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高中数学人教版选修2-1教学设计:空间向量与立体几何(无答案)


空间向量与立体几何训练题集萃(含答案)
一选择题: 1. 下列说法中正确的是( ) ? ? ? ? A. 若∣ a ∣=∣ b ∣,则 a , b 的长度相同,方向相反或相同; ? ? ? ? B. 若 a 与 b 是相反向量,则∣ a ∣=∣ b ∣; C. 空间向量的减法满足结合律; ??? ? ???? ???? D. 在四边形 ABCD 中,一定有 AB ? AD ? AC . ? ? ? ? ?? ? ?? ? 2. 已知向量 a , b 是两个非零向量, a0 , b0 是与 a , b 同方向的单位向量,那么下列各式正确的 是( ) ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? A. a0 ? b0 B. a0 ? b0 或 a0 ? ?b0 ? ? ?? ? C. a0 ? 1 D. ∣ a0 ∣=∣ b 0 ∣ 3. 在四边形 ABCD 中,若 AC ? AB ? AD ,则四边形是( A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 4. 下列说法正确的是( ) A. 零向量没有方向 B. 空间向量不可以平行移动 C. 如果两个向量不相同,那么它们的长度不相等 D. 同向且等长的有向线段表示同一向量 5.以下四个命题中正确的是( ) A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 → → → → → → → → → B.若{ a , b , c }为空间向量的一组基底, 则{ a + b , b + c , c - a }构成空间向量的另一组基底 → → C.△ABC 为直角三角形的充要条件为AB·AC=0 D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底 → 6. 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,与向量A1B1模相等的向量有( A.7 个 B.3 个 C.5 个 D.6 个 )
???? ??? ? ????



)

→ 的是( 7.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各式中运算结果为向量AC 1 →+→ → ;②(AA → +A → → ①(AB BC)+CC 1 1 1D1)+D1C1; →+BB → )+B → → → → ③(AB 1 1C1;④(AA1+A1B1)+B1C1. A.①③ B.②④
? ? ?

C.③④
? ?

D.①②③④ )
?
?

8. 对于向量 a 、 b 、 c 和实数λ ,下列命题中的真命题是( A 若 a · b =0,则 a =0 或 b =0 C 若 a 2= b 2,则 a = b 或 a =- b
? ? ? ? ? ?

?

?

?

B 若λ a =0,则λ =0 或 a =0 D 若 a · b = a · c ,则 b = c )
? ? ? ? ?

→ → → → → → 9.P 为正六边形 ABCDEF 外一点,O 为 ABCDEF 的中心则PA+PB +PC +PD +PE +PF等于(

→ A.PO

→ B.3PO

→ C.6PO

→ D. 0

10. 下列说法正确的是( ) ? ? ? ? ? ? A. a 与非零向量 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线 B. 任意两个相等向量不一定共线 C. 任意两个共线向量相等 ? ? ? ? D. 若向量 a 与 b 共线,则 a ? ? b → 1→ 1→ → → 11. 将边长为 1 的正方形 ABCD 沿角线 BD 折成直二面角, 若点 P 满足BP= BA - BC +BD,则|BP | 2 2 的值为( )

A.

3 2

B.2

10- 2 C. 4

D.

9 4

12.已知平行六面体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' ,M 是 AC 与 BD 交点,若 AB ? a, AD ? b, AA' ? c ,则与 B' M 相 等的向量是( ) A. ? a ? b-c ;
???? ? ??? ? ??? ? ???? ?

??? ?

? ????

? ????

?

?????

1? 2

1? ? 2

B.
???? ?

1? 1? ? 1? 1? ? a ? b-c ;C. a ? b ? c ; 2 2 2 2

D.
?

1? 1? ? ? a ? b ? c. 2 2
???? ? ??? ? ??? ? ???? ?

13. 下列等式中,使 M,A,B,C 四点共面的个数是( ) ① OM ? OA ? OB ? OC; ② OM ? OA ? OB ? OC; ③ MA ? MB ? MC ? 0; ④ OM ? OA ? OB ? OC ? 0 . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ? ? ? ? ? ? 14. 在下列命题中:①若 a 、 b 共线,则 a 、 b 所在的直线平行;②若 a 、 b 所在的直线是异面直 ? ? ? ? ? ? ? ? 线,则 a 、 b 一定不共面;③若 a 、 b 、 c 三向量两两共面,则 a 、 b 、 c 三向量一定也共面; ? ? ? ? ? ? ?? ?? ④已知三向量 a 、 b 、 c ,则空间任意一个向量 p 总可以唯一表示为 p =x a +y b +z c .其中 正确命题的个数为 ( ). A.0 B.1 C. 2 D. 3 15. 下列命题中: ? ? ? ? ? ①若 a ? b ? 0 ,则 a , b 中至少一个为 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ②若 a ? 0 且 a ? b ? a ? c ,则 b ? c ? ? ? ? ? ? ③ (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ④ (3a ? 2b) ? (3a ? 2b) ? 9 a ? 4 b 正确有个数为( ) A. 0 个 B. 1 个
? ? ? ? ?2 ?2

? 1 ??? ? 1 ??? 5 3

? 1 ???? 2

???? ???? ???? ?

C. 2 个

D. 3 个 )

?? ?? ? ?? ? ?? ? 16. 已知 e1 和 e2 是两个单位向量,夹角为 ,则下面向量中与 2e2 ? e1 垂直的是( 3 ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? ? A. e1 ? e2 B. e1 ? e2 C. e1 D. e2

17.若 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则

? ? a1 a2 a3 ? ? 是 a // b 的( ) b1 b2 b3

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不不要条件 ??? ? ??? ? ??? ? 18 已知 A ?1,0,0? , B ? 0, ?1,1? , OA ? ?OB 与 OB 的夹角为 120°,则 ? 的值为( ) D. ? 6 ? ? ? ? 19.若 a ? ? x,2,0? , b ? ?3,2 ? x, x2 ? ,且 a, b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是( ) B. A. x ? ?4 B. ?4 ? x ? 0 C. 0 ? x ? 4 D. x ? 4 ? ? ? ?? ? ? ? 20.已知 a ? ?1,2, ? y ? , b ? ? x,1,2? , 且 (a ? 2b) //(2a ? b) ,则( ) A. x ? , y ? 1
1 3

A. ?

6 6

6 6

C. ?

6 6

B. x ? , y ? ?4

1 2

C. x ? 2, y ? ?

1 4

D. x ? 1, y ? ?1

21. 已知两非零向量 e1,e2 不共线,设 a=λ e1+μ e2(λ 、μ ∈R 且λ 2+μ 2≠0),则( ) A.a∥e1 B.a∥e2 C.a 与 e1,e2 共面 D.以上三种情况均有可能 )A.30° B.45°

→ → 22 正方体 ABCD-A′B′C′D′中,向量AB ′与BC ′的夹角是( C.60° D.90°

23 设 A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足 A→ B ·A→ C =0,A→ C ·A→ D =0,A→ B ·A→ D =0, 则△BCD 是( ) B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定

A.钝角三角形

24.平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=1, AD=2, AA1=3, ∠BAD=90°, ∠BAA1=∠DAA1=60°, 则 AC1 的长为( A. 13 ) B. 43 C. 33 D. 23

25. 已知 a=(2,-1,3) ,b=(-1,4,-2) ,c=(7,5,λ ) ,若 a、b、c 三向量共面, 则实数λ =( )
65 7 26 若 a、b 均为非零向量,则 a ? b ?| a || b | 是 a 与 b 共线的(

A.

62 7

B.

63 7

C.

64 7

D.



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 27.已知△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2) ,B(4,-3,7) ,C(0,5,1) ,则 BC 边上的中线 长为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 28 已知 a + b + c = 0 ,| a |=2,| b |=3,| c |= 19 ,则向量 a 与 b 之间的夹角 ? a, b ? 为( ) A.30° B.45° C.60° D.以上都不对 ? ? ? ? ? ? 29 .已知 a ? ?1,1,0? , b ? ? ?1,0,2? , 且 ka ? b 与 2a ? b 互相垂直,则 k 的值是( ) A. .1 B.
1 5

C.

3 5

D.

7 5

? 30.若 A ( x,5 ? x,2 x ? 1) ,B (1, x ? 2,2 ? x) ,当 AB 取最小值时, x 的值等于(



A. 19

B. ?

8 7

C.

8 7

D.

19 14

31.空间四边形 OABC 中, OB ? OC , ?AOB ? ?AOC ? A.

?
3

??? ? ??? ? ,则 cos < OA, BC >的值是(



1 1 2 B. C.- D. 0 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 32.已知 OA ? (1,2,3) , OB ? (2,1,2) , OP ? (1,1,2) ,点 Q 在直线 OP 上运动,则当 QA ? QB 取得最 小值时,点 Q 的坐标为 ( )

(A). ( , , ) 二填空题:

1 3 1 2 4 3

(B) ( , , )

1 2 3 2 3 4

(C) ( , , )

4 4 8 3 3 3

(D) ( , , )

4 4 7 3 3 3

33.已知 ? ABCD ,顶点 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2)则顶点 D 的坐标为_____. 34. Rt ? ABC 中,,∠BAC=90°, A(2,1,1),B(1,1,2), C(x,0,1)则 x=______ 35 已知 A(3,5,-7),B(-2,4,3),则 AB 在坐标平面 yoz 上的射影的长度为_____
→ → → 36 已知正方形 ABCD 的边长为 1,AB=a,BC=b,AC=c,则|a+b+c|等于________.

→+ 37 已知 O 是空间任一点,A、B、C、D 四点满足任三点均不共线,但四点共面,且→ OA=2xBO →+4zDO →, 3yCO 则 2x+3y+4z=____ 38.已知 A,B,C 三点共线,则对空间任一点 O,存在三个不为 0 的实数λ ,m,n,使λ → OA+ →+nOC →=0,那么λ +m+n 的值为________. mOB →+yAD → 39.已知矩形 ABCD,P 为平面 ABCD 外一点,M、N 分别为 BC、PD 的中点,且满足 M→ N =xAB →则实数 x,y,z 的值分别为________. +zAP 40.在空间四边形 ABCD 中,A→ B ·C→ D +B→ C ·A→ D +C→ A ·B→ D= 41.已知|a|=3 2,|b|=4,a 与 b 的夹角为 135°,m=a+b, b,则 m⊥n,则λ =________. ________ n=a+λ

? ? ? ? ? ? 42.若向量 a ? (4,2,?4),b ? (6,?3,2) ,则 (2a ? 3b )? (a ? 2b ) ? __________________。 ? ? ? ? ? ? ? ? 43 若向量 a ? 2i ? j ? k , b ? 4i ? 9 j ? k , ,则这两个向量的位置关系是___________。 ? ? ? ? ? ? 44.已知向量 a ? (2,?1,3),b ? (?4,2, x) ,若 a ? b ,则 x ? ______;若 a // b 则 x ? ______

? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? 45.已知向量 a ? mi ? 5 j ? k , b ? 3i ? j ? rk , 若 a // b 则实数 m ? ______1, r ? _______- 。 5
46.若 A(0, 2,
19 5 5 ? ) , B (1, ?1, ) , C ( ?2,1, ) 是平面 ? 内的三点,设平面 ? 的法向量 a ? ( x, y, z ) , 8 8 8
? ? ?

则 x : y : z ? ________________ 47 已知关于 x 的方程 x2 ? ?t ? 2? x ? t 2 ? 3t ? 5 ? 0 有两个实根, c ? a ? tb ,且 a ? ? ?1,1,3 ?, b ? ? 1,0, ? 2 ?, ? 当 t= 时, c 的模取得最大值. 48.已知矩形 ABCD 中, AB ? 1, BC ? a( a ? 0), PA ? 平面 AC ,且 PA ? 1 ,若在 BC 边上存在一 点 Q ,使得 PQ ? QD ,则 a 的取值范围是 。 49 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并总保持 AP⊥BD1 则动点 P 的轨迹为() A.线段 B1C B.线段 BC1 C.线段 B1B 的中点与 CC1 的中点连线段 D.线段 BC 的中点与 B1C1 的中点连线段 解答题
50.如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面三角形 ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=900,棱 AA1=2,M、N 分别是 A1B1、 A1A 的中点。 (1)求 BN 的长; (2)求 cos ? BA 1 , CB1 ? 的值。 A1 1 N C A 51 如图,已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,M 是棱 AA1 的中点,点 O 是 x (1)求证:BD1⊥AC; (2)求证:OM 是异面直线 AA1 与 BD1 的公垂线。 对角线 BD1 的中点。 B y z C1 1 B1 1

?

?

M

。 52 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 A1B1、A1D1 的中点,E、F 分别是棱 B1C1、C1D1 的中 点。

求证: (1)E、F、B、D 四点共面; (2)平面 AMN∥平面 BDFE。 z N A1 1 D1 1 M F B1 1 E C1 1

D A x B

C

y

53 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M,N 分别是 A1 B1 和 BB1 的中点,求直线 AM 与 CN 所成 夹角的余弦值。 z D1 A1 D A x 54 已知矩形 ABCD 中,AB ? 2,AD ? 1 , 将Δ ABD 沿 BD 折起, 使点 A 在平面 BCD 内的射影落在 DC 上,E、F、G 分别为棱 BD、AD、AB 的中点。 (I)求证:DA⊥平面 ABC; (II)求点 C 到平面 ABD 的距离; (III)求二面角 G—FC—E 余弦值的大小。 M B1 N C B y C1


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