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2009年重庆一中高2010级半期考试(文科)


秘密★启用前

2009 年重庆一中高 2010 级半期考试

数 学(文科)试 题 卷

2009.4

数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。

一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分) 1. 如果 A、B 是互斥事件,那么下列等式正确的是( A. p( A ? B) ? p( A) ? p( B) C. p( A ? B) ? p( A) ? p( B)



B. p( A ? B) ? p( A) ? p( B) D. p( A) ? p( B) ? 1 )

2. 已知直线 m,n 和平面 ? 。下列推论错误的是( A.
m ??? ?? m ? n n ?? ? m ? n? ? ? m / /? 或 m ? ? n ?? ?

B.

m / /n ? ?? n ?? m ??? m / /? ? ? ? m / /n n ?? ?

C. 3.

D.

? 7 ? n ??8 ? n ??(12 ? n) ? (
6 A. A12 ?n 5 B. A12 ?n

) 。 (其中 n ? N * ) C. A76? n
5 D. A7 ?n

4. 已知 8 个数的平均值为 12,从中取走一个数后,其平均值却增加 1,则取 走的那个数为( ) A. 4 B. 5 C. 7 D. 11 5. 将 4 本不同的书随机地发给 3 名同学,则每人至少一本的概率是( ) 2 4 9 9 A. B. C. D. 9 9 16 32 6. 用 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的四位偶数的个数为( A. 48 B 60 C. 72 D. 96 7. 今天是星期四,再过 22009 天后的那一天是( A. 星期一 B. 星期二 ) D. 星期六 )

C. 星期五

1

8. (原创)甲、乙、丙三人同时向某一敌机射击,已知他们击中敌机的概率 分别为 a 、 b 、 c ,且至少有两人击中敌机,敌机才会坠毁,则敌机坠毁的概率 是( ) A. a ? b ? c B. ab ? bc ? ca ? abc C.. ab ? bc ? ca ? 2abc D.. 1 ? (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c)

9. (原创)用 4 种不同的颜色给三棱锥 A-BCD 各棱涂色,每条棱涂一种颜 色, 要求共顶点的棱不涂同种颜色, 且四种颜色用完, 则共有不同涂色方法 ( )

A. 36 种 B. 48 种 C. 72 种 D. 78 种 10. 正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图一的展开图,则在原正方体中有 ( ) A. AB//CD B. AB//EF C. CD//GH D.AB//GH
B

A

D

F C E

H

G

图一 二、填空题: (每小题 5 分,共 25 分) 11. ?1 ? 2 x 2 ? (1 ? x)5 展开式中 x 3 项的系数为 。

12. 设地球半径为 R,在北纬 45°圈上有 A、B 两地,它们在纬度圈上的弧长 等于
2 ? R ,则 A、B 两地的球面距离是 4



13. 某工厂生产某种产品 13200 件,它们来自甲、乙、丙三条生产线,为了 检查这批产品的质量,决定采用分层抽样方法进行抽样,已知从甲、乙、丙三条 生产线抽取的个体数正好组成一个等差数列,则乙生产线生产了 产品 件。 14. 一个袋中装有九个零件,其中有 5 个不同的正品和 4 个不同的次品,现 从中一个一个地抽取检验, 若最后一个次品恰好在第 5 次发现,则共有不同抽法 种数为 。 (数字作答) 15. (原创)在一个袋中装有标号为 1 到 10 的 10 个大小相同的小球,某人 有放回地抽取 3 次,则至少有两次摸出相同号码的小球的概率 为 。

2

三、解答题: (共 75 分)
2 16.(13 分)在二项式 ( x ? )n 的展开式中,各项的二项式系数之和与各项 x 系数和之比为 64.( n ? N * ) (1)求 n 值; (2)求展开式中的常数项。

17.(13 分)从 4 名男同学,3 名女同学中选取 5 名同学,坐在一排标有号 码 1,2,3,4,5 的五个位置上,分别求下列条件下的不同坐法总数。 (1)女同学不坐两边; (2)男女相间; (3)男同学必须坐在奇数号座位上。

18. (13 分)某人投篮的命中率为

1 ,现独立投篮 6 次。 2

(1)求恰好命中 3 次的概率; (2)若 6 次中有 3 次投中,求没有任何两次连续投中的概率。

19. ( 12 分 ) 如 图 二 所 示 , 在 直 三 棱 柱 A B C ? 'A 'B 中 'C ,
?BAC ? 90?, AB ? BB ' ? 1 ,直线 B′C 与平面 ABC 成 30? 角。

(1)求证: A?B ? 面 AB?C ; (2)求二面角 B ? B ' C ? A 的正弦值。

A′ B′

C′

A B

C

图二 20. (12 分) (原创)有两个质点 A、B 分别位于直角坐标系点(0,0) , (1,1) ,从某一时刻开始,每隔 1 秒,质点分别向上下左右任一方向移动一个 1 1 单位,已知质点 A 向左右移动的概率都是 ,向上移动的概率为 ,向下移动 4 3 的概率为 x ;质点 B 向四个方向移动的概率均为 y。 (1)求 x 和 y 的值; (2)试问至少经过几秒,A、B 能同时到达点 C(2,1) ,并求出在最短时 间内同时到达点 C 的概率。

3

21. (12 分)如图三所示,在四棱锥 S-ABCD 中, BA ? 面 SAD, CD ? 面 SAD,SA ? SD,且 SA=SD=DC=2AB.O 为 AD 中点。 (1)求证:SO ? BC; S (2)求直线 SO 与面 SBC 所成的角。

D O A B

C

图三

4

2009 年重庆一中高 2010 级半期考试(本部)

数 学(文科)试 题 答 案
1-10: CDABB 11: 20 ;12: BACCC

2009.4

?R
3
n

; 13: 4400; 14: 480; 15:
n

7 25
(6 分)

16: (1)由 2 : ? ?1? ? 64 得 ? ?2 ? ? 64 ,∴ n ? 6 。
n

(2)由(1)知,Tr ?1 ? C6 ( x )
r

6?r

6 ?3 r 2 r ? (? )r ? (?2) r C6 x 2 x
2 2

(10 分)

由 6-3r=0 得 r=2, ∴展开式中的常数项为 (?2) C6 ? 60 17. (1)共有 A4 ? A5 ? 720 种不同坐法
2 3

(13 分) (4 分)
3 2

(2)3 男 2 女时有 A4 ? A3 ? 144 种不同坐法,3 女 2 男时有 A3 ? A4 ? 72 种不同解法。
3 2

共有 144+72=216 种不同坐法。 (8 分) (3)男同学必须坐奇数号座位,相当于偶数号座位上必须是女同学,故共有
3 A32 ? A5 ? 360 种不同坐法。

(13 分)
3

1 6 5 (7 分) 2 16 1 3 1 6 (2)没有连续投中的概率为 C4 ( ) ? (13 分) 2 16 19.(1) )∵ AC ? AB , AC ? AA? ∴ AC ⊥面 A?ABB? ∴面 AB ' C ? 面 A ' ABB ' , (3 分) 连接 A ' B ,由已知有 A ' B ? AB? ,则 A ' B ? 面 AB ' C 。 (6 分) (2) 设 A?B ? AB? 于 M , 过 M 作 MN ? B ' C 于 N 。 连 BN , 由三垂线定理得:BN ? B ' C ∴ ?BNM 为二面角 B ? B ' C ? A 的平面角 (10 分)
18. (1)恰有 3 次命中的概率为 C6 ( ) ?

BM ? 在 Rt△ BMN 中,

2 , 又 B ' C 与平面 ABC 成 30°角即 ?B ' CB ? 30?? BC ? 3 。 2
(12 分) (2 分) (4 分)

从而 BN ?

3 BM 6 ? 。 sin ?BNM ? 为所求。 2 BN 3

20.(1)由已知得:

1 1 1 1 ? ? ? x ? 1,? x ? 4 4 3 6 1 又由 4 y ? 1 得, y ? 4

(2)质点 A 至少需要经过 3 秒才能到达 C 点,质点 B 至少需要 1 秒才能到达 C 点,所以 至少需要 3 秒,A,B 才能同时到达点 C(2,1) (6 分)
5

1 1 1 (8 分) ? 4 3 16 1 9 质点 B 经过 3 秒到达 C 点的概率为 9( )3 ? (10 分) 4 64 1 9 9 因为 A,B 相互独立,所以它们同时到达 C 点的概率为 ? (12 分) ? 16 64 1024 21.(1)∵ BA ? 面 SAD , CD ? 面 SAD ∴ BA / /CD ∴面 ABCD ? 面 SAD (3 分) 又 SA ? SD , O 为 AD 中点,∴ SO ? AD ∴ SO ? 面 ABCD 故 SO ? BC (5 分) (2)过 O 作 OE ? BC 于 E ,连 SE ,则由三垂线定理, BC ? SE.? BC ? 面 SOE ∴面 SBC ? 面 SOE ,从而 SE 就是 SO 在面 SBC 上的射影 在直角△ SOE 中, ?OSE 为所求 SO 与面 SBC 所成的角。 (8 分)
质点 A 经过 3 秒到达 C(2,1)点的概率为 3 ? ( ) 2 ?

? 4 2a , 而 设 AB ? a , 延 长 CB 交 DA 延 长 线 于 F , 则 D A ? 2 S O? 2 2 a, D F 从

FC ? 6 a。 OE DC 2a ∴由 得:OE ? ? ? 3 2a ? 2a OF FC 6a OE ∴ tan ?OSE ? ? 1. 即 ?OSE ? 45? SO
(其他计算方法相应给分) S

(10 分) (12 分)

D O A B E

C

F

6


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