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(5)解析几何初步(学生版)


五、解析几何(课堂讲评)
1. (2010 年广州市高三年级调研测试) 已知两点 M (?1, 0) 、N (1, 0) , 点 P 为坐标平面内的动点, 满足 | MN | ? | NP |? MN MP . (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若点 A ? t , 4 ? 是动点 P 的轨迹上的一点, K (m,0) 是 x 轴上的一动点,试讨论直线

AK 与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的位置关系.

2, (2010年广州市普通高中毕业班综合测试(一) ) 已知动点 P 到定点 F

?

2, 0 的距离与点 P 到定直线 l : x ? 2 2 的距离之比为

?

2 . 2

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设 M 、 N 是直线 l 上的两个点,点 E 与点 F 关于原点 O 对称,若 EM FN ? 0 , 求 MN 的最小值.

3, (2010 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) ) 已知椭圆 C1 :

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F2 与抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 的焦点重合, 2 a b
5 .圆 C3 的圆心 T 是抛物线 C2 上的 3

| PF2 |? 椭圆 C1 与抛物线 C2 在第一象限的交点为 P ,
动点, 圆 C3 与 y 轴交于 M , N 两点,且 | MN |? 4 . (1)求椭圆 C1 的方程;

(2)证明:无论点 T 运动到何处,圆 C3 恒经过椭圆 C1 上一定点.

1

4, (惠州市 2010 届高三第二次调研考试) 已知椭圆 C:

x2 y2 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且曲线过点 (1, ). 2 2 2 a b

(1)求椭圆的方程: (2)已知直线 x-y+m=0 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点不在 圆 .. x +y =
2 2

5 内,求 m 的取值范围。 9

5, (惠州市 2010 届高三第三次调研考试) 设 F1 、 F2 分别是椭圆 C : (1)设椭圆 C 上点 ( 3,

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点。 a 2 b2

3 ) 到两点 F1 F2 距离和等于 4 写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; 2 (2)设 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程;
(3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 L 与椭圆相交于 M , N 两点,当直线

PM , PN 的斜率都存在,并记为 k PM ,k PN ,试探究 kPM ? KPN 的值是否与点 P
及直线 L 有关,不必证明你的结论。

6, (惠州市 2010 届高三模拟考试试题) 已知椭圆的一个顶点为 A ? 0, ?1? ,焦点在 x 轴上.若右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距 离为 3. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 y ? kx ? m (k ? 0) 与椭圆相交于不同的两点 M , N . 当 AM ? AN 时, 求m 的取值范围。

2

7, (2010 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)) 在平面直角坐标系中,已知点 P(1,-1),过点 P 作抛物线 T0 : y ? x2 的切线,其切点 分别为 M ( x1 , y1 )、N ( x2 , y2 ) (其中 x1<x2). (I)求 x1 与 x2 的值: (II)若以点 P 为圆心的圆 E 与直线 MN 相切,求圆 E 的方程: (III)过原点 O(0,0)作圆 E 的两条互相垂直的弦 AC,BD,求四边形 ABCD 面积的最大值.

8, (2010 年佛山市普通高中高三教学质量检测(二) )

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 有公共焦点 F2 , 点A a 2 b2 是曲线 C1 , C2 在第一象限的交点,且 AF2 ? 5 .
如图, 抛物线 C1 : y 2 ? 8x 与双曲线 C2 : (Ⅰ)求双曲线 C2 的方程; (Ⅱ)以 F1 为圆心的圆 M 与双曲线的一条渐近线相切, 圆 N : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1.已知点 P(1, 3) ,过点 P 作互相垂 直且分别与圆 M 、圆 N 相交的直线 l1 和 l2 ,设 l1 被圆 M 截 得的弦长为 s , l2 被圆 N 截得的弦长为 t . 请说明理由.

s 是否为定值? t

9, (汕头市 2010 年普通高中高三教学质量测评) 抛物线 y = 2px 的准线的方程为 x=-2,该抛物线上的每个点到 准线 x= -2 的距离都与到定点 N 的距离相等,圆 N 以 N 为圆心,且同时与直线 l1 : y ? x 和
2

l2 : y ? ? x 相切.
(1)求定点 N 的坐标; (2)是否存在一条直线 l 同时满足下列条件: ① l 分别与直线 l1 和 l 2 交于 A、B 两点,且 AB 中点为 E(4,1); ② l 被圆 N 截得的弦长为 2.

3

10, (汕头市 2010 年普通高中高三教学质量测评(二) 在平面直角坐标系中,如图,M(-4,0) ,N(0,4) ,C、B 分别是离心率为

2 的椭圆 C1 2

的右焦点和上顶点,其坐标分别为 C(c,0) 、B(0,b) ,其中 c>0,b>0,设 ? COB 的外接 圆圆心为 E。 (1)若圆 E 和直线 MN 相切,求椭圆 C1 的标准方程; (2)求 ? MNE 的面积; (3)设点 P 在圆 E 上,使 ? MNP 的面积等于 12 的点 P 有且只有 3 个,试探究这样的 圆 E 是否存在?若存在,求出圆 E 的标准方程;若不存在,说明理由.

11, (肇庆市中小学教学质量评估 2009-2010 学年第一学期统一检测题) 在平面直角坐标系 xOy 中,有一个以 F1 (0,? 3 ) 和 F2 (0, 3 ) 为焦点、离心率为

3 2

的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线 C,动点 P 在 C 上,C 在点 P 处的切线与 x、y 轴的 交点分别为 A、B,且向量 OM ? OA ? OB (1)求曲线 C 的方程; (2)求点 M 的轨迹方程; (3)求 | OM | 的最小值.

12, (肇庆市中小学教学质量评估 2010 届高中毕业班第二次统一测试题) 已知焦点在 x 轴上,离心率为

2 5 2 的椭圆的一个顶点是抛物线 x ? 4 y 的焦点,过椭圆右 5

焦点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点,交 y 轴于点 M,且 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF. (1)求椭圆的方程; (2)证明: ?1 ? ?2 为定值。

4

13, (茂名市 2010 届高三一模数学试卷(文科)
2 19.(本小题满分14分)已知点C为圆(x+1) ? y2 ? 8

的圆心,点A(1,0),P是圆上的动点,点Q在圆的半 径CP上,且MQ ? AP ? 0, AP ? 2 AM . (1)当点P在圆上运动时, 求点Q的轨迹方程; (2)设过点(0,2)且斜率为2的直线l与(1)中 所求的曲线交于B,D两点,O为坐标原点,求?BDO的面积.

14, (茂名市 2010 年第二次高考模拟考试)

x2 y 2 2 5 如图,椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且 A(0,1)是椭圆 C 的顶点。 a b 5
(1)求椭圆 C 的方程; (2) 过点 A 作斜率为 1 的直线 l , 设以椭圆 C 的右焦点 F 为抛物线 E : y ? 2 px( p ? 0)
2

的焦点,若点 M 为抛物线 E 上任意一点,求点 M 到直线 l 距离的最小值。

15, (湛江市 2010 年普通高考测试(一) ) 16, (湛江市 2010 年普通高考测试(二) ) 已知椭圆

x2 y2 2 2 .过定点 P(2,0)且与 x ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )过点 (1, ) ,且离心率等于 2 2 a 2 b

轴不重合的动直线,与该椭圆交于不同的两点 A,B. (1)求椭圆的方程; (2)椭圆的右焦点记为 F,若直线 FA、FB 的斜率分别为 k1、k2,求证:k1+k2=0.

5

17, (2010 年揭阳市高考“一模”试题) 在平面直角坐标系中,已知向量 a ? ( x, y ? 4), b ? (kx, y ? 4) ( k ? R ) , a ? b ,动点 M ( x, y) 的轨迹为 T. (1)求轨迹 T 的方程,并说明该方程表示的曲线的形状; (2)当 k ? 1 时,已知 O (0, 0) 、 E (2,1) ,试探究是否存在这样的点 Q : Q 是轨迹 T 内部的整点(平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点) ,且△OEQ 的面积 S?OEQ ? 2 ? 若存在,求出点 Q 的坐标,若不存在,说明理由.

18, (2010 年揭阳市高中毕业班第二次高考模拟考试题) 已知点 C(1,0) ,点 A、B 是⊙O: x 2 ? y 2 ? 9 上任意两个不同的点, 且满足 AC ? BC ? 0 ,设 P 为弦 AB 的中点,
A y

(1)求点 P 的轨迹 T 的方程; (2)试探究在轨迹 T 上是否存在这样的点:它到直线 x ? ?1 的
O

P B x C

19, (梅州市 2010 年高三质检(一) ) (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ,(c,0)的距离 ? 1 ( a ? b ? 0 )上的任意一点到它的两个焦点(-c,0) a2 b2

之和为 2 2 ,且它的焦距为 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知直线 x-y+m=0 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点不在圆 x2 ? y2 ? 内,求 m 的取值范围.

5 9

6

20, (梅州市 2010 年第二次质检) 已知椭圆 C:
1 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,B,F 分别是它的上顶点和右焦点.椭圆 C 上 2 a 2 b2

的点到点 F 的最短距离为 2.圆 M 是过点 B,F 的所有圆中面积最小的圆. (1)求椭圆 C 和圆 M 的方程; (2)从圆外一点 P 引圆 M 的切线 PQ,切点为 Q,且有|PQ|=|PO|,O 是坐标原点,求|PF|的最小值.

21, (韶关市 2010 届高三第一次调研考试) 在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 y=ax (其中 a>0)上任意一点与点 P ( 0,
2

1 ) 的距离等于 4a

它到直线 y=-1 的距离. (I)求抛物线的方程; (Ⅱ)若点 M 的坐标为(0,2),N 为抛物线上任意一点,是否存在垂直于 y 轴的直线 l, 使直线 l 被以 MN 为直径的圆截得的弦长恒为常数?若存在,求出直线 l 的方程; 若不存在,请说明理由.

22, (韶关市 2010 届高三第二次调研考试 ) 如图,F 是椭圆的右焦点,以 F 为圆心的圆过原点 0 和椭圆的右顶点,设 P 是椭圆的 动点.P 到两焦点距离之和等于 4. (I)求椭圆和圆的标准方程; (Ⅱ)设直线 l 的方程为 x=4,PM ? l ,垂足为 M.是否存在点 P,使得△FPM 为等腰 三角形?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由

7

23, (2010 年深圳市高三年级第一次调研考试) 24, (2010 年深圳市高三年级第二次调研考试)

x2 y 2 2) . F ? ? 1 (a ? b ? 0)的一个公共点为 B(0, a 2 b2 为椭圆 E 的右焦点,直线 BF 与圆 C 相切于点 B .
已知圆 C :( x ? t )2 ? y 2 ? 5 (t ? 0)和椭圆 E : (Ⅰ)求 t 值和椭圆 E 的方程; (Ⅱ)圆 C 上是否存在点 M ,使 ?MBF 为等 腰三角形?若存在, 求出点 M 的坐标.
C
y B

O

F

x

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