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用均值不等式证明不等式

用均值不等式证明不等式
【摘 要】 :不等式的证明在竞赛数学中占有重要地位.本文介绍了用均值不等

式证明几个不等式,我们在证明不等式时,常用到均值不等式。要求我们要认真 分析题目, 本文通过几个国内外竞赛数学的试题,介绍用均值不等式证明初等不 等式的基本方法及技巧。 【关键词】 :均值不等式;不等式;方法;技巧

均值不等式
? 设 a1、 a 2、 、 a n 是 n 个 正数 ,则不等式 H ( a ) ? G ( a ) ? A ( a ) ? Q ( a ) 称为均

值不等式[1].其中
H (a ) ? n 1 a1 ? 1 a2 ?? ? 1 an



G (a) ?

n

a1 a 2 a1 a ? a n ,

A(n ) ?

a1 ? a 2 ? ? ? a n n


2

Q (n) ?

a1 ? a 2 ? ? ? a n
2 2

n

? 分别称为 a1、 a 2、 、 a n 的调和不等式,几何平均值,算术平均值,均方根平均

值. 例1 设 a 1 、 a 2 、…、 a n 均为正,记
? (n) ? n(
a1 ? a 2 ? ? ? a n n ?
n

a1 a 2 ? a n )

试证:? ( n ) ? ? ( n ? 1) ,并求等号成立的条件. 证明 由所设条件,得

? ( n ) ? ? ( n ? 1)

1

= n(

a1 ? a 2 ? ? ? a n n

?

n

a 1 a 2 ? a n ) ? ( n ? 1)(

a 1 ? a 2 ? ? a n ?1 n ?1

?

n ?1

a 1 a 2 ? a n ?1 )

= a1 ? a 2 ? ? ? a n ? n n a1 a 2 ? a n ? ( a1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ) ? ( n ? 1) n ?1 a1 a 2 ? a n ?1
1 1

= a n ? ( n ? 1)( a 1 a 2 ? a n ?1 )

n ?1

? n ( a1 a 2 ? a n ) n ,
1 1

n 将 G ( a ) ? A ( a ) 应用于 n 个正数: a n , ( a 1 a 2 ? a n ?1) ?1 ? ? ? ( a 1 a 2 ? a n ?1 ) n ?1 ,有

??????? ???????? ? ?
n ?1 个
1

a n ? ( n ? 1)( a1 a 2 ? a n ?1 ) n

n ?1

1

? ( a1 a 2 ? a n ) n ,


1 1

a n ? ( n ? 1)( a1 a 2 ? a n ?1 )

n ?1

? n ( a1 a 2 ? a n ) n .
1 n ?1
n ,即 a n ?1 ? a1 a2 ? a n 1 时等号成 ?

所以? ( n ) ? ? ( n ? 1) ,当且仅当 a n ? ( a 1 a 2 ? a n ?1 ) 立.

此题不只是公式的直接应用.代表了均值不等式中需要挖掘信
? 息找 a1、 a 2、 、 a n 的一类题.

例2 证明

设 x ? y ? z ? 0 ,求证: 6 ( x 3 ? y 3 ? z 3 ) 2 ? ( x 2 ? y 2 ? z 2 ) 3 . 当 x ? y ? z ? 0 时不等式显然成立.

除此情况外, x 、 y 、 z 中至少有一正一负.不妨设 xy ? 0 ,因为
z ? ?( x ? y) ,

所以
I ? 6 ( x ? y ? z ) ? 6[ x ? y ? ( x ? y ) ] ? 6[ ? 3 xy ( x ? y )] ? 54 x y z .
3 3 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2

若由此直接用 G ( a ) ? A ( a ) ( n ? 3) ,只能得到较粗糙的不等式
I ? 54 x y z ? 54 (
2 2 2

x ? y ?z
2 2

2

3

) ? 2( x ? y ? z ) ,
3 2 2 2 3

如果改用下面的方法,用 G ( a ) ? A ( a ) ,便得

2

? xy ? xy 2 ? ? ?z ? xy xy 2 2 2 2 2 ? ? ( 2 z 2 ? 2 xy ) 3 , I ? 54 x y z ? 216 ? ? z ? 216 ? 2 ? ? 2 2 3 ? ? ? ?

3

再注意到 x 2 ? y 2 ? ( x ? y ) 2 ? 2 xy ? z 2 ? 2 xy ,因而 2 z 2 ? 2 xy ? x 2 ? y 2 ? z 2 ,于 是即得欲证的不等式.
? 此题解题的关键在于构造 a1、 a 2、 、 a n 通常需要拓宽思路多次尝试,此类也

属均值不等式的常考类题. 例3 证明 设 x ? 0 ,证明: 2
12

x

?2

4

x

? 2?2

6

x

.(第 16 届全苏数学竞赛试题[2])

此不等式的外形有点像均值不等式.

由 G ( a ) ? A ( a ) ,得
12 12

x? 2

4

x

2

x

?2

4

x

? 2? 2

12

x

?2

4

x

? 2?2




12

x ? 2

4

x

1

1

1

1

? ( x 12 x 4 ) 2 ? x 6 ,

即得要证的不等式.

结语
有些不等式则可以利用某个已经证明成立的不等式来证明(因此多熟悉几个比较 常见的不等式是有好处的);有些不等式还要用数学归纳法来证明等等.而且在 一个题目的证明过程中, 也往往不止应用一种方法, 而需要灵活运用各种方法. 因 此,要培养和提高自己的证题能力。

参考文献
[1]

陈传理等编.数学竞赛教程 [M].北京:高等教育出版设,1996,(10): 133-134.

[2]

常庚哲等编.高中数学竞赛辅导讲座[M].上海:上海科学技术出版社, 1987.38-49

3


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