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江苏省南通市通州区2012年高一数学暑假自主学习 单元检测十一 综合试卷1


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高一数学暑假自主学习单元检测十一 综合试卷 1
一、填空题:本大题共 14 题,每小题 5 分,共 70 分. 1.若 0 ? m, m 2 ? 2m ,则实数 m 的值为
3

?

?

. .

2.已知 f(x)=ax +bsinx+1,且 f(-1)=5,则 f(1)=
2

3.已知不等式 ax -bx+2<0 的解集为{x|1<x<2},则 a=________,b=_______. 4. 已知 ?an ? 是等差数列,a4 ? 15 ,S 5 ? 55 , 则过点 P(3, a3 ), Q(4, a4 ) 的直线的斜率 .

5.若函数 y=f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,然后再将整 1 ? 个图象沿 x 轴向左平移 个单位,沿 y 轴向下平移 1 个单位,得到函数 y= sinx 的图象, 2 2 则 y=f(x)是 .

6.在样本的频率分布直方图中,共有 4 个长方形,这 4 个小长方形的面积由小到大构成等差 数列{an}, 已知 a2 = 2a1, 且样本容量为 400, 则小长方形面积最大的一组的频数为 7.已知 sin( .

?
6

? ? ) ? a ,则 cos(
*

2? ? ? ) 的值为 3



8.对于下列的伪代码(n∈N ) ,给出如下判断: ①当输入 n=2 时,输出结果为 1; ②当输入 n=3 时,输出结果为 1; ③当输入 n=99 时,输出结果一定是非负的. 其中所有正确命题的序号为 .

9.在等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 上随机取一点 M, 则∠ACM≤30°的概率为 .

a←1 b←2 Read n For I From 1 To c←a-b p←a a←b b←p End For If c >0 Then Print c Else c← -c Print c End 第 8 题图

n

10.在△ ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 若 a 2 , b 2 , c 2 成等差数列,则 cos B 的最小值为 . y N M P O x

11.如图,设 P 是单位圆和 x 轴正半轴的交点, M、N 是单位 圆上的两点,O 是坐标原点, ?POM ?

?
3

, ?POM ? ? ,

???? ???? ? ? ? [0, ? ] , f (? ) ? OM ? ON ,则 f (? ) 的范围为


第 11 题图 12.设点 A(1, 0) , B(2,1) ,如果直线 ax ? by ? 1与线段 AB 有一

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个 公共点,那么 a 2 ? b 2 的最小值为 .

13.数列 ?an ? 中, a1 ? 6 ,且 an ? an?1 ?
an ?

an?1 ,则这个数列的通项公式 ? n ? 1( n ? N* , n ≥ 2 ) n


2

14.已知函数 f ?x? ? 2 x ? 3 ,若 0 ? 2a ? b ? 1 ,且 f ?2a ? ? f ?b ? 3? ,则 T ? 3a ? b 的取 值范围为 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知集合 A ? x x2 ? 2x ? 8≤0 , B ? x x2 ? (2m ? 3) x ? m2 ? 3m≤0, m ?R . (1)若 A ? B ? ? 2, 4? ,求实数 m 的值; (2)设全集为 R ,若 A ? ?R B ,求实数 m 的取值范围.

?

?

?

?

16.(本小题满分 14 分) 已知 ?ABC 中, a , b, c 分别是角 A, B, C 所对的边,且 b 2 ? ac ,向量 m ? ? cos ? A ? C ? ,1? 和
n ? ?1,cos B ? 满足 m ? n ?

3 . 2

(1)求 sin A sin C 的值; (2)求证: ?ABC 为等边三角形.

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17.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 3 ? 2log 2 x, g ( x) ? log 2 x . (1)当 x ??1,4? 时,求函数 h( x) ? ? f ( x) ? 1? ? g ( x) 的值域; (2)如果对任意的 x ??1,4? ,不等式 f ( x2 ) ? f ( x ) ? k ? g ( x) 恒成立,求实数 k 的取值范围.

18.(本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系中, 已知矩形 ABCD 的长为 2, 宽为 1, AB 、 AD 边分别在 x 轴、

y 轴的正半轴上, A 点与坐标原点重合(如图所示) 。将矩形折叠,使 A 点落在线段 DC 上.
(1)若折痕所在直线的斜率为 k ,试求折痕所在直线的方程;
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(2)当 ?2 ? 3 ≤ k ≤ 0 时,求折痕长的最大值; (3)当 ?2 ≤ k ≤ ?1 时,折痕为线段 PQ ,设 t ? k (2 | PQ |2 ?1) ,试求 t 的最大值.

19.(本小题满分 16 分) 若定义在 R 上的函数 f ? x ? 对任意的 x1 ,x2 ? R ,都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 成立,且 当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 . (1)求 f (0) 的值; (2)求证: f ( x) 是 R 上的增函数;
2 (3) 若 f (4) ? 5 ,不等式 f (cos x ? a sin x ? 2) ? 3 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 a

的 取值范围.

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20.(本小题满分 16 分) 已知各项均为正数的等差数列{an}的公差 d 不等于 0,设 a1、a3、ak 是公比为 q 的等比数 列 {bn}的前三项. (1) 若 k=7,a1=2. ① 求数列{anbn}的前 n 项和 Tn; ② 将数列{an}与{bn}中相同的项去掉,剩下的项依次构成新的数列{cn},设其前 n 项和 为

Sn,求 S2n ?n?1 -22n-1+3·2n-1 的值;
(2)若存在 m>k,m∈N 使得 a1、a3、ak、am 成等比数列,求证:k 为奇数.
*

高一数学暑假自主学习单元检测十一参考答案 一、填空题:
?m ? 0 ?m ? 0 1.答案:2 解析: ? 2 或? 2 ,m ? 2. ? m ? 2m ? 0 ? m ? 2m ? 0
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2.答案:-3 解析:f(-x)+ f(x)=2,∴f(-1)+ f(1)=2,∴f(1)=-3. 3.答案:1,3 解析:ax -bx+2=0 两根为 1、2 即得. 4.答案:4 解析:由 S 5 ? 55 得 a3 =11,由斜率公式得 1 ? 5.答案:y= sin(2x- )+1 解析:略. 2 2 6.答案:160 解析:公差 d = a1,4a1 + 数为 0.4×400=160. 7.答案:-a 解析: cos(
a4 ? a3
2

4?3

?4.

4?3 a1 =1,∴a1= 0.1 ∴a4= 0.4 ∴最大的一组的频 2

2? ? ? ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ? ? sin( ? ? ) ? ?a . 3 6 2 6

8.答案:①②③ 解析:算法的功能是每循环一次,实现 a、b 的一次互换, 并最终输出 c 的绝对值.

3 ?1 解析:在 AB 上取点 D,使∠ACD =30°,可设 AC=a,则 AB= 2a ,由正弦定 2 a 理求得 AD= ,由几何概型可得. 6? 2 2
9.答案:
2 2 2 2 2 10.答案: 1 解析: 2b2 ? a2 ? c2, B ? a ? c ? b ? b ≥ 2 b 2 ? 1 (当且仅当 a ? c 时 cos 2 2ac 2ac a ? c 2

等号成立) .

???? ???? 2 ? ???? ???? ? ? 11.答案: ?1, 2? 解析: f (? )2 ? OM ? ON ? 1 ? 1 ? 2 ? OM ? ON ? 2 ? 2cos(? ? ) ?[1,4] . 3
12.答案:

1 解析:由题意 A、B 两点在直线的异侧,则 (a ? 1) ? (2a ? b ? 1) ? 0 ,画出其区 5

2 2 域,原点到直线 2a ? b ? 1 ? 0 的距离的平方为 a ? b 的最小值.

13.答案: (n ? 1)(n ? 2) 解析:原式即 ∴

an a a ? n?1 ? 1 ,∴ { n } 为公差是 1 的等差数列, n ?1 n n ?1

an a ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 2 , an ? (n ? 1)(n ? 2) . n ?1 2 3 ? 5 ? 14.答案: ? ? , 0 ? 解析:画出 f ?x? ? 2 x ? 3 的简图, 由题意可知 0 ? 2a ? ? b ? 3 , 2 ? 16 ?
∵ f ?2a ? ? f ?b ? 3? , ∴ 2 ? 2a ? 3 ? 2 ? (b ? 3) ? 3 , ∴ b ? ?2 a , ∵ 0 ? 2a ? b ? 1 ? ?2a ? 1 ∴0? a ?

1 4

1 1 ? 5 ? ∴ T ? 3a2 ? b ? 3a2 ? 2a ? 3(a ? )2 ? ? ? ? , 0 ? . 3 3 ? 16 ?
二、解答题:

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15.解: (1)易得集合 A ? ?x ?2 ≤ x ≤ 4? ,集合 B ? ?x m ? 3 ≤ x ≤ m? ,
? m ? 3 ? 2, 由 A ? B ? ? 2, ? 得 ? 所以 m=5. 4 ? m ≥ 4,

(2)由(1)得 ?R B ? x x ? m ? 3, x ? m , 或 因为 A ? ?R B ,所以 m ? 3 ? 4或m ? 2 ,解得 m ? 7或m ? ?2 . 16.解: (1)由 m ? n ?

?

?

3 3 得, cos( A ? C) ? cos B ? , 2 2 3 , 2 3 3 ,所以 sinAsinC= ; 2 4 3 . 4

又 B=π ? (A+C),得 cos(A ? C) ? cos(A+C)=

即 cosAcosC+sinAsinC ? (cosAcosC ? sinAsinC)=
2

(2)由 b =ac 及正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C ,故 sin 2 B ? 于是 cos2 B ? 1 ? 因为 cosB =

1 3 1 1 ? ,所以 cos B ? 或 ? . 2 4 4 2

3 1 π ? cos(A ? C)>0, 所以 cos B ? ,故 B ? . 2 3 2

由余弦定理得 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,即 b2 ? a 2 ? c2 ? ac , 又 b =ac,所以 ac ? a 2 ? c 2 ? ac, 得 a=c.
2

因为 B ?

π ,所以三角形 ABC 为等边三角形. 3

17.解: (1) h( x) ? (4 ? 2log2 x) ? log2 x ? ?2(log2 x ?1)2 ? 2 . 因为 x ??1, 4? ,所以 log2 x??0,2? ,故函数 h( x) 的值域为 ? 0, 2? . (2)由 f ( x2 ) ? f ( x ) ? k ? g (x) 得 (3 ? 4log2 x)(3 ? log2 x) ? k ? log2 x , 令 t ? log2 x ,因为 x ??1, 4? ,所以 t ? log2 x ??0,2? , 所以 (3 ? 4t )(3 ? t ) ? k ? t 对一切的 t ??0, 2? 恒成立. ① 当 t ? 0 时, k ? R ; ② 当 t ? ? 0, 2? 时, k ? 因为 4t ? 所以 4t ?

(3 ? 4t )(3 ? t ) 9 恒成立,即 k ? 4t ? ? 15 , t t

9 9 3 ? 12 ,当且仅当 4t ? ,即 t ? 时取等号, t t 2 9 ? 15 的最小值为 ?3 . t

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综上, k ? ? ??, ?3? . 18.解:(1) ①当 k ? 0 时,此时 A 点与 D 点重合, 折痕所在的直线方程 y ? ②当 k ? 0 时,将矩形折叠后 A 点落在线段 DC 上的点记为 G (a,1) , 所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称, 有 kOG ? k ? ?1 ?

1 2

1 ? k ? ?1 ? a ? ? k 故 G 点坐标为 G(?k ,1) , a k 1 , ) 2 2

从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标(线段 OG 的中点)为 M (? 折痕所在的直线方程 y ?

1 k k2 1 ? k ( x ? ) ,即 y ? kx ? ? 2 2 2 2
k2 1 ? 2 2

由①②得折痕所在的直线方程为: y ? kx ? (2)当 k ? 0 时,折痕的长为 2;

k 2 ?1 k2 1 ) 当 ?2 ? 3 ≤ k < 0 时,折痕直线交 BC 于点 M (2,2k ? ? ) ,交 y 轴于 N (0, 2 2 2
∵ y ?| MN |2 ? 22 ? [

k2 ?1 k2 1 2 ? (2k ? ? )] ? 4 ? 4k 2 ≤ 4 ? 4(7 ? 4 3) ? 32 ? 16 3 2 2 2

∴折痕长度的最大值为 32 ? 16 3 ? 2( 6 ? 2) . 而 2( 6 ? 2 ) ? 2 ,故折痕长度的最大值为 2( 6 ? 2 ) (3)当 ?2 ≤ k ≤ ?1 时,折痕直线交 DC 于 P( ∵ | PQ |2 ? 12 ? [ ?

k ?1 1 k , 0) ? ,1) ,交 x 轴于 Q(? 2k 2 2k
2

2 k2 ?1 1 k 1 ? ( ? )]2 ? 1 ? 2 ∴ t ? k (2 | PQ |2 ?1) ? k ? 2k 2k 2 k k 2 ∵ ?2 ≤ k ≤ ?1 ∴ k ? ≤ ?2 2 (当且仅当 k ? ? 2 ? (?2, ?1) 时取“=”号) k
∴当 k ? ? 2 时, t 取最大值, t 的最大值是 ?2 2 . 19.解: (1)定义在 R 上的函数 f ? x ? 对任意的 x1 , x2 ? R , 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 成立 令 x1 ? x2 ? 0, 则f (0 ? 0) ? f (0) ? f (0) ? 1 ? f (0) ? 1 (2)任取 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ? f ( x1 ? x2 ) ? 1 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ? x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0
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∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ f ( x) 是 R 上的增函数 (3)∵ f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ,且 f (4) ? 5 , ∴ f (4) ? f (2) ? f (2) ? 1 ∴ f (2) ? 3

由不等式 f (cos2 x ? a sin x ? 2) ? 3 得 f (cos2 x ? a sin x ? 2) ? f (2) 由(2)知: f ( x) 是 R 上的增函数, ∴ cos2 x ? a sin x ? 2 ? 2 ? cos x ? a sin x ? 4 ? 0 ? sin x ? a sin x ? 3 ? 0 .
2 2

令 t ? sin x ? ?? 1,1? 则 g (t ) ? t ? at ? 3 ? (t ? ) ?
2

a 2

2

a2 ? 3 ,故只需 g (t ) min ? 0 . 4

a 当 ≤ ?1 即 a ≤ ?2 时, g (t )min ? g (?1) ? a ? 4 ? 0 ? ?4 ? a ≤ ?2 2
当 ?1 ?

a a a2 ? 1 即 ? 2 ? a ? 2 时, g (t ) min ? g ( ) ? ? ? 3 ? 0 ? ?2 ? a ? 2 2 2 4

a 当 ≥ 1 即 a ≥ 2 时, g (t )min ? g (1) ? ?a ? 4 ? 0 ? 2 ≤ a ? 4 2
综上所述, 实数 a 的取值范围 ? ?4, 4? . 20.解: (1)因为 k=7,所以 a1、a3、a7 成等比数列.又{an}是公差 d≠0 的等差数列, 所以(a1+2d) =a1(a1+6d),整理得 a1=2d. 又 a1=2,所以 d=1.
2

b2 a3 a1+2d b1=a1=2,q= = = =2, b1 a1 a1
所以 an=a1+(n-1)d=n+1,bn=b1×q
n-1

=2 .
n+1

n

① 用错位相减法可求得{anbn}的前 n 项和为 Tn=n×2
n


n

② 因为新的数列{cn}的前 2 -n-1 项和为数列{an}的前 2 -1 项的和减去数列{bn}前 n 项 的和, 所以 S2n ?n?1 = 3·2
n-1

?

2 -1? ? 2+2 ? 2? 2 -1? n n-1 2n-1 - =(2 -1)(2 -1).所以 S2n ?n?1 -2 + 2 2-1

n

n

n

=1.
2 2

(2)证明:由(a1+2d) =a1[a1+(k-1)]d,整理得 4d =a1d(k-5). 因为 d≠0,所以 d=

a1? k-5?
4

,所以 q= =

a3 a1+2d k-3 = . a1 a1 2

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因为存在 m>k,m∈N 使得 a1、a3、ak、am 成等比数列,所以 am=a1q =a1?
* 3

?k-3?3 ? ? 2 ?

又在正项等差数列{an}中,am=a1+(m-1)d=a1+ 所以 a1+

a1? m-1? ? k-5?
4



a1? m-1? ? k-5?
4

=a1?

?k-3?3, ? ? 2 ?
3

又 a1>0,所以有 2[4+(m-1)(k-5)]=(k-3) , 因为 2[4+(m-1)(k-5)]是偶数,所以(k-3) 也是偶数,即 k-3 为偶数,所以 k 为奇 数.
3

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