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浙江省宁波市2014届高三上学期期末数学理试卷 Word版含答案

宁波市 2013 学年第一学期期末考试 高三数学(理科)试卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页, 选择题部分 1 至 2 页, 非选择题部 分 3 至 4 页.满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A,B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那 么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次 k n-k 的概率 Pn(k)= C k n p (1-p) (k=0,1,2,…,n) 台体的体积公式: 1 V= h(S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) 3 (其中 S1,S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高)

柱体的体积公式: V ? Sh (其中 S 表示柱体的底面积, h 表示 柱体的高) 1 锥体的体积公式: V ? Sh 3 (其中 S 表示锥体的底面积, h 表示 锥体的高) 球的表面积公式:S=4πR2 球的体积公式:V ? 4 ? R 3 (其中 R

3

表示球的半径)

第Ⅰ卷(选择题部分

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)已知复数 z1 ? 2 ? i, z2 ? 1 ? i ,则 z1 ?z2 在复平面内对应的点位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

C — ABC1 的体积为 (2)正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? 2, AA 1 ? 3 ,则三棱锥
(A)1 (B)3 (C)

2 3 3

(D)

2 7 9

(3)已知函数 y ? f ( x) ? x 是偶函数,且 f (2) ? 1, 则 f (?2) ? (A)2 (B)3 (C)4 (D)5

(4)关于函数 f ( x) ? 2sin x cos x ? 2 3cos2 x ,下列结论中不正确 的是 ... (A) f ( x ) 在区间 (0,

?
4

) 上单调递增

(B) f ( x) 的一个对称中心为 (

?
6

, ? 3)

(C) f ( x) 的最小正周期为 ?

(D)当 x ? ?0,

? ?? 时, f ( x) 的值域为 ? ?2 3, 0 ? ? ? ? 2? ?

(5)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积为

(A)9 cm3 (C)11 cm3

(B)10 cm3 (D)

2

2

23 cm3 2
正视图

3

(6)已知 l , m, n 为互不重合的三条直线,平面 ? ? 平面 ? ,
侧视图

? ? ? ? l , m ? ? , n ? ? ,那么 m ? n 是 m ? ? 的
(A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

1

1 ( 第 5 题)
y

(7)下列四个图中,哪个可能是函数 y ?
y -1

10 ln x ? 1 的图象 x ?1
y

俯视图

y -1
-1

O

x

O

x

O

x

-1

O

x

(A)

(B)

(C)

(D)

(8)已知 a , b 都是正实数,且满足 log4 (2a ? b) ? log2 (A)12 (B) 10 (C)8

ab ,则 2a ? b 的最小值为
(D)6

? x2 ? y 2 ? 1 ? (9)点 P( x, y) 为不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域上一点,则 x ? 2 y 取值范围为 ?x ? y ?1 ? 0 ?
(A) ? ? 5, 5 ?

?

?

(B) ? ?2, 5 ?

?

?

(C) ? ?1, 2?

(D) ? ?2, 2?

x2 y 2 (10) 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(b ? a ? 0) 的两条渐近线为 l1 , l2 , 过右焦点 F 作垂直 l1 的直线 a b
交 l1 , l2 于 A, B 两点.若 OA , AB , OB 成等差数列,则双曲线的离心率为

(A)

5 2

(B) 5

(C) 3

(D) 3 ? 1

第Ⅱ卷(非选择题部分 共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分.

(11)已知 A ? y y ? 3 , B ? x y ? ln(2 ? x) ,则 A ? B ?
x

?

?

?

?





(12)直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 相交于 A 、 B 两点,且 AB ? 2 3 , 则a ? ▲ .
2

(13)在 (1 ? x)5 ? (1 ? 2 x)4 的展开式中, x 项的系数为 (14)执行如图所示的程序框图,则输出的 n 值是 (15) ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, 若 ▲

▲ .



开始

m 1 1 2 ? ? ,且 2ab cos C ? c , tan C tan A tan B
▲ .

n ? 1, S ? 0

则 m 的值为

(16)已知数列 ?an ? ,?bn ? 满足 a1 ? 2, b1 ? 1 ,

S?

3 ? 7




3 1 ? a ? a ? bn ?1 ? 1 n n ? 1 ? ? 4 4 (n ? 2, n ? N * ) ? 1 3 ?b ? a ? b ? 1 n n ?1 n ?1 ? ? 4 4
则 (a3 ? b3 ) ? (a4 ? b4 ) 的值为 (17)已知 O 为 ?ABC 的外心, ▲

输出 n

S?S?

1 n(n ? 2)

结束

n ? n?2

AB ? 4, AC ? 2, ?BAC ? 120? .
若 AO ? ?1 AB ? ?2 AC , 则 ?1 ? ?2 =

??? ?

??? ?

??? ?





(第 14 题)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (18) (本题满分 14 分)已知甲箱装有 a 个白球 2 个黑球,乙箱装有 2 个白球 1 个黑球,这 些球除颜色外完全相同. 现从甲箱中随机摸两球,乙箱中随机模一球,若恰好摸出三 个黑球的概率为 (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)记甲箱摸出 x 个黑球,乙箱摸出 y 个黑球, ? ? x ? y . 求 ? 的分布列及 E? 的值. ( 19 ) (本题满分 14 分)设 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是各项都为正数的等比数列,且

1 . 18

(Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; a1 ? 2, b1 ? 3 , a3 ? b5 ? 56 , a5 ? b3 ? 26 . (Ⅱ)若 ? x ? 3 x ?
2

2bn * 对任意 n ? N 恒成立,求实数 x 的取值范围. 2n ? 1

(20) (本题满分 15 分) )如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, E 为 AD 上一点,

PE ? 平面 ABCD . AD / / BC , AD ? CD , BC ? ED ? 2 AE ? 2 , EB ? 3 , F 为 PC 上一点,且 CF ? 2 FP .
(Ⅰ) 求证: PA / /平面BEF ; (Ⅱ)若二面角 F ? BE ? C 为 60 ,
?

P F

D E A B

C

求 tan ?APD 的值.

(21) (本题满分 15 分)已知曲线 C1 :

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ,曲线 C2 : ? 2 ? 1(0 ? ? ? 1) . 4 4? 4? 4? 曲线 C2 的左顶点恰为曲线 C1 的左焦点. y A (Ⅰ)求 ? 的值;
(Ⅱ)设 P( x0 , y0 ) 为曲线 C2 上一点,过点 P 作 直线交曲线 C1 于 A, C 两点. 直线 OP 交 曲线 C1 于 B, D 两点. 若 P 为 AC 中点, ① 求证: 直线 AC 的方程为 x0 x ? 2 y0 y ? 2 ; D ② 求四边形 ABCD 的面积.
O C P x B

(22) (本题满分 14 分)设函数 f ( x) ? ( x ? 2)2 e x . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)是否存在 ?a, b? (a ? b) ,使得 f ( x ) 在该区间上的值域为 [e4 a, e4b] ?若存在,求 出 a , b 的值;若不存在,说明理由.

宁波市 2013 学年第一学期期末试卷

高三数学(理科)参考答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容制订相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的题答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的 内容与难度,可视影响的程度决定后续部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一 半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. (1) A (2) A (3)D (4) D (5) C (6) B (7) C (8)C (9) B (10)B 二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 28 分. (11) (0, 2) (12)0 (13) ?6 (14) 7 (15) 2 (16)

7 8

(17)

13 6

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (18) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)

1 C
2 a?2

C

1 3

?

1 18

?a ? 2

5分

(Ⅱ) P(? ? 2) ?

2 1 C2 C2 1 ? 2 1 C4 C3 9 2 1 1 1 C2 C2 ?C C 2 2 1 ? 2 1 C4 C3 3

7分

P(? ? 0) ?

9分

5 P(? ? 1 )? 1?P ?( ? 0 ) ? P ? ( ? 2? ) 9 7 E? ? 9
(19) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由题意, ?

11 分 14 分

? a1 ? 2d ? b1 ? q 4 ? 56 , 2 ? a1 ? 4d ? b1 ? q ? 26
,消 d 得 2q ? q ? 28 ? 0 ,
4 2

2分

代入得 ?

? 2 ? 2d ? 3 ? q 4 ? 56
2 ? 2 ? 4d ? 3 ? q ? 26

(2q2 ? 7)(q2 ? 4) ? 0 ,? ?bn ? 是各项都为正数的等比数列,? q ? 2
进而 d ? 3 ,?an ? 3n ?1, bn ? 3 ? 2n?1 6分

3 ? 2n ?1 (Ⅱ)记 cn ? 2n ? 1

cn ?1 ? cn ? 3 ? 2n ?1 ?

2n ? 1 ?0 (2n ? 1)(2n ? 3)

10 分

cn 最小值为 c1 ? 1 ,
? x 2 ? 3x ? 2 , x ? 2, 或 x ? 1
(20) (本小题满分 15 分) (Ⅰ) 证明:连接 AC 交 BE 于点 M, 连接 FM .由 EM / / CD

12 分 14 分

P F

?

AM AE 1 PF ? ? ? MC ED 2 FC FM / / AP

D

H
E A
6分

C
B

FM ? 面BEF,PA ? 面BEF

M

? PA / /面BEF

(Ⅱ)连 CE ,过 F 作 FH ? CE 于 H .由于 FH / / PE ,故 FH ? 面ABCD . 过 H 作 HM ? BE 于 M ,连 FM .则 FM ? BE ,即 ?FMH 为二面角

F ? BE ? C 的平面角. ??FMH ? 60? , FH ? 3MH

10 分 12 分

FH ?

2 1 2 PE , MH ? BC ? AE 3 3 3

? PE ? 3 AE

tan ?APE ?

1 2 , tan ?DPE ? , tan ?APD ? 3 3 3 3

15 分

解法二:以 E 为坐标原点, EB, ED, EP 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系.

E (0,0,0), B(3,0,0), P(0,0, m), C (3, 2,0)

??? ? ??? ? 2 2 CF ? 2 FP , ? F (1, , m) 3 3 ?? 设平面 BEF 的法向量 n1 ? ( x, y, z) ,由

8分

? ??? ? ? ? n?EB ? 0 ? ? ? ??? ? ? n?EF ? 0

得 n1 ? (0, ?m,1)

??

面 ABCD 法向量为 n2 ? (0,0,1) .

?? ?

10 分 12 分

?? ?? ? n ? n ? 2 由于 cos 60 ? ??1 ?? ? n1 ? n2
tan ?APE ?
(21) (本题满分 15 分) (Ⅰ) 4? ? 4 ? 4?

, 解得 m ? 3 .

1 2 , tan ?DPE ? , tan ?APD ? 3 3 3 3
1 2

15 分

??

5分 7分

(Ⅱ)① 可得 B( 2x0 , 2 y0 ), D(? 2x0 , ? 2 y0 ) 由 kOP ? k AC

b2 1 ?? 2 ?? a 2

AC : y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ? ?

x0 ( x ? x0 ) 即 x0 x ? 2 y0 y ? 2 2 y0
9分

y0 ? 0, x0 ? ? 2 , lAC : x ? ? 2 符合 x0 x ? 2 y0 y ? 2
x0 1 ? x? ?y ? ? 2 y0 y0 ② 解法一:联立方程 ? ? x2 ? 2 y 2 ? 4 ?
即 2x ? 4x0 x ? 4 ? 8 y0 ? 0
2 2

(1 ?

2 x0 2x 2 ) x 2 ? 20 x ? 2 ? 4 ? 0 2 2 y0 y0 y0

11 分

AC ? 1 ?

2 2 2 x0 x0 x0 2 2 2 x ? x ? 1 ? 4 x ? 8 ? 16 y ? 1 ? 8 y0 A C 0 0 2 2 2 4 y0 4 y0 4 y0

B, D 到 AC 距离 d1 ?
S?

2 2 ?2
2 2 x0 ? 4 y0

, d2 ?

2 2 ?2
2 2 x0 ? 4 y0

13 分

1 AC ? (d1 ? d 2 ) ? 4 2

14 分 15 分

当 y0 ? 0 时 ABCD 面积也为 4

② 解法二:

x0 1 ? x? ?y ? ? 2 y0 y0 联立方程 ? ? x2 ? 2 y 2 ? 4 ?
2 即 2x2 ? 4x0 x ? 4 ? 8 y0 ?0

2 x0 2x 2 (1 ? 2 ) x 2 ? 20 x ? 2 ? 4 ? 0 2 y0 y0 y0

11 分

AC ? 1 ?

2 2 x0 x0 2 2 x ? x ? 1 ? 4 x0 ? 8 ? 16 y0 A C 2 2 4 y0 4 y0

2 x0 2 ? 1 ? 2 8 y0 4 y0



O 到 AC 距离 d ?

2
2 x ? 4 y0 2 0

SABCD ? 2 2S?AOC ? 4
当 y0 ? 0 时 ABCD 面积也为 4 ② 解法三: P( x0 , y0 ), B( 2x0 , 2 y0 ), D(? 2x0 , ? 2 y0 )
2 2 BD ? 2 2 x0 ? y0 , A( x1 , y1 ) , lBD : y0 x ? x0 y ? 0

14 分 15 分

A 到 BD 的距离为 d ?

y0 x1 ? x0 y1
2 2 x0 ? y0



11 分

2 2 又 x0 x1 ? 2 y0 y1 ? 2, x0 ? 2 y0 ? 2, x12 ? 2 y12 ? 4 ,

2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 ? ( x0 ? 2 y0 )( x12 ? 2 y12 ) ? x0 x1 ? 2 y12 x0 ? 2 y0 x1 ? 4 y0 y1

? ( x0 x1 ? 2 y0 y1 )2 ? 2( x0 y1 ? y0 x1 ) 2 ? 4 ? 2( x0 y1 ? y0 x1 ) 2
则 y0 x1 ? x0 y1 ? 又 P 为 AC 中点, 则 S ? 2?

2.

13 分

y x ?x y 1 2 2 ? d ? BD ? 0 1 0 1 ? 2 2 x0 ? y0 ? 4. 2 2 2 x0 ? y0

15 分

(22) (本小题满分 14 分) (Ⅰ) f '( x) ? x( x ? 2)e
x

f ( x) 在 (??,0),(2, ??) 上单调递增, (0, 2) 上单调递减.

y极大 ? f (0) ? 4, y极小 ? f (2) ? 0
(Ⅱ)? f ( x) ? 0 ,? a ? 0 若 a ? 0 则 b ? 2 ,故有 (b ? 2)2 eb ? e4b 构造 g (b) ?

6分 8分

? b2 ? 4 (b ? 2)2 ? b (b ? 2)2 b e (b ? 2) , g '(b) ? ? 2 ? e ?0 b b ? ? b ?
10 分

b ? 4 为唯一解.
若 a ? 0 ,则 2 ? ? a, b? 即 b ? a ? 2 或 0 ? a ? b ? 2 ①b ? a ? 2时 ?

? f (a) ? (a ? 2) 2 ea ? e4 a
2 b 4 ? f (b) ? (b ? 2) e ? e b

前面已证至多一解,不存

在满足条件的 a , b ; ② 0 ? a ? b ? 2 时, ?

12 分 ,相除得 a(a ? 2)2 ea ? b(b ? 2)2 eb

?(a ? 2)2 ea ? e4b ?(b ? 2) e ? e a
2 b 4
2 x

记 h( x) ? x( x ? 2) e (0 ? x ? 2) , 则 h '( x) ? ( x ? x ? 4x ? 4)e ? ( x ? 4)( x ?1)e ,
3 2 x 2 x

h( x) 在 (0,1) 递增, (1, 2) 递减,由 h(a) ? h(b) ? 0 ? a ? 1,1 ? b ? 2
此时 (a ? 2) e ? 4e ? e b 矛盾.
2 a 4

综上所述,满足条件的 a , b 为 a ? 0, b ? 4

14 分


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