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安徽省马鞍山市2015届高中毕业班第二次教学质量检查数学理试题 Word版含答案


2015 年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测

高三 理科数学
第 I 卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是宇合题目要求的,请在答题卡相应位置将正确结论的代号用 2B 铅笔涂黑. (1)己知集合 M={x|

1+x >0},则 CR M=(▲) 1-x
B. {x|-1≤x≤1} D. {x|x≤-1} 或 x≥1}

A.{x|-1≤x<1} C. {x|x≤-1} 或 x>1} (2)设 i 为虚数单位,则复数 A、i B、-i

2?i 的共扼复数是(▲) 1 ? 2i 3 3 C、 i D、- i 5 5

(3)设{an}是公比为 q 的等比数列,则"0<q<1”是“{an}为递减数列”的(▲) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 (4) (3 ? a)(a ? 6)(?6 ? a ? 3) 的最大值为(▲) A、

9 2

B、9

C、

3 2 2

D、3

(5)已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若 AO ?

A. 300 B. 600 C. 900 D. 1200 (6)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 lcm) ,图中粗线画出的是某零件的三视图, 该零件由一个底面半径为 3cm,高为 6m 的圆柱体毛坯切削得到,则零件的体积与原来毛坯体 积的比值为(▲)

1 ( AB ? AC ) ,则 AB 与 AC 的夹角为( 2



A、

10 27

B、

17 27

C、

2 3

D、

4 9

(7)执行如图所示的程序框图,输出的 S 的值为(▲)

A. 6 (8) 定义运 则

B. 11

C. 16

D. 21 , 已知

-1-

(9)己知 F1、F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? ?? b ? ? ? 学科网的左、右焦点,过点 F2 与双曲 a 2 b2

线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M, 若点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆 内,则双曲线离心率 的取值范围是(▲) A.( 3 ,+ ? ) B. (2,+ ? ) C. ( 3 ,2) D. (1,2) (10)如图所示的图形是由一个半径为 2 的圆和两个半径为 1 的半圆组成,它们的圆心分别 是 O,O1,O2,动点 P 从 A 点出发沿着圆弧按 A→O→B→C→A→D→B 的路线运动(其中 A, O,O1,O2,B 五点共线) ,记点 P 运动的路程为 x,设 y ?| O1P |2 ,y 与 x 的函数关系 为 y= f (x) 则 y =.f (x)的大致图象是(▲)

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请在答题卡上答题. (11)已知 f (x)是定义在 R 上周期为 4 的奇函数, 当 x ? (0, 2]时, f(x)= 3x ? log3x , 则 f (2015) = . (12) 以平面直角坐标系的原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线

? ? x ? 7 cos ? (? ? y ? 7 sin ? ? ? 为 参 数 , ? ? R ) 上 的 点 到 曲 线 ? (cos ? ? sin ? ) ? 4( ? ,? ? R) 的 最 短 距 离
是 (13)已知 则 (14)己知实数 x, y 满足 ,则 x-2y 的取值范围是 . .

(15)甲、乙、丙三人参加一个掷硬币的游戏,每一局三人各掷硬币一次:当有一人掷得的 结果与其他·二人不同时,此人就出局且游戏终止;否则就进入下一局,并且按相同的规则
-2-

继续进行游戏;规定进行第十局时,无论结果如何都终止游戏.己知每次掷硬币中正面向上 与反面向上的概率都是

1 ,则下列结论中正确的是 2 1 ①第一局甲就出局的概率是 ; 3 1 ②第一局有人出局的概率是 ; 2 3 ③第三局才有人出局的概率是 ; 64 1 ; 3 1 ⑤该游戏在终止前,至少玩了六局的概率大于 · 1000
④若直到第九局才有人出局,则甲出局的概率是

(写出所有正确结论的编号) .

三、解答题: (16)(本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? a ? b ,其中向量 a ? (2cos x, 3 cos x) , b ? (cos x, 2sin x) . (Ⅰ )求函数 f ( x) 的最小正周期和在 [0, ? ] 上的单调递增区间;
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(Ⅱ ) △ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ,求 f (C ) 的取值范围.

(17)(本题满分 12 分) 某程序每运行一次都随机产生一个五位的二进制数 A ? a1 a2 a3 a4 a5 ,其中 A 的各位数
5 1 3 字中, a1 ? 1 ,且 ak (k ? 2,3, 4,5) 为 0 和 1 的概率分别是 和 .记 ? ? ? ai ,当程序运行一次 4 4 i ?1 时: (Ⅰ )求 ? ? 3 的概率;

(Ⅱ )求 ? 的分布列和数学期望.

(18) (本小题满分 12 分) 如图,三棱锥 O ? ABC 中,三条侧棱 OA, OB, OC 两两垂直,且长度均为 4 , E , F 分别是
AB , AC 的中点,过 EF 作平面 ? ,平面 ? 与侧棱 OA 相交于 A1 ,与侧棱 OB , OC 的延长线分别

交于点 B1 , C1 ,且 OA1 ? 3 . (Ⅰ )求证: BC∥B1C1 ; (Ⅱ )求二面角 O ? A1 B1 ? C1 的余弦值.

A

A1

F
E

C

C1

O

-3-

B

B1

(19) (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax , g ( x) ? ln x . (Ⅰ )若函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 有极值 ?1 ,求实数 a 的值; (Ⅱ )若函数 G( x) ? f [sin(1 ? x)] ? g ( x) 在区间 (0,1) 上为增函数,求实数 a 的取值范围.

(20) (本小题满分 13 分) y 2 x2 如图, 椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与抛物线 C2 : x 2 ? 4 y 有公共的焦点 F . 点 A 为椭圆 C1 与 a b 抛物线 C2 准线的交点之一,过 A 向抛物线 C2 引切线 AB ,切点为 B ,且点 A, B 都在 y 轴的右 侧. (Ⅰ )证明: FA ? FB ; (Ⅱ )证明:直线 AB 是椭圆 C1 的切线.

y B

F

O
A

x

(21) (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且
an ?1 kn ? b ? ? k (n ? N* ) . an 2n

(Ⅰ )若 k ? 0 , b ? 1 ,求 {an } 的通项公式; (Ⅱ )若 k ? 1 , b ? 0 ,求证:当 n ? 3 时, an ? 3 ?
n ?1 . 2n ?1

-4-

2015 年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测

高三理科数学答案
一、选择题: 题号 答案 1 D 2 B 3 D 4 A 5 C 6 B 7 C 8 A 9 D 10 A

二、填空题: (11) 【答案】 ?3 . (12) 【答案】 2 2 ? 7 (13) 【答案】 33 . ? ? (14) 【答案】 [ ? 3, ] . 3 2 (15) 【答案】③ ④ . 三、解答题: (16)(本题满分 12 分)

? 解: (Ⅰ ) f ( x) ? 2cos2 x ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 1, 6 2? ?函数f ( x)的最小正周期T ? ?? 2 ? ? ? 由 ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? (k ? Z) 及 x ? [0, ? ] 2 6 2 ? 2? 得 f ( x) 在[0,π]上单调递增区间为 [0, ],[ , ? ] . 6 3 ………………6 分 1 (Ⅱ ) a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab , cos C ? 2 ? ?0 ? C ? 3 ………………9 分 ? ? ? 5? , 由f (C) ? 2sin(2C ? ) ? 1, ? 2C ? ? 6 6 6 6 ? 当C ? 时,f (C )max ? 3 6 ? 当 C= 时, f (C )min ? 2 3
? f (C ) ? [2,3]

………………………12 分

(17)(本题满分 12 分)
-5-

【命题意图】本题考查随机变量的分布列与期望等基础知识,考查学生应用知识解决问题的 能力,容易题. 解: (Ⅰ )已知 a1 ? 1 ,要使 ? ? 3 , 只须后四位数字中出现 2 个 0 和 2 个 1

54 2 3 2 1 2 ? P(? ? 3) ? C4 ( ) ( ) ? 4 4 256 ???? 5 分 (Ⅱ ) ? 的取值可以是 1,2,3,4,5,

????? 6 分 1 12 54 0 1 4 1 3 1 3 2 3 2 1 2 , P(? ? 2) ? C4 , P(? ? 3) ? C4 , P(? ? 1) ? C4 ( ) ? ( )( ) ? ( ) ( ) ? 4 256 4 4 256 4 4 256 108 81 3 3 3 1 4 3 4 , P(? ? 5) ? C4 , P(? ? 4) ? C4 ( ) ( )? ( ) ? 4 4 256 4 256 ? ? 的分布列是 ? 1 2 3 4 5 1 12 54 108 81 P 256 256 256 256 256 ??? ? 10 分 1 12 54 108 81 ? E? ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 5? ?4 256 256 256 256 256 ????? 12 分 3 3 (另解:记 ? ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ,则 ? ? ? ? 1 , ? ~ B(4, ) , E? ? E? ? 1 ? 4 ? ? 1 ? 4 ) 4 4

(18) (本小题满分 12 分) 【命题意图】本题考查空间线面的位置关系,考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力, 中等题. (Ⅰ ) 证明:
E , F 为AB, AC中点 ? BC∥EF ? ? BC ? 面A1 B1C1 ? ? BC∥面A1 B1C1 , EF ? 面A1 B1C1 ? ?
? ? ? 6分 BC ? 面OBC ? ? BC∥B1C1 ; ? 面OBC 面A1 B1C1 =B1C1 ? (Ⅱ )以 O 为坐标原点, OB, OC , OA 分别为 x, y, z 正半轴,建立空间直角坐标系, BC∥面A1 B1C1

则 B(4, 0, 0) , C (0, 4, 0) , A(0, 0, 4) , A1 (0, 0,3) , E (2, 0, 2) , F (0, 2, 2) , 二面角 O ? A1 B1 ? C1 即为二面角 O ? A1 E ? F , 由 OA, OB, OC 垂直知 OC ? 面OA1 E ,故 面OA1 E 的法向量可以取 m ? (0,1,0) , 设 面FA1 E 的法向量 n ? ( x, y, z) ,则有
?n ? A1 E ? ( x, y, z ) ? (2, 0, ?1) ? 2 x ? z ? 0 ? , ? ? ?n ? EF ? ( x, y, z ) ? (?2, 2, 0) ? ?2 x ? 2 y ? 0

令 x ? 1 得 n ? (1,1, 2) , cos ? m, n ??

m?n 1 6 = = , | m | ? | n | 1? 6 6
-6-

所以二面角 O ? A1 B1 ? C1 的余弦值为

6 . 6

????? 12 分 注:若学生第(Ⅱ )问给出正确的几何解法,请给分.

(19) (本题满分 13 分) 【命题意图】本题考查导数与不等式的应用,考查学生运算能力、推理思维能力和解决具体 问题的能力,中等题. 1 (Ⅰ ) F ( x) ? ax ? ln x , F '( x) ? a ? ( x ? 0) , x 当 a ? 0 时, F '( x) ? 0 , F ( x) 在 (0, ??) 上单减,无极值,
1 1 当 a ? 0 时, F ( x) 在 (0, ) 上单减,在 ( , ??) 上单增, a a 1 1 ?2 由题, F ( ) ? 1 ? ln ? ?1 ,故 a ? e ; a a ????? 6 分 1 (Ⅱ ) G( x) ? a sin(1 ? x) ? ln x , G '( x) ? ?a cos(1 ? x) ? , x 1 由题, G '( x) ? ?a cos(1 ? x) ? ? 0 对 x ? (0,1) 恒成立, x ????? 8 分
x ? (0,1) 时, cos(1 ? x) ? 0 ,故 a ?

1 对 x ? (0,1) 恒成立, x cos(1 ? x)

记 h( x ) ?

1 cos(1 ? x) ? x sin(1 ? x) (0 ? x ? 1) ,则 h '( x) ? ? ?0, x cos(1 ? x) [ x cos(1 ? x)]2

故 h ( x ) 在 (0,1) 上单减,又 h(1) ? 1 ,所以 a ? 1 . ????? 13 分

(20) (本小题满分 13 分) 【命题意图】本题考查椭圆、抛物线的方程与性质,考查利用导数求曲线切线的方法,考查 学生运算能力、分析问题的能力,较难题. (Ⅰ )由题,抛物线 C2 的准线为 y ? ?1 ,
y2 x2 a2 ?1 ? 2 ? 1(a ? 1) 得点 A( , ?1) , 2 a a a ?1 x x2 抛物线 C2 : x 2 ? 4 y 即 y ? , y ' ? , 2 4 2 2 x0 x0 x 设点 B( x0 , ) ,则切线 AB : y ? ? 0 ( x ? x0 ) , 4 4 2 x2 x a2 ? 1 a2 ?1 将点 A( , ?1) 代入上式,得: ?1 ? 0 ? 0 ( ? x0 ) , a 4 2 a

代入椭圆 C1 :

2 ? 2(a 2 ? 1) x0 ? 4a ? 0 ,即 (ax0 ? 2)( x0 ? 2a) ? 0 , 即 ax0

-7-

由于点 A, B 在 y 轴的右侧,所以点 B(2a, a 2 ) , 从而 FA ? FB ? (
a2 ?1 a2 ?1 , ?1 ?1) ? (2a, a2 ?1) ? ? 2a ? (?2) ? (a2 ? 1) ? 0 , a a

故 FA ? FB ; ????? 7 分 (Ⅱ )由(Ⅰ )得直线 AB : y ? a 2 ? a( x ? 2a) ,即 y ? ax ? a 2 ,
? y2 x2 2 2 x2 ? 2? 2 ? 1 (ax ? a ) ? ? ? 1 ? (a 2 ? 1)( x ? a)2 ? x 2 ? a 2 ? 1 , ?a a ?1 2 2 a a ? 1 2 ? ? y ? ax ? a 整理得: a2 x2 ? 2a(a 2 ? 1) x ? (a 2 ? 1)2 ? 0 ,即 [ax ? (a 2 ? 1)]2 ? 0 ,

a2 ?1 ,故直线 AB 是椭圆 C1 的切线. a ????? 13 分 注:本题若有学生利用抛物线、椭圆的光学性质完成正确解答,请酌情给分.

该方程有两个等根

(21) (本小题满分 13 分) 【命题意图】本题考查数列与不等式的综合运用,考查数学归纳法证明数列不等式,考查学 生应用知识解决问题的能力,较难题. (Ⅰ )当 k ? 0 , b ? 1 时, ?n ? N * , 由累乘法得: an ? a1 ? 5分 (Ⅱ )法一:当 k ? 1 ,b ? 0 时, 当 n ? 3 时,由 3 ?
an ?1 n 1 3 2 9 ? n ? 1( n ? N* ) , a2 ? ( 1 ? 1)a1 ? ,a3 ? ( 2 ? 1)a2 ? , an 2 2 4 2 2 an ?1 1 ? n , an 2

a2 a3 ? ? a1 a2

?

an 1 1 ? 1? 1 ? 2 ? an ?1 2 2

?

1 2n ?1

? 2?[1? 2 ?

? ( n ?1)]

?2

?

n ( n ?1) 2



? ?

n ?1 9 ? 2 ? ? a3 知不等式成立; n ?1 4 2 k ?1 假设 n ? k (k ? 3) 时, ak ? 3 ? k ?1 ,那么: 2 k k k ?1 k (k ? 1) k ? 2 ak ?1 ? ( k ? 1)ak ? ( k ? 1)(3 ? k ?1 ) ? 3 ? 2k ?1 ? k , 2 2 2 2 2 k (k ? 1) k ? 2 k ?2 k ?2 k ?2 k k (k ? 1) 要证 3 ? 2k ?1 ? k ? 3 ? k ,只需证 k ? k ? k ?1 ? 2k ?1 , 2 2 2 2 2 2 2 即证 2k ? k ? 1 , 1 1 ? ? Ckk ? Ck0 ? Ck ? k ? 1 ,故 n ? k ? 1 时不等式仍然成立, 而 2k ? Ck0 ? Ck

综上,当 n ? 3 时, an ? 3 ? ????? 13 分

n ?1 . 2n ?1
an ?1 n ? n ? 1( n ? N* ) ,由于 a1 ? 1 , an 2

(Ⅱ )法二:当 k ? 1 , b ? 0 时, 所以

an ?1 1 3 2 9 ? 1( n ? N* ) ,且 a2 ? 1 a1 ? a1 ? , a3 ? 2 a2 ? a2 ? , an 2 4 2 2

于是 n ? 2 时有: an ?1 ? an ? 1 , n ?1 n ?1 n ?1 当 n ? 3 时, an ? n ?1 an ?1 ? an ?1 ? n ?1 ? an ?1 ,即 an ? an ?1 ? n ?1 , 2 2 2
-8-

于是: an ? a3 ? (a4 ? a3 ) ? (a5 ? a4 ) ? 令S ?
3 4 ? ? 23 24 ?

? (an ? an ?1 ) ? a3 ?

3 4 ? ? 23 24

?

n ?1 , 2n ?1

n ?1 , 2n ? 2 1 1 (1 ? n ? 4 ) 3 1 1 1 n ? 1 3 23 n ?1 n ?1 2 相减得: S ? 2 ? ( 3 ? 4 ? ? n ? 2 ) ? n ?1 ? ? ? n ?1 ? 1 ? n ?1 , 1 4 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 13 n ? 1 n ?1 所以 an ? a3 ? S ? ? n ?1 ? 3 ? n ?1 . 4 2 2 ????? 13 分 ?

n ?1 3 4 , 2S ? 2 ? 3 ? n ?1 2 2 2

-9-


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