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【数学】2.1.1《向量的概念》课件(1)(新人教B版必修4)


2.1.1 向量的概念

? 老鼠由A向东方向以每秒6米的速度逃窜,而 猫由B向西北方向每秒10米的速度追. 问猫 能否抓到老鼠? 追上老鼠。 猫的速度再快也没用,因为 错了。 ◆速度是既有大小又有方向的量。
◆结论:猫

B

A

? 老鼠由A向东方向以每秒6米的速度逃窜,而 猫由B向西北方向每秒10米的速度追. 问猫 能否抓到老鼠?
◆结论:猫不能追上老鼠。

猫的速度再快也没用,因为方向错了。 ◆速度是既有大小又有方向的量。

B

A

位移和距离这两个量有什么不同?

o

B

1500米

2000米

A

位移既有大小又有方向 距离只有大小没有方向

一:向量定义 既有大小又有方向的量叫
向量

向 量

现实生活中还有哪些量既有大 小又有方向?

数量

哪些量只有大小没有方向?

一:向量定义 既有大小又有方向的量叫
向量

向 量

现实生活中还有哪些量既有大 小又有方向?

位移、力、速度、加速度、电场强度等

数量

哪些量只有大小没有方向?

距离、身高、质量、时间、面积等

注意:数量与向量的区别

注意:数量与向量的区别
1、数量只有大小,是一个代数量,可 以进行代数运算、比较大小; 2、向量不仅有大小还有方向 ,具有双

重性, 不能比较大小。

二:表示方法:
①几何表示法:
B A

有向线段—— 有向线段的三要素: 以A为起点、B为终点的有向线段记作 AB

二:表示方法:
①几何表示法:有向线段.
B A

有向线段——具有一定方向的线段. 有向线段的三要素:起点、方向、长度 以A为起点、B为终点的有向线段记作 AB

②字母表示法:

思考: 向量AB与向量BA是不是同一向量,为什么? (3)模的概念:

? ? ? 用 a、 c 等小写字母表示;或用表示有 b、
向线段的起点和终点字母表示,如 AB. 思考: 向量AB与向量BA是不是同一向量,为什么? (3)模的概念:

②字母表示法:

向量 AB 的大小即向量 AB 的长度称为向量
的模.

记作:|

AB

|





问题1:

长度为0的向量应该叫做什么向量?如 何表示?它是否有方向?





问题1:

长度为0的向量应该叫做什么向量?如 何表示?它是否有方向? 答:应该叫做零向量。 表示为 0。

它的方向是不确定的。

问题2:
长度等于1个单位长度的向量应该 叫做什么向量?

?问:有几个单位向量?单位向量的大小是 否相等?

问题2:
长度等于1个单位长度的向量应该 叫做什么向量? 答:应该叫做单位向量。

?问:有几个单位向量?单位向量的大小是 否相等?
答:有无数个单位向量,单位向量大小相等.

思考:

平面直角坐标系内,起点在原点的单位 向量,它们终点的轨迹是什么图形?

思考:

平面直角坐标系内,起点在原点的单位 向量,它们终点的轨迹是什么图形?
如图,轨迹是以O为 答: 圆心,半径为1的圆。

(单位圆)
o

平行向量:
问题3: 如图,这组向量之间,存在着什么关系? a

规定: 平行向量也叫 向量

b

c

平行向量:方向相同或相反的非零向量。
问题3: 如图,这组向量之间,存在着什么关系? 答:平行关系。 a b

规定: 零向量与任一向量平行 平行向量也叫共线向量

c

思考:
对于下列各种情况,各向量的终点的集合 分别是什么图形?

(1) 把平行于直线l 的所有单位向量的 起点平移到直线 l上的点P; (2) 把平行于直线 l 的所有向量的起点 平移到直线 l上的点P;

思考:
对于下列各种情况,各向量的终点的集合 分别是什么图形?

(1) 把平行于直线l 的所有单位向量的 起点平移到直线 l上的点P;
是直线 l上与点P的距离为1的两个点;

(2) 把平行于直线 l 的所有向量的起点 平移到直线 l上的点P; 是直线

l

? 问题4

若两个向量相等,那么它们必须 具备什么条件?
相等向量: 规定:

? 问题4

若两个向量相等,那么它们必须 具备什么条件?
相等向量: 长度相等且方向相同的向量。 若向量 a 与 b 相等,记作:a = b。 规定:(1)零向量与零向量相等。

下图中的向量是否是相等向量?
B1
B3
A1

B2
A3

A2

? 说明:

下图中的向量是否是相等向量?
B1
B3
A1

B2
A3

A1B1=A2B2=A3B3

A2

? 说明:任意二个非零相等向量可用 同一条有向线段表示,与有向线段 的起点无关。

思考 :

相等向量一定是平行向量吗?

平行向量一定是相等向量吗?

思考 :

相等向量一定是平行向量吗? 是 平行向量一定是相等向量吗? 不是.

例1.判断下列命题真假或给出问题的答案:
(1)平行向量的方向一定相同. (2)不相等的向量一定不平行. (3)与零向量相等的向量是什么向量? (4)存在与任何向量都平行的向量吗?

例1.判断下列命题真假或给出问题的答案:
(1)平行向量的方向一定相同. × (2)不相等的向量一定不平行. × (3)与零向量相等的向量是什么向量?

零向量
(4)存在与任何向量都平行的向量吗?

零向量

例1.判断下列命题真假或给出问题的答案:
(5)若两个向量在同一直线上,则这两

个向量一定是什么向量?

(6)两个非零向量相等的条件是什么?

(7)共线向量一定在同一直线上.

例1.判断下列命题真假或给出问题的答案:
(5)若两个向量在同一直线上,则这两

个向量一定是什么向量?

平行向量(共线向量)
(6)两个非零向量相等的条件是什么?

模相等且方向相同
×

(7)共线向量一定在同一直线上.

例2.如图设O是正六边形ABCDEF的中心,写出图中 与向量OA相等的向量。 变式一:与向量OA长度相等的向量 有多少个?

变式二:是否存在与向量OA长度相等,方向 相反的向量?

变式三:与向量OA长度相等的共线向量有哪些?

例2.如图设O是正六边形ABCDEF的中心,写出图中 与向量OA相等的向量。 OA = DO = CB 变式一:与向量OA长度相等的向量 有多少个? 11个 变式二:是否存在与向量OA长度相等,方向 相反的向量? 存在,为 FE

变式三:与向量OA长度相等的共线向量有哪些? CB、DO、FE

与 a 长度相等,方向相反的向量 叫

a的相反向量.记为 ? a
a
?a

? (? a) ? a

例3:在4 ? 5方格纸中有一个向量 AB, 以图中的格点为 起点和终点作向量,其中与 AB相等的向量有多少个? 与 AB长度相等的共线向量有多少个? (AB 除外)

B

A

例3:在4 ? 5方格纸中有一个向量 AB, 以图中的格点为 起点和终点作向量,其中与 AB相等的向量有多少个? 与 AB长度相等的共线向量有多少个? (AB 除外)

B

相等的有7个 长度相等的有 15个

A

例4:D、E、F依次是等边△ABC的边AB、 BC、CA的中点,在以A、B、C、D、E、F 为起点或终点的向量中, (1)找出与向量 DE A 相等的向量;
D

F

(2)找出与向量 DF 共线的向量.

B

E

C

例4:D、E、F依次是等边△ABC的边AB、 BC、CA的中点,在以A、B、C、D、E、F 为起点或终点的向量中, (1)找出与向量 DE A 相等的向量; AF和FC
D

F

(2)找出与向量 DF 共线的向量.

B

E

C

BE, EB,EC,CE, BC, CB,FD

练习 1:判断下列各命题是否正确? (1 ) a = b , 则a = b; (2)若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; (3)若 AB = CD, 则四边形ABCD是平行四边形; (4)若a = b,b = c, 则a = c; (5)若a //c,b//c, 则a //b

练习 1:判断下列各命题是否正确? (1 ) a = b , 则a = b; (2)若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; (3)若 AB = CD, 则四边形ABCD是平行四边形; (4)若a = b,b = c, 则a = c; (5)若a //c,b//c, 则a //b

(1)错 (4)对

(2)错 (5)错

(3)错

练习2.下列说法是否正确 A.若|a|>|b|, 则a > b B.若|a|= 0, 则a = 0 C.若|a|=|b|, 则a = b或a = -b D.若 a //b, 则a = b E.若 a = b, 则|a|=|b| F.若 a ≠ b, 则a与b不是共线向量 G.若 a = 0, 则 - a = 0

练习2.下列说法是否正确 B.若|a|= 0, 则a = 0 × D.若 a //b, 则a = b A.若|a|>|b|, 则a > b ×

C.若|a|=|b|, 则a = b或a = -b ×

×

E.若 a = b, 则|a|=|b| F.若 a ≠ b, 则a与b不是共线向量 G.若 a = 0, 则 - a = 0

×

练习3:
1、下列命题正确的是
(A)共线向量都相等

(

)

(B)单位向量都相等
(C)平行向量不一定是共线向量

(D)零向量与任一向量平行

练习3:
1、下列命题正确的是
(A)共线向量都相等

( D

)

(B)单位向量都相等
(C)平行向量不一定是共线向量

(D)零向量与任一向量平行

练习
4.下列说法正确的是 ( ) A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量. 5.已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量. 其中是向量a与b平行的有_____.

练习
4.下列说法正确的是 ( A ) A) 方向相同或相反的向量是平行向量. B) 零向量是0 . C)长度相等的向量叫做相等向量. D) 共线向量是在一条直线上的向量. 5.已知a、b是任意两个向量,下列条件: ①a=b; ②|a|=|b|; ③a与b的方向相反; ④a=0或b=0; ⑤ a与b都是单位向量. ①③④ 其中是向量a与b平行的有_____.

小结
1.向量的概念: 2.向量的表示: 3.零向量: 4.单位向量:
5.平行向量: 6.共线向量: 7. 相等向量: 8. 相反向量:
仅对向量的大小明确规定,而 没有对向量的方向明确规定
仅对向量的方向明确规定,而 没有对向量的大小明确规定 对向量的大小和方向 都明确规定

注意:数学中的向量与物理中的矢量是
有区别的.在数学中我们研究的是仅由大

小和方向确定,而与起点位置无关的向量,

也称为自由向量.


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