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高三数学上学期摸底考试试题

高三数学上学期摸底考试试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.已知全集 U ? {1, 2, 3, 4, 5} ,集合 A ? {x ? Z x ? 3 ? 2} ,则集合 C U A ? A. {1, 2, 3, 4} B.{2, 3, 4}
2





C.{1,5}

D.{5} ( D.4 ( ) )

2.设函数 f ( x) ? ( x ? 1) ( x ? 2) ,则 f ?(1) ? A. ? 1
2

B. 0

C .1

3. 曲线 y ? 2 x 在点 P(1,2)处的切线方程是 A. 4 x ? y ? 2 ? 0 C. 4 x ? y ? 2 ? 0 B. 4 x ? y ? 2 ? 0 D. ? 4 x ? y ? 2 ? 0

4.已知 ? 、 ? 是两个不同平面, m 、 n 是两不同直线,下列命题中的假命题是 ( A. 若m // n, m ? ? , 则n ? ? C. 若m ? ? , m ? ? , 则? // ? 5.曲线 y ? B. 若m // ? ,? ? ? ? n, 则m // n D. 若m ? ? , m ? ? , 则? ? ? (



1 3 4 x ? x 在点 (1, ) 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 3 3 1 2 1 2 A. B. C. D. 9 9 3 3 1 3 2 6. 函数 y ? x ? x ? 3x ? 4 在[0, 2]上最小值是 3 17 10 64 A. ? B. ? C. ? 4 D. ? 3 3 3
7.已知一个球的直径为 3 ,则此球的表面积为 A. 3? 8.若 ( x ? B. 4? C. 3 3? D. 6?











1 n ) 的展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为 x





A. 10 B. 20 C.30 D.120 9.由数字 1,2,3,4,5 所组成的三位数中,其各个数字之和为 9 的三位数共有 ( A.16 个 B.18 个 C.19 个 D.21 个



10.P 为抛物线 y ? x 上的任意一点,则 P 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最短距离为
2

( ) 1 , 7 2 A. 2 B. C. 2 2 D.0 3 8 , 5 11.设函数 f ( x) 是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y ? f ( x) 在 x ? 5 处的切线的斜 率为 A. ? ( )

1 5

B. 0

C.

1 5

D.5

12.设 f ( x) ?

1 4 1 2 x ? x , x1 , x2 ? [?1, 1] ,且 f ?x1 ? ? f ?x 2 ? ,则下列结论必成立的是 4 2
B. x1 + x 2 >0 C. x1 < x 2 D. x1 > x 2
2 2

A. x1 > x 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. f ( x) ? x ?
3

3 2 x 的单调减区间是 2

14.从 4 名男生和 6 名女生,选出 3 名奥运火炬手,要求至少包含 1 名男生,则不同的选法 共有 15.某校现有高一学生 210 人,高二学生 270 人,高三学生 300 人,校学生会采用分层抽样 的方法从这三个的学生中随机抽取 n 名学生进行问卷调查,如果已知从高一学生中抽取 的人数为 7,那么从高三学生中抽取的人数为 16.在正方体上任意选择 4 个顶点,它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点,这些几何形 体是 (写出所有正确结论的编号 ). .. ①矩形; ②不是矩形的平行四边形; ③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体; ④每个面都是等边三角形的四面体; ⑤每个面都是直角三角形的四面体. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分) 已知集合 A ? {x

4 x ? 3 ? 1}, B ? {x x 2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0} ,若 B ? A ,求

实数 a 的取值范围. 18. (本题满分 12 分)规定 Ax ? x( x ? 1)( x ? 2) ? ( x ? m ? 1) ,其中 x ?R,m 是正整数.
m

(Ⅰ)求 A 的值;

4 ?4

3 Ax (Ⅱ)设 x ? 0 ,当 x 为何值时, 2 的值最小?求出最小值. x

19. (本题满分 12 分) 袋中装有四个标号为 2、3、4、5 的均匀小球,从中有放回地摸球两次,记其标号 依次为 x , y . (Ⅰ)求使 3x ? y 为偶数的概率; 20. (本题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ? ax ? bx 经 过 点 M(1,4) , 在 点 M 处 的 切 线 恰 与 直 线
3 2

(Ⅱ)求使 x ? 2 ? x ? y ? 2 的概率.

x ? 9 y ? 5 ? 0 垂直
(Ⅰ)求 a,b 的值 (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间[ m ? 1, m ? 1 ]上单调递增,求实数 m 的取值范围. 21. (本题满分 12 分) 如图,直二面角 D—AB—E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. D C (Ⅰ)求证 AE⊥平面 BCE; (Ⅱ)求二面角 B—AC—E 的正切值. F A 22. (本题满分 12 分)
3 2

B E

设函数 f ( x) ? ax ? 2bx ? cx ? 4d (a, b, c, d ? R) 的图象关于原点对称,且 x ? 1 时, f ( x) 取极小值 ?

2 . 3

(Ⅰ)求 a,b,c,d 的值 (Ⅱ)当 x∈[-1,1]时, f ( x) 图象上是否存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直? 试证明你的结论 (Ⅲ)若 x1 , x2 ? [?1, 1] 时,求证| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ?

4 . 3

参考答案
一、选择题:1.C 2.B 9.C 10.B 11.B 4.B 5.A 6.A 7.A 8.B 1 , 二、填空题:13. (?1, 0) ; 14.100; 15.10; 16.①③④⑤ 3 , 1 4 x ? 3 ? 1 , 解 得 x ? 1或x ? 三 、 解 答 题 17 . 解 : 由 . ∴ 5 2 3.A 12.D

A ? {x

1 解得 x ? a ? 1 或 x ? 1或x ? } ……………3 分又由 x 2 ? ?2a ? 1?x ? a?a ? 1? ? 0 , 2

x ? a .∴ B ? {x x ? a或x ? a ? 1} ……………………………………………………6 分
1 1 ,即 0 ? a ? , 2 2 1 故所求实数 a 的取值范围是 0 ? a ? .………………………………………10 分 2
∵ B ? A ,则有 a ? 1 ? 1且a ? 18.解: (Ⅰ) A?4 ? (?4) ? (?3) ? (?2) ? (?1) ? 24 ;………………………………4 分
4

(Ⅱ)

3 Ax x( x ? 1)( x ? 2) x 2 ? 3x ? 2 2 ? ? ? x ? ?3, 2 2 x x x x

当 x ? 0 时, x ?

2 , ? 2 2 (当且仅当 x ? 2 时取等号) x

3 Ax ∴当 x ? 2 时, 2 有最小值,最小值为 2 2 ? 3 .………………………12 分 x

19.解: (Ⅰ)欲使 3x ? y 为偶数,则 x 、 y 同奇同偶, ∴P ?

2? 2 ? 2? 2 1 ? .………………………………………………………6 分 4? 4 2

(Ⅱ) x ? 2 时, x ? 2 ? x ? y 的可能取值为 0、1、2、3;

x ? 3 时, x ? 2 ? x ? y 的可能取值为 0、1、2、3; x ? 4 时, x ? 2 ? x ? y 的可能取值为 2、3、4; x ? 5 时, x ? 2 ? x ? y 的可能取值为 3、4、5、6.

∴P ?

7 7 ? .………………………………………………………………12 分 4 ? 4 16
3 2

20.解: (1) ∵ f ( x) ? ax ? bx
? f (1) ? 4 由已知得 ? / ? f (1) ? 9

∴ f ?( x) ? 3ax ? 2bx
2

?a ? b ? 4 ,即 ? ?3a ? 2b ? 9
3 2

∴ a=1,b=3

……………………6 分

(2)由(1)知 f ( x) ? x ? 3x , 令 f ?( x) ? 0

∴ f ?( x) ? 3x( x ? 2)

解得 x≤-2 或 x≥0∴f(x)在区间(-∞,-2 )和[0,+∞]上单调递增

若 f(x)在[m-1,m+1] 上单调递增则 [m-1,m+1]

? (-∞,-2 )或[m-1,m+1]

?

[0,+∞]

∴m+1≤-2 或 m-1≥0 ∴ m≤-3 或 m≥1 所以 m 的取值范围是 m≤-3 或 m≥1 …………………12 分 21.证明:(1)? BF ? 平面ACE,? BF ? AE,

?二面角D-AB-E为直二面角, ?平面ABCD ? 平面ABE,

又BC ? AB, ? BC ? 平面ABE, ? BC ? AE,
又BF ? 平面BCE,BF ? BC=B, ? AE ? 平面BCE。
………6 分 (2) (法一)连结 AC、BD 交于 G,连结 FG, ∵ABCD 为正方形, ∴BD⊥AC, ∵BF⊥平面 ACE, ∴FG⊥AC, ∠FGB 为二面角 B-AC-E 的平面角,由(1)可知,AE⊥平面 BCE, ∴AE⊥EB,又 AE=EB ,AB=2,AE=BE= 2 ,在直角三角形 BCE 中, BE= 2 , CE= BC ? BE ?
2 2

6, BF ?

BC ? BE 2 2 2 ? ? CE 6 3

2
在正方形中,BG= 2 ,在直角三角形 BFG 中, sin ?FGB ?

BF ? BG

6 3 ? 3 2

∴二面角 B-AC-E 为 arcsin

6 ……………………………………………………12 分 3
王新敞
奎屯 新疆

(法二)向量法:取 AB 中点为 O,连 EO, ∵AE=EB,∴EO⊥AB,

∴EO⊥平面 ABCD, 以 O 为原点,OE,AB 所在直线分别为 x,y 轴, 建立空间直角坐标系。 易知 n1 ? (1,0,0) 为面 ABC 的一 个法向量, 设 n 2 ? ( x, y , z ) 为面 ACE 的法向量。 ∵ AE ? (1,1,0) , AC ? (0,2,2) ,则 ?

?x ? y ? 0 , ?2 y ? 2 z ? 0

n2 ? (1,?1,1) ,

cos ? n1 , n1 ?? 3 . 3
2

3 , 3

∴二面角 B-AC-E 为 arccos
3

22. (1)解:∵函数 f ( x) ? ax ? 2bx ? cx ? 4d (a, b, c, d ? R) 的图象关于原点对称 ∴ f ( x) 为奇函数,∴ f ( x) ? f (? x) ? 0 即 ax ? 2bx ? cx ? 4d ? ax ? 2bx ? cx ? 4d ? 0 恒成立∴b=0,d=0
3 2 3 2

2 2 ,∴ f ? (1)=0,f(1)= - 3 3 2 1 1 ∴3a+c=0,a+c=- ∴a= ,c=-1∴a= ,b=0,c=-1,d=0 …………4 分 3 3 3 1 3 2 (2)解:由(1)有 f ( x) ? x ? x则有f ?( x) ? x ? 1 3
∵x=1 时,f(x)取极小值- 当 x∈[-1,1]时,-1≤x2-1≤0,因而对 x1,x2∈[-1,1]时, f ? (x1) f ? (x2)≥0 ∴当 x∈[-1,1]时,f(x)图象上不存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直…8 分 (3)解:由(2)有函数 f(x)在[-1,1]上是减函数

1 1 4 …………………12 分 ? | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? f (?1) ? f (1) ? [( ? ) ? 1] ? ( ? 1) ? 3 3 3


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