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高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 . 抛物线练习 理-课件


第八章 平面解析几何 8.7 抛物线练习 理
[A 组·基础达标练] 1.[2016·皖北联考]若抛物线 y =mx 的焦点是双曲线 x - =1 的一个焦点,则正数 m 3 等于( A.1 C.4 答案 D 解析 易求得双曲线 x - =1 的焦点坐标为(2,0),(-2,0),因为 m>0,所以 =2,m 3 4 =8,故选 D. 2.[2016·河南模拟]抛物线 y=4x 的焦点到准线的距离是( A.2 C. 1 8 B.4 D. 1 4
2 2 2 2

y2

) B.2 D.8

y2

m

)

答案 C 1 1 p 2 2 解析 由抛物线的方程 y=4x 可化为 x = y,知 p= ,所以焦点到准线的距离 d= - 4 8 2

?-p?=p=1. ? 2? 8 ? ?
3.[2016·石家庄调研]若抛物线 y =2px(p>0)上一点 P(2,y0)到其准线的距离为 4,则 抛物线的标准方程为( A.y =4x C.y =8x 答案 C 解析 抛物线 y =2px,准线为 x=- ,点 P(2,y0)到其准线的距离为 4.有?- -2?= 2 ? 2 ?
2 2 2 2

) B.y =6x D.y =10x
2 2

p

? p

?

4,p=4,抛物线的标准方程为 y =8x. 4. [2016·德州模拟]已知双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的两条渐近线与抛物线 y =2px(p>0) 分别交于 O,A,B 三点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,△AOB 的面积为 3,则 p =( ) 3 A.1 B. 2 C.2 答案 B 解析 双曲线的渐近线方程为 y=± x, 因为双曲线的离心率为 2, D.3

2

x2 y2 a b

2

b a

1

所以 由?

1+ 2=2, = 3.

b2 a

b a

?y= 3x, ?y2=2px,
? ?x=0, ?y=0 ?

解得?

2p x= , ? ? 3 或? 2 3p ? ?y= 3 .

1 2 3p 2p 由曲线的对称性及△ABC 的面积得,2× × × = 3, 2 3 3 3 9 3? ? 2 解得 p = ,p= ?p=- 舍去?.故选 B. 2 4 2? ? 5.[2015·郑州一模]已知抛物线 y =2px(p>0),过其焦点且斜率为-1 的直线交抛物线 于 A,B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为-2,则该抛物线的准线方程为( A.x=1 C.x=-1 答案 C 解析 由题意可设直线方程为 y=-?x- ?, ? 2? 设 A(x1,y1),B(x2,y2), B.x=2 D.x=-2 )
2

?

p?

p? ? ?y=-? ?x-2?, ? ? 联立方程? 2 ? ?y =2px,
整理得 y +2py-p =0, ∴y1+y2=-2p. ∵线段 AB 的中点的纵坐标为-2, ∴ -2p =-2.∴p=2. 2
2 2 2

∴抛物线的准线方程为 x=-1. 6.[2016·江西上饶模拟]过抛物线 x =4y 的焦点 F 作直线 AB,CD 与抛物线交于 A,B, → A.-4 C.4 答案 B → → → → → → 解析 依题意可得,FA·FB=-(|FA|·|FB|). 又因为|FA|=yA+1,|FB|=yB+1, → → → ) B.-16 D.-8

C,D 四点,且 AB⊥CD,则FA·FB+FC·FD的最大值等于(

2





所以FA·FB=-(yAyB+yA+yB+1). 设直线 AB 的方程为 y=kx+1(k≠0), 联立 x =4y,可得 x -4kx-4=0, 所以 xA+xB=4k,xAxB=-4. 所以 yAyB=1,yA+yB=4k +2. → → →
2 2 2 2

所以FA·FB=-(4k +4).

?4 ? 同理|FC|·|FD|=-? 2+4?. ?k ? ? 2 4 ? 所以FA·FB+FC·FD=-?4k + 2+8?≤-16. ?
k
→ → → →



?

当且仅当 k=±1 时等号成立. 7.若抛物线 y =2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),则 p=________,准线方程为________. 答案 2
2

x=-1 p

解析 根据抛物线定义可得 =1,则 p=2,准线方程为 x=-1. 2 8.[2015·福州模拟]已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点与抛物线 y =4 10x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于 答案 10 ,则该双曲线的方程为________. 3

x2 y2 a b

2

x2
9

-y =1
2

2

解析 抛物线 y =4 10x 的焦点为( 10,0),e= 所以该双曲线的标准方程为 -y =1. 9

10

a



10 ,a=3,b=1. 3

x

2 2

9. [2014·湖南高考]平面上一机器人在行进中始终保持点 F(1,0)的距离和到直线 x=- 1 的距离相等.若机器人接触不到过点 P(-1,0)且斜率为 k 的直线,则 k 的取值范围是 ________. 答案 (-∞,-1)∪(1,+∞) 解析 由题意可知机器人行进的轨迹为一抛物线, 其轨迹方程为 y =4x, 过点 P(-1,0)且斜率为 k 的直线方程为 y=k(x+1), 由题意知直线与抛物线无交点, 联立消去 y 得 k x +(2k -4)x+k =0, 则 Δ =(2k -4) -4k <0, 所以 k >1,得 k>1 或 k<-1. 10.顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线截直线 y=2x-4 所得的弦长|AB|=3 5,求此 抛物线方程.
3
2 2 2 4 2 2 2 2 2


2

设所求的抛物线方程为 y =ax(a≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),把直线 y=2x-4 代
2

2

入 y =ax, 得 4x -(a+16)x+16=0, 由 Δ =(a+16) -256>0,得 a>0 或 a<-32. 又 x1+x2=
2

a+16
4

,x1x2=4,
2 2

∴|AB|= ?1+2 ?[?x1+x2? -4x1x2] = 5??

??a+16?2-16? ? ? ?? 4 ? ?

=3 5, ∴5??

??a+16?2-16?=45, ? ? ?? 4 ? ?
2 2

∴a=4 或 a=-36. 故所求的抛物线方程为 y =4x 或 y =-36x. [B 组·能力提升练] 1.[2014·四川高考]已知 F 为抛物线 y =x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴 → A.2 C. 17 2 8 → ) B.3 D. 10 的两侧,OA·OB=2(其中 O 为坐标原点),则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是(
2

答案 B 解析 设点 A(x1,y1),B(x2,y2)(不妨假设 y1>0,y2<0),直线 AB 的方程为 x=ty+m, 且直线 AB 与 x 轴的交点为 M(m,0).由? =-m. → → 又OA·OB=2,所以 x1x2+y1y2=2,(y1y2) +y1y2-2=0,因为点 A,B 在抛物线上且位于
2

?x=ty+m, ? ?y =x ?
2

消去 x,得 y -ty-m=0,所以 y1y2

2

x 轴的两侧,所以 y1y2=-2,故 m=2.
1 1 1 9 2 ?1 ? 又 F? ,0?,于是 S△ABO+S△AFO= ×2×(y1-y2)+ × ×y1= y1+ ≥2 2 2 4 8 y1 ?4 ? 9 2 y1× =3,当 8 y1

9 2 4 且仅当 y1= ,即 y1= 时取“=”,所以△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是 3.故选 B. 8 y1 3

4

2.[2015·浙江高考]如图,设抛物线 y =4x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个 不同的点 A, B, C, 其中 A, B 在抛物线上, 点 C 在 y 轴上, 则△BCF 与△ACF 的面积之比是( A. C. |BF|-1 |AF|-1 |BF|+1 |AF|+1 B. D. |BF| -1 2 |AF| -1 |BF| +1 2 |AF| +1
2 2

2

)

答案 A 解析 由题可知抛物线的准线方程为 x=-1.过 A 作 AA2⊥y 轴于点 A2, 过 B 作 BB2⊥y 轴 于点 B2,则

S△BCF |BC| |BB2| |BF|-1 = = = . S△ACF |AC| |AA2| |AF|-1 x2 y2 a b

3.[2015·山东高考]平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近 线与抛物线 C2:x =2py(p>0)交于点 O,A,B.若△OAB 的垂心为 C2 的焦点,则 C1 的离心率为 ________. 答案 3 2
2

解析 由题意,双曲线的渐近线方程为 y=± x,抛物线的焦点坐标为 F?0, ?.不妨设 a ? 2?

b

?

p?

b ? ?y= x 点 A 在第一象限,由? a ? ?x2=2py
2pb
2

2pb x= ? ? a ,解得? 2pb y= ? ? a
2

2

或?

?x=0 ? ? ?y=0

,故 A?

?2pb,2pb ?.所以 a2 ? ? a ?

2

kAF=

a2

- 2

p
= 4b -a .由已知 F 为△OAB 的垂心,所以直线 AF 与另一条渐近线垂直,故 4ab
2 2

2pb

a
2 2 4b -a ? b? 5 2 9 2 3 ? b? 2 2 2 2 kAF·?- ?=-1,即 ×?- ?=-1,整理得 b = a ,所以 c =a +b = a ,故 c= a, 4ab 4 4 2 ? a? ? a?

c 3 即 e= = . a 2

5

4.[2016·临沂模拟]如图,已知直线与抛物线 y =2px(p>0)相交于 A、B 两点,且 OA ⊥OB,OD⊥AB 交 AB 于 D,且点 D 的坐标为(3, 3). (1)求 p 的值; (2)若 F 为抛物线的焦点,M 为抛物线上任一点,求|MD|+|MF|的最小值. 解 3 ? y1 ? ? y2 ? (1)设 A? ,y1?,B? ,y2?,kOD= ,则 kAB=- 3,直线 AB 的方程为 y- 3=- 2 p 2 p 3 ? ? ? ?
2 2

2

3(x-3),即 3x+y-4 3=0,将 x= 代入上式,整理得 3y +2py-8 3p=0, 2p ∴y1y2=-8p,由 OA⊥OB 得 又 p>0,则 p=2. (2)由抛物线定义知|MD|+|MF|的最小值为 D 点到抛物线 y =4x 准线的距离, 又准线方程为 x=-1, 因此|MD|+|MF|的最小值为 4.
2 2 y2 1y2 2 2 2 +y1y2=0,即 y1y2+4p =0,∴-8p+4p =0, 4p

y2

2

5.[2014·浙江高考]已知△ABP 的三个顶点都在抛物线 C:x =4y 上,F 为抛物线 C 的 → → 焦点,点 M 为 AB 的中点,PF=3FM.
6

2

(1)若|PF|=3,求点 M 的坐标; (2)求△ABP 面积的最大值. 解 (1)由题意知焦点 F(0,1),准线方程为 y=-1. 设 P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得 y0=2, 所以 P(2 2,2)或 P(-2 2,2), → → 由PF=3FM,得

M? -

? 2 2 2? ?2 2 2? , ?或 M? , ?. ? 3 3? ? 3 3?
?y=kx+m, ? ?x =4y, ?
2 2

(2)设直线 AB 的方程为 y=kx+m,点 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 由? 得 x -4kx-4m=0,
2

于是 Δ =16k +16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m, 所以 AB 的中点 M 的坐标为(2k,2k +m), → →
2 2

由PF=3FM得, (-x0,1-y0)=3(2k,2k +m-1), 所以?
? ?x0=-6k, ?y0=4-6k -3m, ?
2

1 4 2 2 由 x0=4y0 得 k =- m+ , 5 15

1 4 2 由 Δ >0,k ≥0,得- <m≤ . 3 3 又因为|AB|=4 1+k · k +m, 点 F(0,1)到直线 AB 的距离为 d=
2 2 2

|m-1| 1+k

2



所以 S△ABP=4S△ABF=8|m-1| k +m= 16 15 3m -5m +m+1,
3 2

4? ? 1 3 2 记 f(m)=3m -5m +m+1?- <m≤ ?, 3? ? 3 令 f′(m)=9m -10m+1=0,解得
2

m1= ,m2=1,

1 9

? 1 1? ?1 ? ? 4? 可得 f(m)在?- , ?上是增函数,在? ,1?上是减函数,在?1, ?上是增函数, ? 3 9? ?9 ? ? 3?
1 256 55 ?1? 256 ?4? 又 f? ?= >f? ?,所以 m= ,f(m)取得最大值 ,此时 k=± ,所以△ABP 面积 9 243 15 ?9? 243 ?3? 256 5 的最大值为 . 135

7


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