {bn } 的通项公式: bn ? 2 ?

题型二:已知数列通项公式 {an } ,求 {an } 的最大(最小)项

?? 0 ? 1.比差法: a n?1 ? a n ? ?? ? ?? 0 ?? 0 ?
例 1.数列 ?an ? 中, an ? 3n 2 ? 28n ? 1 ,求 an 取最小值时 n 的值.

14 ? 193 ? 【解析】 an ? 3n ? 28n ? 1 ? 3? n ? ,? n ? 5 时, an 取最小值. ? ? 3? 3 ?
2

2

?? 1 a n ?1 ? ? ? ?? 1 2.比商法: an ?? 1 ?

( an ? 0 )

例 2.已知数列 {an } 的通项公式为: a n ?

9 n (n ? 1) ,求数列 {an } 的最大项。 10n

例 3.数列 ?an ? 中, a n ? n ? 【解析】?

n 2 ? 2 ,求数列 ?an ? 的最大项和最小项.

an ?1 n ? 1 ? (n ? ) 2 ? 2 n ? n2 ? 2 ? ? ? 1, an n ? n2 ? 2 n ? 1 ? (n ? 1) 2 ? 2
n 2 ? 2 ? 0 ,? an ? an?1 ,数列 ?an ? 是递增数列

又? a n ? n ?

?数列 ?an ? 的最小项为 a1 ? 1 ? 3 ,没有最大项.

重庆专注教育考试服务中心 江北校区:重庆市江北区观音桥步行街嘉年华大厦 12-3(苏宁电器背面)电话:86798788 龙湖校区:重庆渝北区龙湖 MOCO(龙湖国际)17 楼 5-8(水晶郦城旁)电话:88199890 渝北校区:重庆市渝北区两路步行街金易都会七楼 705(米萝咖啡楼上) 电话:67158018 邮箱:focusedu@163.com 网址:www.test-focus.com 6

练习:求 a n ? (4n ? 5)( )

1 2

n ?1

的最大项.

3.利用函数的单调性: an ? f (n) 研究函数 f (n) 的增减性 例 4.已知数列 {an } 的通项公式为: an ?

n ? 2007 n ? 2008

,求数列 {an } 的最大项.

45 项

题型三:证明数列是等差、等比数列 例 1. 已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,bn ?

Sn ( n ? N ? ) .求证: 数列 ?bn ?是等差数列. n 1 【解析】方法 1:设等差数列 ?an ? 的公差为 d , S n ? na1 ? n ( n ? 1)d , 2 S 1 ? bn ? n ? a1 ? ( n ? 1)d n 2 1 1 d ? bn ?1 ? bn ? a1 ? nd ? a1 ? ( n ? 1)d ? (常数) 2 2 2

?数列 ?bn ?是等差数列.
Sn 1 ? a1 ? ( n ? 1)d , n 2 1 1 ? bn ?1 ? a1 ? nd , bn ? 2 ? a1 ? ( n ? 1)d 2 2 1 1 ? bn ? 2 ? bn ? a1 ? ( n ? 1)d ? a1 ? ( n ? 1)d ? 2a1 ? nd ? 2bn ?1 , 2 2
方法 2:? bn ?

?数列 ?bn ?是等差数列.
重庆专注教育考试服务中心 江北校区:重庆市江北区观音桥步行街嘉年华大厦 12-3(苏宁电器背面)电话:86798788 龙湖校区:重庆渝北区龙湖 MOCO(龙湖国际)17 楼 5-8(水晶郦城旁)电话:88199890 渝北校区:重庆市渝北区两路步行街金易都会七楼 705(米萝咖啡楼上) 电话:67158018 邮箱:focusedu@163.com 网址:www.test-focus.com 7

例 2.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). ⑴证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; ⑵求数列 ?an ? 的通项公式; ⑶若数列 ?bn ? 满足 4b1 ?14b2 ?1...4 n
b ?1

? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明 ?bn ? 是等差数列.

【解析】⑴证明:? an?2 ? 3an?1 ? 2an ,

? an?2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an ) ,? a1 ? 1, a2 ? 3 ,?

an ?2 ? an ?1 ? 2(n ? N ? ) an ?1 ? an

??an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
⑵解:由(I)得 an?1 ? an ? 2n (n ? N * ),

?an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1

? 2n?1 ? 2n?2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2n ? 1(n ? N * ).
⑶证明:? 4b1 ?14b2 ?1...4 n
b ?1

? (an ?1)bn , ? 4(b1 ?b2 ?...?bn )?n ? 2nbn ,


?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn ,

2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1. ②
②-①,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn , 即, (n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0. ③

nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0. ④
④-③,得 nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0, 即, bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,

?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ),

??bn ? 是等差数列.

练习 1:在数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 ,且 an?1 ? (1 ? q)an ? qan?1 ( n ? 2, q ? 0 ) . (Ⅰ)设 bn ? an?1 ? an ( n ? N ) ,证明 {bn } 是等比数列;
*

(Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式. 解: (Ⅰ)证明:由题设

an?1 ? (1 ? q)an ? qan?1 ( n ? 2 ) ,得

重庆专注教育考试服务中心 江北校区:重庆市江北区观音桥步行街嘉年华大厦 12-3(苏宁电器背面)电话:86798788 龙湖校区:重庆渝北区龙湖 MOCO(龙湖国际)17 楼 5-8(水晶郦城旁)电话:88199890 渝北校区:重庆市渝北区两路步行街金易都会七楼 705(米萝咖啡楼上) 电话:67158018 邮箱:focusedu@163.com 网址:www.test-focus.com 8

an?1 ? an ? q(an ? an?1 ) ,即 bn ? qbn?1 , n ? 2 .


b1 ? a2 ? a1 ? 1 , q ? 0 ,所以 {bn } 是首项为 1,公比为 q 的等比数列.

(Ⅱ)解法:由(Ⅰ)

a2 ? a1 ? 1 ,
a3 ? a2 ? q ,
??

an ? an?1 ? q2 , n ? 2 ) ( .
将以上各式相加,得

an ? a1 ? 1 ? q ? ?? qn?2 ( n ? 2 ) .
q ? 1, q ? 1.

所以当 n ? 2 时,

? 1 ? q n ?1 , ?1 ? an ? ? 1? q ? n, ?

上式对 n ? 1 显然成立.

练习 2:已知数列 {an } 的首项 a1 ? 等比数列. 【解析】? an ?1 ?

2 2an 1 , an ?1 ? , n ? 1, 2,3, ?.证明:数列 { ? 1} 是 3 an ? 1 an

2an a ?1 1 1 1 1 ,? ? n ? ? ? , an ?1 2an 2 2 an an ? 1

?

2 1 1 1 1 1 ? 1 ? ( ? 1) ,又 a1 ? ,? ? 1 ? , 3 an ?1 2 an a1 2
?

数列 {

1 1 1 ? 1} 是以 为首项, 为公比的等比数列. 2 2 an

练习 3.在数列 {an } 中, a1 ? 1 , 2an ?1 ? (1 ? ) ? an . (Ⅰ)证明数列 {
2

1 n

an } 是等比数列,并 n2

求 {an } 的通项公式. 解: (Ⅰ)由条件得

a an ?1 1 a ? ? n ,又 n ? 1 时, n ? 1 , 2 2 n2 (n ? 1) 2 n

重庆专注教育考试服务中心 江北校区:重庆市江北区观音桥步行街嘉年华大厦 12-3(苏宁电器背面)电话:86798788 龙湖校区:重庆渝北区龙湖 MOCO(龙湖国际)17 楼 5-8(水晶郦城旁)电话:88199890 渝北校区:重庆市渝北区两路步行街金易都会七楼 705(米萝咖啡楼上) 电话:67158018 邮箱:focusedu@163.com 网址:www.test-focus.com 9

故数列 {

an a 1 1 n2 } 构成首项为 1,公式为 的等比数列.从而 n ? n ?1 ,即 an ? n ?1 . n2 2 n2 2 2

题型四:等差、等比数列的性质 例 1.已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, a6 ? 100,则 S11 ? 【解析】⑴ S11 ? .

11( a1 ? a11 ) 11 ? 2a6 ? ? 11a6 ? 1100 ; 2 2
.

例 2.在等差数列 ?an ? 中, a5 ? 120,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? 【解析】 480

a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? 4a5 ? 480.
.

例 3.已知等比数列 ?an ? 中, an ? 0, (2a4 ? a2 ? a6 )a4 ? 36 ,则 a3 ? a5 ? 【解析】? ?an ? 是等比数列, an ? 0

? (2a4 ? a2 ? a6 )a4 ? 36 ? (a3 ? a5 )2 ? 36 ? a3 ? a5 ? 6 .
例 4.已知 Sn 为等比数列 ?an ? 前 n 项和, Sn ? 54 , S 2 n ? 60 ,则 S 3n ? 【解题思路】结合题意考虑利用等比数列前 n 项和的性质求解. 【解析】? ?an ? 是等比数列,? Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n 为等比数列, .

? 54( S 3n ? 60 ) ? 36 ? S 3n ?
题型五:数列的求和

182 . 3

1.分组法:通项虽然不是等差等比数列,但通过拆分可以化为由等差、等比的和的形式, 再分别用公式法求和。
2 n ?1 例 1.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , d ? 2 ,依次抽取这个数列的第1 , 3 , 3 ,??, 3

项,组成数列 ?bn ? ,求数列 ?bn ? 的通项 bn 和前 n 项和 S n .

重庆专注教育考试服务中心 江北校区:重庆市江北区观音桥步行街嘉年华大厦 12-3(苏宁电器背面)电话:86798788 龙湖校区:重庆渝北区龙湖 MOCO(龙湖国际)17 楼 5-8(水晶郦城旁)电话:88199890 渝北校区:重庆市渝北区两路步行街金易都会七楼 705(米萝咖啡楼上) 电话:67158018 邮箱:focusedu@163.com 网址:www.test-focus.com 10

1 1 1 ? 5 ? ? ?[(2n ? 1) ? n ] . 4 8 2 1 1 1 1 解: 1 ? 3 ? 5 ? ? ?[(2n ? 1) ? n ] 2 4 8 2 1 1 1 1 = [1 ? 3 ? 5 ? …… ? (2n ? 1)] + ( ? ? ? …… ? n ) 2 4 8 2 1 1 [1 ? ( ) n ] 2 2 = n2 ? ( 1 )n ? 1 =n ? 2 1 2 1? 2 2.错位相减法: (1)一般地,如果数列 ?an ? 是等差数列, ?bn ?是等比数列且公比为 q ,求 数列 ?an ? bn ?的前 n 项和时,可采用这一思路和方法。具体做法是:乘以常数 q ,然后错位
练习:求和: 1 ? 3 相减,使其转化为等比数列问题求解。 (2)在写出“ Sn ”与“ qSn ”的表达式时,应特别 注意将两式“错项对齐” ,以便于下一步准确写出“ S n ? qSn ”的表达式。 例 2.已知数列 {an } 的各项为正数,其前 n 项和 S n 满足 S n =[ an+1)/2] ( (1)求证:数列 {an } 是等差数列,并求 {an } 得通项公式. (2)设 bn =2 (n ? N ) ,数列 {an ? bn } 的前 n 项和 Tn ,求 Tn .
n 2

1 2

?

练习 1:若数列 ?an ?的通项 an ? (2n ? 1) ? 3n ,求此数列的前 n 项和 Sn . 【解题思路】利用等比数列前 n 项和公式的推导方法求和,一般可解决形如一个等差数列与 一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题. 【解析】? Sn ? 1 ? 3 ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n , ① ②

? 3Sn ? 1 ? 32 ? 3 ? 33 ? 5 ? 34 ? ? ? (2n ? 1) ? 3n?1
①-②,得

重庆专注教育考试服务中心 江北校区:重庆市江北区观音桥步行街嘉年华大厦 12-3(苏宁电器背面)电话:86798788 龙湖校区:重庆渝北区龙湖 MOCO(龙湖国际)17 楼 5-8(水晶郦城旁)电话:88199890 渝北校区:重庆市渝北区两路步行街金易都会七楼 705(米萝咖啡楼上) 电话:67158018 邮箱:focusedu@163.com 网址:www.test-focus.com 11

? 2Sn ? 1 ? 3 ? 2 ? 32 ? 2 ? 33 ? 2 ? 34 ? ? ? 2 ? 3n ? (2n ? 1) ? 3n?1
? 1 ? 3 ? 2(32 ? 33 ? 34 ? ? ? 3n ) ? (2n ? 1) ? 3n?1 ? (2 ? 2n) ? 3n?1 ? 6 .
? Sn ? (n ? 1) ? 3n?1 ? 3 .
练习 2.在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? ) an ? (I)设 bn ?

1 n

n ?1 2n

an ,求数列 {bn } 的通项公式(II)求数列 {an } 的前 n 项和 Sn . n a a 1 1 解: (I)由已知有 n ?1 ? n ? n ? bn ?1 ? bn ? n n ?1 n 2 2 1 利用累差迭加即可求出数列 {bn } 的通项公式: bn ? 2 ? n ?1 ( n ? N * ) 2
(II)由(I)知 an ? 2n ?
n n n n n n k k ,? Sn = ? (2k ? k ?1 ) ? ? (2k ) ? ? k ?1 n ?1 2 2 k ?1 k ?1 k ?1 2



? (2k ) ? n(n ? 1) ,又 ? 2
k ?1 k ?1

k
k ?1

是一个典型的错位相减法模型,

易得

?2
k ?1

n

k
k ?1

? 4?

n?2 n?2 ? Sn = n(n ? 1) ? n ?1 ? 4 n ?1 2 2

3.裂项相消法:将数列的通项裂成两项之差求和时,正负相消,剩下首尾若干若。 常见裂项有:

1 1 1 1 1 1 ? ( ? )、 ? ( n ? k ? n) n( n ? k ) k n n ? k n?k ? n k
1 a n ?1 ? a n
,求数列的 {bn } 前 n 和 Tn .

例 3.在等差数列 {an } 中 a1 ? 2 、 a3 ? 8 ,若 bn ?

练习:求和:

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 (n ? 2) . 2 ?1 3 ?1 4 ?1 n ?1
2

解:?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) n ? 1 (n ? 1)(n ? 1) 2 n ? 1 n ? 1
2

重庆专注教育考试服务中心 江北校区:重庆市江北区观音桥步行街嘉年华大厦 12-3(苏宁电器背面)电话:86798788 龙湖校区:重庆渝北区龙湖 MOCO(龙湖国际)17 楼 5-8(水晶郦城旁)电话:88199890 渝北校区:重庆市渝北区两路步行街金易都会七楼 705(米萝咖啡楼上) 电话:67158018 邮箱:focusedu@163.com 网址:www.test-focus.com 12

?

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 2 ?1 3 ?1 4 ?1 n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1
2

?

1 1 1 1 3 2n ? 1 (1 ? ? ? )? ? .(n ? 2) 2 2 n n ? 1 4 2n(n ? 1)

4.倒序相加法:利用等差数列前 n 项和公式的推导方法求解,将数列正着写,倒着写再相 加。 例 4. {an } 中,已知 a n ?

cos n? ,求 S 60 的值. cos(n? ? 30?)

练习:设 f ( x) ?

1 ,求 f (?5) ? f (?4) ? …… ? f (0) ? …… ? f (5) ? f (6) 的值. 2 ? 2
x

解:设 S12 ? f (?5) ? f (?4) ? ……? f (0) ? ……? f (5) ? f (6) 则 S12 ? f (6) ? f (5) ? ……? f (1) ? ……? f (?4) ? f (?5) 易证明 f (?t ) ? f (t ? 1) ? f (0) ? f (1)

(1) (2)

(1)+(2)得 2S12 ? 12[ f (0) ? f (1)] ? 12[( 2 ? 1) ? (1 ?

2 )] ? 6 2 2

得 S12 ? 3 2 ,即 f (?5) ? f (?4) ? ……? f (0) ? ……? f (5) ? f (6) ? 3 2 5.有关含绝对值的求和问题: 例 5.在等差数列 {an } 中 a1 ? ?20 、 d ? 2 , (1)求数列 {an } 前 n 和 S n ; (2)求数列 {| a n | }前 n 和 Tn .

题型六:数列与函数、方程、不等式的综合问题 例 1.已知定义在正整数集上的函数 f (x) 满足条件: f (1) ? 2 , f (2) ? ?2 ,
重庆专注教育考试服务中心 江北校区:重庆市江北区观音桥步行街嘉年华大厦 12-3(苏宁电器背面)电话:86798788 龙湖校区:重庆渝北区龙湖 MOCO(龙湖国际)17 楼 5-8(水晶郦城旁)电话:88199890 渝北校区:重庆市渝北区两路步行街金易都会七楼 705(米萝咖啡楼上) 电话:67158018 邮箱:focusedu@163.com 网址:www.test-focus.com 13

f (n ? 2) ? f (n ? 1) ? f (n) ,则 f (2009) 的值为(
A.-2 B. 2 C.4

) D.-4

【解析】B.利用数列的周期性,周期为 4, f (2009 ? f (505? 4 ? 1) ? f (1) ? 2. ) 例 2.数列 ?an ? 中, an?2 ? an?1 ? an , a1 ? 2, a2 ? 5 ,则 a2009 的值是( A. ? 2 B. 2 C. ? 5 D. 5 )

【解析】C.利用数列的周期性,除前 4 项后,周期为 6,? a2009 ? a4?338?6?1 ? a5 ? ?5.

4x 1 2 .则 ① f ( )? f ( ) ? 例 3.已知函数 f ( x ) ? x 3 3 2?4
② f(



1 2 2008 )? f( ) ??? f ( )? 2009 2009 2009

.

分析:①可以直接代入计算,也可以整体处理;②寻找规律,整体处理. 解析:? f ( x ) ?

4x ,经计算,得 f ( x ) ? f (1 ? x ) ? 1, 2 ? 4x

1 2 2008 )? f( ) ??? f ( ) ? 1004 ? 1 ? 1004 . 2009 2009 2009 1 n ?1 例 4.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ? an ? ( ) ? 2 (n 为正整数). 2

? f(

(Ⅰ)令 bn ? 2n an ,求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 cn ?

n ?1 5n an , Tn ? c1 ? c2 ? ........ ? cn 试比较 Tn 与 的大小,并予以证明. n 2n ? 1
1 2
n ?1

解: (I)在 S n ? ? an ? ( )

? 2 中,令 n=1,可得 S1 ? ?an ?1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ?
n?2

1 2

当 n ? 2 时, S n ?1 ? ? an ?1 ? ( )

1 2

1 ? 2, an ? S n ? S n ?1 ? ? an ? an ?1 ? ( ) n ?1 , ? 2

1 ? 2a n ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 即2n an ? 2n ?1 an ?1 ? 1 . 2

?bn ? 2n an ,?bn ? bn?1 ?1,即当n ? 2时,bn ? bn?1 ? 1 .
又 b1 ? 2a1 ? 1,?数列 bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 bn ? 1 ? ( n ? 1) ?1 ? n ? 2 an ,? an ?
n

.

?

n . 2n

(II)由(I)得 cn ?

n ?1 1 an ? (n ? 1)( ) n ,所以 n 2

重庆专注教育考试服务中心 江北校区:重庆市江北区观音桥步行街嘉年华大厦 12-3(苏宁电器背面)电话:86798788 龙湖校区:重庆渝北区龙湖 MOCO(龙湖国际)17 楼 5-8(水晶郦城旁)电话:88199890 渝北校区:重庆市渝北区两路步行街金易都会七楼 705(米萝咖啡楼上) 电话:67158018 邮箱:focusedu@163.com 网址:www.test-focus.com 14

1 1 1 1 Tn ? 2 ? ? 3 ? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? K ? ( n ? 1)( ) n 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 Tn ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? K ? (n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 由①-②得 Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? K ? ( ) ? ( n ? 1)( ) 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 2 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 1 2 2 2 1? 2 n?3 ?Tn ? 3 ? n 2

Tn ?

5n n?3 5n (n ? 3)(2n ? 2n ? 1) ? 3? n ? ? 2n ? 1 2 2n ? 1 2n (2n ? 1)
5n n 的大小关系等价于比较 2 与2n ? 1 的大小 2n ? 1
2 3 4 5

于是确定 Tn与

由 2 ? 2 ?1 ? 1;2 ? 2 ? 2 ? 1;2 ? 2 ? 3 ? 1;2 ? 2 ? 4 ? 1;2 ? 2 ? 5;K

2 可猜想当 n ? 3时, ? 2n ? 1. 证明如下:
n

证法 1: (1)当 n=3 时,由上验算显示成立。 (2) 假设 n ? k ? 1 时 2
k ?1

? 2g2k ? 2(2k ? 1) ? 4k ? 2 ? 2(k ? 1) ? 1 ? (2k ?1) ? 2(k ? 1) ? 1

所以当 n ? k ? 1 时猜想也成立 综合(1) (2)可知 ,对一切 n ? 3 的正整数,都有 2 ? 2n ? 1.
n

证法 2:当 n ? 3 时
0 1 2 n n 0 1 n n 2n ? (1 ?1)n ? Cn ? Cn ? Cn ? K ? Cn ?1 ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ?1 ? Cn ? 2n ? 2 ? 2n ?1

综上所述,当 n ? 1, 2时 Tn ?

例 5.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , a2 ? 5 ,其前 n 项和 Sn 满足 Sn ? Sn?2 ? 2Sn?1 ? 2n?1 ? n ≥ 3? . 令 bn ?

5n 5n ,当 n ? 3 时 Tn ? 2n ? 1 2n ? 1

1 . an ? an ?1

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

1 ( n ≥ 1 ). 6 解: (Ⅰ)由题意知 Sn ? Sn?1 ? Sn?1 ? Sn?2 ? 2n?1 ? n ≥ 3? 即 an ? an?1 ? 2n?1 ? n ≥ 3?
(Ⅱ)若 f ? x ? ? 2x ?1 ,求证: Tn ? b1 f ?1? ? b2 f ? 2? ? ? ? bn f ? n ? ? ∴ an ? ? an ? an?1 ? ? ? an?1 ? an?2 ? ? ? ? ? a3 ? a2 ? ? a2

? 2n?1 ? 2n?2 ? ? ? 22 ? 5 ? 2n?1 ? 2n?2 ? ? ? 22 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2n ? 1? n ≥ 3?
重庆专注教育考试服务中心 江北校区:重庆市江北区观音桥步行街嘉年华大厦 12-3(苏宁电器背面)电话:86798788 龙湖校区:重庆渝北区龙湖 MOCO(龙湖国际)17 楼 5-8(水晶郦城旁)电话:88199890 渝北校区:重庆市渝北区两路步行街金易都会七楼 705(米萝咖啡楼上) 电话:67158018 邮箱:focusedu@163.com 网址:www.test-focus.com 15

检验知 n ? 1 、 2 时,结论也成立,故 an ? 2n ? 1 . (Ⅱ)由于 bn f ? n ? ?
n ?1 n 1 1 ? 2 ? 1? ? ? 2 ? 1? 1 ? 1 1 ? ? 2n ?1 ? ? ? ? n ? n ?1 ?故 n n ?1 n n ?1 2 ? 2 ? 1?? 2 ? 1? 2 ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ? 1?? 2 ? 1?

1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 Tn ? b1 f ?1? ? b2 f ? 2 ? ? ? ? bn f ? n ? ? ?? ? ?? ? ??? ? n ? n ?1 ? ? 2 ? 2 3 ? 2 ?? 1 ? 2 1 ? 2 ? ? 1 ? 2 1 ? 2 ? ? 2 ? 1 2 ? 1 ??
1? 1 1 ? 1 1 1 ? ? ? n?1 ? . ?? ? 2 ?1? 2 2 ?1? 2 1? 2 6
2 2 例 6.已知各项均为正数的数列{ an }满足 an?1 ? an?1an ? 2an ? 0 ( n ? N ) ,且 a3 ? 2 是
?

a2 , a4 的 等 差 中 项 . ( Ⅰ ) 求 数 列 { an } 的 通 项 公 式 an ;( Ⅱ ) 若

bn = an log1 an , S n ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ,求使 S n ?n ? 2n?1 >50 成立的正整数 n 的最小值.
2 2 解: (Ⅰ)∵ an?1 ? an?1an ? 2an ? 0 ,∴ (an?1 ? an )(an?1 ? 2an ) ? 0 ,

2

∵数列{ an }的各项均为正数,∴ an?1 ? an ? 0 ,∴ an?1 ? 2an ? 0 , 即 an?1 ? 2an ( n ? N ) ,所以数列{ an }是以 2 为公比的等比数列. ∵ a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项,∴ a2 ? a4 ? 2a3 ? 4 , ∴ 2a1 ? 8a1 ? 8a1 ? 4 ,∴ a1 ? 2 ,∴数列{ an }的通项公式 an ? 2n . (Ⅱ)由(Ⅰ)及 bn = an log 1 an 得, bn ? ?n ? 2n , ∵ Sn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ,∴ Sn ? ?2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 ???? ? n ? 2n
2
?

1 ○

∴ 2Sn ? ?22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? 4 ? 25 ???? ? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 1 ②-○得, Sn ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ? 25 ???? ? 2n ? n ? 2n?1 =



2(1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 ? (1 ? n) ? 2n?1 ? 2 1? 2
n+1 n+1

要使 S n ?n ? 2n?1 >50 成立,只需 2 -2>50 成立,即 2 >52,n?5 ∴使 S n ?n ? 2n?1 >50 成立的正整数 n 的最小值为 5. 例 7. 已知数列 {an } 的首项 a1 ?

3 3an , ? (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; ,an ?1 ? ,n ? 1 2, . 5 2an ? 1

(Ⅱ)证明:对任意的 x ? 0 , an ≥

1 1 ?2 ? 2, ? ? x ? , n ? 1, ? . 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

解: (Ⅰ)? an ?1 ?

? 1 1? 1 3an 1 2 1 ? 1 ? ? ? 1? , ? ? ,? ,? an ?1 3 ? an 2an ? 1 an?1 3 3a n ?



? 1 ? 2 1 1 2 ? 1 ? ,? ? ? 1 ? 是以 为首项, 为公比的等比数列. 3 3 an 3 ? an ?
重庆专注教育考试服务中心 江北校区:重庆市江北区观音桥步行街嘉年华大厦 12-3(苏宁电器背面)电话:86798788 龙湖校区:重庆渝北区龙湖 MOCO(龙湖国际)17 楼 5-8(水晶郦城旁)电话:88199890 渝北校区:重庆市渝北区两路步行街金易都会七楼 705(米萝咖啡楼上) 电话:67158018 邮箱:focusedu@163.com 网址:www.test-focus.com 16

?

3n 1 2 1 2 . ? 1 ? ? n?1 ? n ,? an ? n 3 ?2 an 3 3 3 3n ? 0, 3n ? 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ?

1 1 ?2 1 1 ?2 1 1 ? ? ? ? x? ? ? ? 1 ?1 ? x ? ? ? 2 ? n 2 ? n 2 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? 1 ? x (1 ? x) ? 1 ? x (1 ? x) ? 3

?1 ? ? ? (1 ? x) ? ? an ?

1 1 2 1? 1 ? ?? ? ? ?? ? ? an ? ? an ≤ an ,? 原不等式成立. 2 an (1 ? x) 1 ? x an ? 1 ? x ?
例 8. 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 { an } 的 前 n 项 和 满 足 S n ? 1 , 且

2

6S n ? (an ? 1)(an ? 2), n ? N *
(1)求{ an }的通项公式; (2)设数列{ bn }满足 an (2
* bn

? 1) ? 1 ,并记 Tn 为{ bn }的前 n 项

和,求证: 3Tn ? 1 ? log2 (an ? 3), n ? N . 1 解: (Ⅰ)由 a1 ? S1 ? (a1 ? 1)(a1 ? 2) ,解得 a1=1 或 a1=2,由假设 a1=S1>1, 6 1 1 因此 a1=2。又由 an+1=Sn+1- Sn= (a n?1 ? 1)(a n?1 ? 2) ? (a n ? 1)(a n ? 2) , 6 6 得 an+1- an-3=0 或 an+1=-an 因 an>0,故 an+1=-an 不成立,舍去。 因此 an+1- an-3=0。从而{an}是公差为 3,首项为 2 的等差数列, 故{an}的通项为 an=3n-2。 (Ⅱ)由 a n (2 b ? 1) ? 1 可解得 b2 ? log2 ?1 ? ?

? ?

1 an

? 3n ? ? log2 ; ? 3n ? 1 ?

从而 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? log2 ? · · · ?

?3 6 ?2 5

3n ? ?。 3n ? 1 ?
3

3n ? 2 ?3 6 因此 3Tn ? 1 ? log2 (an ? 3) ? log2 ? · · · 。 ? ? · ? 2 5 3n ? 1 ? 3n ? 2
f (n ? 1) 3n ? 2 ? 3n ? 3 ? (3n ? 3) 3 3n ? 2 ?3 6 令 f ( x) ? ? · ·?· ,则 。 ? ·? ? · ? ? 3n ? 1 ? 3n ? 2 f (n) 3n ? 5 ? 3n ? 2 ? (3n ? 5)(3n ? 2) 2 ?2 5
因 (3n ? 3) 2 ? (3n ? 5)(3n ? 2) 2 ? 9n ? 7> ,故 f (n ? 1)>f (n) . 0 特别的 f (n) ? f (1) ? 例 9. 已知点(1,
3

3

27 >o 即 >。 1 从而 3Tn ? 1 ? log(a n ? 3) ? log f (n)>0 , 3Tn ? 1 lg 20

2 (a n

? 3) 。

1 x )是函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)的图像上一点.等比数列{an}的前 n 项和 3
(n≥2).

为 f(n)-c,数列{bn}(bn>0)的首项为 c,且前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-1= (1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

重庆专注教育考试服务中心 江北校区:重庆市江北区观音桥步行街嘉年华大厦 12-3(苏宁电器背面)电话:86798788 龙湖校区:重庆渝北区龙湖 MOCO(龙湖国际)17 楼 5-8(水晶郦城旁)电话:88199890 渝北校区:重庆市渝北区两路步行街金易都会七楼 705(米萝咖啡楼上) 电话:67158018 邮箱:focusedu@163.com 网址:www.test-focus.com 17

(2)若数列{

}的前 n 项和为 Tn,问满足
x

的最小正整数 n 是多少?

?1? 1 Q f ?1? ? a ? ? f ? x ? ? ? ? 3, ? 3? 解: (1)

1 2 a1 ? f ?1? ? c ? ? c a ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? f ?1? ? c ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 9, , 2 a3 ? ? f ? 3? ? c ? ? ? f ? 2 ? ? c ? ? ? ? ? ? ? 27

.

4 a 2 1 a1 ? ? 81 ? ? ? ? c a3 ? 2 3 3 ?an ? 成等比数列, 27 又数列 ,所以 c ? 1 ;
2 2

q?
又公比

a2 1 2?1? ? an ? ? ? ? a1 3 ,所以 3? 3?

n ?1

?1? ? ?2 ? ? ? 3?

n

n? N*



Q Sn ? Sn?1 ?


?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn?1 ? Sn ? Sn?1

?

? n ? 2?

bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn?1 ? 1;

数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n



Sn ? n 2

当n ? 2,

bn ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? ? n ? 1? ? 2n ? 1
2



?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );
( 2 )

Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? (2n ? 1) ? ? 2n ? 1? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7
1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? 2? 3? 2?3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

1? 1 ? n ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1 ;
Tn ? n 1000 1000 1000 ? n? Tn ? 2n ? 1 2009 得 9 ,满足 2009 的最小正整数为 112.



重庆专注教育考试服务中心 江北校区:重庆市江北区观音桥步行街嘉年华大厦 12-3(苏宁电器背面)电话:86798788 龙湖校区:重庆渝北区龙湖 MOCO(龙湖国际)17 楼 5-8(水晶郦城旁)电话:88199890 渝北校区:重庆市渝北区两路步行街金易都会七楼 705(米萝咖啡楼上) 电话:67158018 邮箱:focusedu@163.com 网址:www.test-focus.com 18

例 10.已知递增等比数列 {an } 满足 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项 (1)求 {an } 的通项公式 an ; (2)若 bn ? an log 1 an , Sn ? b1 ? b2 ? ?? bn ,求 Sn ? n ? 2n?1 ? 30成立的 n 的最小值.
2

?a2 (1 ? q ? q 2 ) ? 28 ?a2 ? a2 q ? a2 q 2 ? 28 ? 解: (1)设等比数列的公比为 q ,则 ? ,即 ? ?a2 ( q 2 ? 2q ? 1) ? 4 ? 2 ( a3 ? 2 ) ? a 2 ? a 4 ?
得 2q 2 ? 5q ? 2 ? 0 ,故 q ?

1 (舍去)或 q ? 2 ,这时 a2 ? 4 ,则 an ? a2 q n?2 ? 2n 2
2
n ?1

(2) bn ? an log1 an ? 2n log1 2n ? ?n ? 2n ,? Sn ? ?(n ?1) ? 2n?1 ? 2
2

若 Sn ? n ? 2n?1 ? 30,即 2

? 32 , n ? 4 ,则 n 的最小值为 5。
2

例 11.已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点( an , an ?1 ) n ? N*)在函数 y=x +1 的图 ( 象上. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若列数{bn}满足 b1=1,bn+1=bn+ 2 n ,求证:bn ·bn+2<b n+1. 解: (Ⅰ)由已知得 an+1=an+1、即 an+1-an=1,又 a1=1,所以数列{an}是以 1 为首项,公差为 1 的等差数列. 故 an=1+(n-1)×1=n. n (Ⅱ)由(Ⅰ)知:an=n 从而 bn+1-bn=2 . bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+··+(b2-b1)+b1 · =2 +2 +··+2+1= ·
n-1 n-2

a

2

1 ? 2n n =2 -1. 1? 2
n n+2 n-1
2

因为 bn·bn+2-b 2?1 =(2 -1)(2 -1)-(2 -1) n =(2 -2 -2 +1)-(2 n n =-5·2 +4·2 =-2 <0,
n
2n+2

n+2

n

2n+2

-2-2 -1)

n+1

所以 bn·bn+2<b 2?1 , n

例 12. 已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, S n ?

1 2 11 n ? n ;数列 ?bn ?满足: b3 ? 11, 2 2

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ,其前 9 项和为 153 .
⑴求数列 ?an ? 、 ?bn ?的通项公式; ⑵设 Tn 为数列 ?cn ?的前 n 项和, cn ?

k 6 ,求使不等式 Tn ? 对 57 (2an ? 11)(2bn ? 1)

重庆专注教育考试服务中心 江北校区:重庆市江北区观音桥步行街嘉年华大厦 12-3(苏宁电器背面)电话:86798788 龙湖校区:重庆渝北区龙湖 MOCO(龙湖国际)17 楼 5-8(水晶郦城旁)电话:88199890 渝北校区:重庆市渝北区两路步行街金易都会七楼 705(米萝咖啡楼上) 电话:67158018 邮箱:focusedu@163.com 网址:www.test-focus.com 19

?n ? N ? 都成立的最大正整数 k 的值.
【解题思路】⑴利用 an 与 Sn 的关系式及等差数列的通项公式可求;⑵求出 Tn 后,判 断 Tn 的单调性. 【解析】⑴? S n ?

1 2 11 n ? n, 2 2

?当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 6 ;
当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ?

1 2 11 1 11 n ? n ? ( n ? 1) 2 ? ( n ? 1) ? n ? 5 2 2 2 2

当 n ? 1 时, 1 ? 5 ? 6 ? a1 ,? an ? n ? 5 ;

? bn ? 2 ? 2bn ?1 ? bn ? bn ?1 ?
则?

bn ? bn ? 2 ,? ?bn ?是等差数列,设其公差为 d . 2

?b1 ? 2d ? 11 ? b1 ? 5, d ? 3 , ?9b1 ? 36d ? 153

? bn ? 5 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 .
⑵ ? cn ?

6 6 ? (2an ? 11)(2bn ? 1) ?2(n ? 5) ? 11??2(3n ? 2) ? 1?

?

2 1 1 ? ? (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? 1? ? Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

? n ? N ? ,? Tn 是单调递增数列.
?当 n ? 1 时, ?Tn ?min ? T1 ? 1 ? ? Tn ?
1 2 ? 3 3

k k 2 k ? ? ? k ? 38 对 ?n ? N ? 都成立 ? ?Tn ?min ? 57 57 3 57

?所求最大正整数 k 的值为 37 .
【名师指引】本题综合考察等差数列、通项求法、数列求和、不等式等知识,利用了函 数、方程思想,这是历年高考的重点内容. 例 13.已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? 3 , Sn Sn?1 ? 2an (n ? 2) . ⑴求数列 ?an ? 的通项公式;

重庆专注教育考试服务中心 江北校区:重庆市江北区观音桥步行街嘉年华大厦 12-3(苏宁电器背面)电话:86798788 龙湖校区:重庆渝北区龙湖 MOCO(龙湖国际)17 楼 5-8(水晶郦城旁)电话:88199890 渝北校区:重庆市渝北区两路步行街金易都会七楼 705(米萝咖啡楼上) 电话:67158018 邮箱:focusedu@163.com 网址:www.test-focus.com 20

⑵数列 ?an ? 中是否存在正整数 k ,使得不等式 ak ? ak ?1 对任意不小于 k 的正整数都成立? 若存在,求最小的正整数 k ,若不存在,说明理由. 【解析】⑴当 n ? 2 时, Sn Sn?1 ? 2an ? Sn Sn?1 ? 2( Sn ? Sn?1 )

?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ,且 ? ,? ?an ? 是以 ? 为公差的等差数列,其首项为 . 3 2 S n S n ?1 2 S1 3

?

1 1 1 5 ? 3n 6 ? ? (n ? 1) ? ? Sn ? S n S1 2 6 5 ? 3n

?当 n ? 2 时, an ?

1 18 S n S n ?1 ? 2 (3n ? 8)(3n ? 5)

?3( n ? 1) 18 18 ? 18 当 n ? 1 时, ? ? a1 ,? ? ( n ? 2) ; (3 ? 8)(3 ? 5) 10 ? (3n ? 8)(3n ? 5) ?
⑵ ak ? ak ?1 ?

18 2 5 8 ? 0 ,得 ? k ? 或 k ? , 3 3 3 (3k ? 8)(3k ? 5)(3k ? 2)

?当 k ? 3 时, ak ? ak ?1 恒成立,所求最小的正整数 k ? 3.

重庆专注教育考试服务中心 江北校区:重庆市江北区观音桥步行街嘉年华大厦 12-3(苏宁电器背面)电话:86798788 龙湖校区:重庆渝北区龙湖 MOCO(龙湖国际)17 楼 5-8(水晶郦城旁)电话:88199890 渝北校区:重庆市渝北区两路步行街金易都会七楼 705(米萝咖啡楼上) 电话:67158018 邮箱:focusedu@163.com 网址:www.test-focus.com 21


更多相关文章:

非常超级学习网 fccjxxw.com

copyright ©right 2010-2021。
非常超级学习网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图