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湖北省武汉市2013届高三5月供题训练数学理试题


武汉市 2013 届高中毕业生五月供题训练(二) 理科数学
武汉市教育科学研究院命制 2013.5 本试卷共 6 页,共 22 题,其中第 15、16 题为选考题。满分 150 分。考试用时 120 分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答卷前, 考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上,并将准考证号条形码 粘贴在 答题卡上的指定位置 o 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。 如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 答在试 题卷、 草 稿纸上无效。 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。考 生应根据 自己选做的题目准确填涂題号,不得多选。 答题答在答題卡上对应的答题区域 内, 答在试题 卷、草稿纸上无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试題卷和答题卡一并上交。 一、 选择题:本大煙共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.复数 z 满足(x-i)(2 -i) =5,则复数 z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 2.若函数 f(x)=sin A.
?
2 x ?? 3 3? 2

C.第三象限 D.第四象限
( ? ? [ 0 , 2 ? ]) 是偶函数,则 ? = 5? 3

B.

2? 3

C.

D.

3.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调査,为此将他们随机编号为 1,2,…, 960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中,编号 落入 区间[1,450]的人做问卷人编号落入区间[451,750]的人做问卷 B,其余的人做问 卷 C.则抽 到的人中,做问卷 B 的人数为

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A. 7

B. 9

C. 10

D. 15 = 3,BZ) =2,则

4.如图,在平面四边形 ABCD 中,若 4C
( AB ? DC ).( AC ? BD )

A. -5

B.5

C. -13 D.13 5.一艘海轮从 A 处出发, 以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50°方向直线航行, 分钟后 到 30 达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 X 处观察灯塔,其方向是东偏南 20°,在 B 处观察 灯 塔,其方向是北偏东 65°,则 B、C 两点间的距离是 A.10 2 海里 B.10 3 海里 C.20 2 海里 D.20 3 海里

6. 运行右边的程序,输出的结果为 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 7.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 A. 28+6 5 B. 30+6 5 C. 56+ 12 5 D. 60+12 5 8.在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的 长, 则该矩形面积小于 32 cm 的概率为 A.
1 6
2

B.

1 3

C.

2 3

D.

4 5
x a
2 2

9.如图,F1,F2 是双曲线 C:

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) l 的左、右焦点,过 F1 的直

线与 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点.若 |AB|:|BF2|:|AF2|=3:4:5,

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则双曲线的离心率为 A.
13

B. D.
3

15

C. 2

1 ? ,x ? 3 ? 10. 设定义在 R 上的函数 f ( x ) ? ? | x ? 3 | ,若关于 x 的方程 f2(x) +af(x) +b=O 有 5 ?1 , x ? 3 ?

个不同实数解,则实数 a 的取值范围是 A.(0,1) C.(1,+ ? ) B.(- ? ,-1) D. ( - ? ,—2) U ( —2,— 1)

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (一)必考题(11—14 題) 11. 计算定积分 ? ( x ? sin x ) dx =_______.
2 ?1 1

12. 若将函数 f(x)=x 表示为 f(x) =a0 +a1(1+x) +a2(1+x) +…+a5(1+x) ,其中 a0, 1,a2, a …, a5 为实数,则 a3=_____
?x ? 0 ? 13. 设 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ,并设满足该条件的点(x,y)所成的区域为Ω ,则 ?x ? y ? 1 ?

5

2

5

(I)z=2x +y 的最大值是_______; (II)包含Ω 的最小圆的方程为_______. 14. 把正整数排列成如图 1 三角形数阵,然后擦去第偶数行中的所有奇数和第奇数行中的 所有偶数,可得到如图 2 的三角形数阵.现将图 2 中的正整数按从小到大的顺序排成 一列, 得到一个数列{an}.则 (I)a23=_______; (II)若 ak=2013,则 k=______

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(二)选考题(请考生在第 15、 两题中任选一题作答,请先在答題卡指定位置将你所选 的题 16 目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,則按第 15 題作答结果计分.) 15. (选修 4-l:几何证明选讲) 如图,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E,EF 丄 DB,垂足为 F, 若 AB=6,AE =1,则 DF·DB=_______ 16. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 在极坐标系中, 曲线 C1: ? ( 2 cos ? ? sin ? ) ? 1 与曲线 C2: ? =a(a >0) 只有一个公共点, 则 a =_______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步嫌. 17. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x ) ? 6 c os
2

?x
2

?

3 sin ? x ? 3 ( ? ? 0 ) 在一个周期内的图

象如图所示,A 为图象的最高点,B,C 为图象与 x 轴的交点,且Δ ABC 为正三角形. (I)求ω 的值及函数 f(x)的值域; (II)若 f ( x ) ?
0

3 5

3

,且 x 0 ?? ( ?

10 3

,

2 3

) ,求 f(x0+1)的值.

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18. (本小题满分 12 分) 某研究小组在电脑上进行人工降雨摸拟试验,准备用 A、B、C 三种人工降雨方式分别 对甲、 乙、丙三地实施人工降雨,其试验数据统计如下:

假设甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响. (I)求甲、乙两地恰为中雨且丙地为小雨的概率; (II)考虑到旱情和水土流失,如果甲地恰需中雨即能达到理想状态,乙地必须是大雨 才能达 到理想状态,丙地只要是小雨或中雨就能达到理想状态,求降雨量达到理 想状态的地方个 数的概率分布与数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的各项均为正数,记 A(n) = a1 + a2 +…+an,B(n) = a2 + a3 +…+ an+1.C(n)=a3 +a4 +…+an+2,n=1,2,…. (I)若 a1=1 ,a2 = 5 ,且对任意 n ? N * ,三个数 A(n) ,B( n),C( n)组成等差数列,求数 列 {an}的通项公式; (II)证明:数列{an}是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n ? N * ,三个 数 A(n) ,B(n) ,C(n)组成公比为 q 的等比数列.

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20. (本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为矩形,平面 ABEF 丄平面 ABCD,EF // AB,
? BAF =90°,AD= 2,AB=AF=2EF=l,点 P 在棱 DF 上.

(I)若 P 是 DF 的中点, (i)求证:BF//平面 ACP; (ii)求异面直线 BE 与 CP 所成角的余弦值; (II)若二面角 D-AP-C 的余弦值为
6 3

,求 PF 的长度.

21. (本小题满分 13 分) 已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的离心率为 e=

1 2

,以右焦点 F2 为圆心,长半轴为半径的圆

与直线 x ?

3y ? 3 ? 0

=O 相切.

(I)求椭圆 C 的标准方程; (II)过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点,在 x 轴上是否存在点 P(m,0) 使 PM = PN.若存在,求 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

22. (本小题满分 14 分)

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设函数 f(x)=xlnx+(a-x)ln(a-x)(a>0). (I)当 a =1 时,求函数 f(x)的最小值; (II)证明:对 ? x 1 , x 2 ? R +,都有 x1lnx1+x2lnx2≥(x1+x2)[ln(x1+x2)-ln2];
2n 2n n

(III)若 ? x i ? 1 ,证明: ? x i ln x 1 ? ? ln 2 ( i , n ? N *) .
i ?1 i ?1

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