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尚义县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

尚义县第一高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含答案 班级__________ 一、选择题
1. 函数 A.(﹣∞,2) 的定义域是( )

座号_____

姓名__________

分数__________

B.[2,+∞) C.(﹣∞,2] D.(2,+∞)

2. 已知三个数 a ? 1 , a ? 1 , a ? 5 成等比数列,其倒数重新排列后为递增的等比数列 {an } 的前三 项,则能使不等式 a1 ? a2 ? ? ? an ? A.9

1 1 1 ? ? ? ? 成立的自然数的最大值为( a1 a2 an
C.7 )
2

) D.5

B.8

3. 满足下列条件的函数 f ( x) 中, f ( x) 为偶函数的是( A. f (e ) ?| x |
x

B. f (e ) ? e
x

2x

C. f (ln x) ? ln x

D. f (ln x) ? x ?

1 x

【命题意图】本题考查函数的解析式与奇偶性等基础知识,意在考查分析求解能力. 4. 对于函数 f(x),若?a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)为某一三角形的三边长,则称 f(x)为“可 构造三角形函数”,已知函数 f(x)= A. C. D.     5.已知定义在 R 上的可导函数 y=f(x) 是偶函数, 且满足 xf′(x) <0, 的 x 的范围为( ) B.( ,1)∪(1,2) C.( ,1)∪(2,+∞) D.(0, )∪(2,+∞ =0, 则满足 是“可构造三角形函数”,则实数 t 的取值范围是( )

A.(﹣∞, )∪(2,+∞) )   6. 下列命题正确的是(
2


2 2 2

A.已知实数 a, b ,则“ a ? b ”是“ a ? b ”的必要不充分条件 B.“存在 x0 ? R ,使得 x0 ? 1 ? 0 ”的否定是“对任意 x ? R ,均有 x ? 1 ? 0 ” C.函数 f ( x) ? x 3 ? ( ) 的零点在区间 ( , ) 内
x 1

1 2

1 1 3 2

D.设 m, n 是两条直线, ? , ? 是空间中两个平面,若 m ? ? , n ? ? , m ? n 则 ? ? ? 7. 已知三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示,则 =( )

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A.﹣1 8. 函数 A.

B.2 的定义域为( B.

C.﹣5 ) C.

D.﹣3

D.( ,1)

9. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别为 BC , BB1 的中点,则下列直线中与直线 EF

相交

的是(
A.直线 AA1

) B.直线 A1 B1 ) C. 直线 A1 D1 D.直线 B1C1

10.四棱锥 P﹣ABCD 的底面是一个正方形,PA⊥平面 ABCD,PA=AB=2,E 是棱 PA 的中点,则异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值是(

A.

B.

C.

D. )

11.执行如图所示的程序,若输入的 x ? 3 ,则输出的所有 x 的值的和为( A.243    B.363    C.729    D.1092

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【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算,意在考查识图能力、简单的计算能力. 12.已知数列 ?an ? 的各项均为正数, a1 ? 2 , an ?1 ? an ?

? 1 ? 4 ,若数列 ? ? 的前 n 项和为 5,则 an ?1 ? an a ? a ? n ?1 n ?

n ?(
A. 35

) B. 36 C. 120 D. 121
2

二、填空题
13. 【2017-2018 第一学期东台安丰中学高三第一次月考】 函数 f ? x ? ? lnx ? x 的单调递增区间为__________. 14 . 已 知 函 数 f ( x) ? a sin x cos x ? sin x ?
2

1 ? 的 一 条 对 称 轴 方 程 为 x ? , 则 函 数 f ( x) 的 最 大 值 为 2 6

___________.

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【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值,意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思 想与方程思想. 15.在 ?ABC 中,已知 sin A : sin B : sin C ? 3 : 5 : 7 ,则此三角形的最大内角的度数等 于__________. 16.已知△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,asinA=bsinB+(c﹣b)sinC,且 bc=4,则△ABC 的 面积为      . 17.设 α 为锐角, =(cosα,sinα), =(1,﹣1)且 ? = ,则 sin(α+ )=   .

18.已知 x,y 满足条件  

,则函数 z=﹣2x+y 的最大值是      .

三、解答题
19.中国高铁的某个通讯器材中配置有 9 个相同的元件,各自独立工作,每个元件正常工作的概率为 p(0<p <1),若通讯器械中有超过一半的元件正常工作,则通讯器械正常工作,通讯器械正常工作的概率为通讯器 械的有效率 (Ⅰ)设通讯器械上正常工作的元件个数为 X,求 X 的数学期望,并求该通讯器械正常工作的概率 P′(列代 数式表示) (Ⅱ)现为改善通讯器械的性能,拟增加 2 个元件,试分析这样操作能否提高通讯器械的有效率.  

20.如图,在四棱柱 (Ⅰ)求证: (Ⅱ)求证: (Ⅲ)若 平面 ; ,判断直线 ;

中,

底面









与平面

是否垂直?并说明理由.

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21..已知定义域为 R 的函数 f(x)= (1)求 a 的值;

是奇函数.

(2)判断 f(x)在(﹣∞,+∞)上的单调性.(直接写出答案,不用证明); (3)若对于任意 t∈R,不等式 f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

22.(本题满分 15 分) 如图,已知长方形 ABCD 中, AB ? 2 , AD ? 1 , M 为 DC 的中点,将 ?ADM 沿 AM 折起,使得平面

ADM ? 平面 ABCM .
(1)求证: AD ? BM ; (2)若 DE ? ? DB(0 ? ? ? 1) ,当二面角 E ? AM ? D 大小为

?
3

时,求 ? 的值.

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【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,意在考查空间想象能力和运算求解能力.

23.已知双曲线 C:

与点 P(1,2).

(1)求过点 P(1,2)且与曲线 C 只有一个交点的直线方程; (2)是否存在过点 P 的弦 AB,使 AB 的中点为 P,若存在,求出弦 AB 所在的直线方程,若不存在,请说明 理由.

24.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AD=AA1=1,AB=2,点 E 在棱 AB 上移动. (1)证明:BC1∥平面 ACD1. (2)当 时,求三棱锥 E﹣ACD1 的体积.

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尚义县第一高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含答案(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】D 【解析】解:根据函数有意义的条件可知 ∴x>2 故选:D   2. 【答案】C 【解析】 试题分析:因为三个数 a ? 1, a ? 1, a ? 5 等比数列,所以 ? a ? 1? ? ? a ? 1?? a ? 5 ? ,? a ? 3 ,倒数重新排列后恰
2

好为递增的等比数列 {an } 的前三项,为 ,

?1? 1 1 1 1 , ,公比为,数列 ? ? 是以为首项, 为公比的等比数列,则 8 4 2 2 ? an ?

1 ? ? 1 1 ? 2n ? 8 ?1 ? n ? ? 1 1 1 2 ? ? ? ? ? ? ? 等价为 8 不等式 a1 ? a2 ? ? ? an ? ,整理,得 1 1? 2 a1 a2 an 1? 2 n 7 2 ? 2 ,?1 ? n ? 7, ? n ? N ? ,故选 C. 1
考点:1、等比数列的性质;2、等比数列前项和公式. 3. 【答案】D. 【 解 析 】

4. 【答案】D 【解析】解:由题意可得 f(a)+f(b)>f(c)对于?a,b,c∈R 都恒成立, 由于 f(x)= =1+ ,

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①当 t﹣1=0,f(x)=1,此时,f(a),f(b),f(c)都为 1,构成一个等边三角形的三边长, 满足条件. ②当 t﹣1>0,f(x)在 R 上是减函数,1<f(a)<1+t﹣1=t, 同理 1<f(b)<t,1<f(c)<t, 由 f(a)+f(b)>f(c),可得 2≥t,解得 1<t≤2. ③当 t﹣1<0,f(x)在 R 上是增函数,t<f(a)<1, 同理 t<f(b)<1,t<f(c)<1, 由 f(a)+f(b)>f(c),可得 2t≥1,解得 1>t≥ 综上可得, ≤t≤2, ,2], .

故实数 t 的取值范围是[ 故选 D.

【点评】本题主要考查了求参数的取值范围,以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域,同时 考查了分类讨论的思想,属于难题.   5. 【答案】D 【解析】解:当 x>0 时,由 xf′(x)<0,得 f′(x)<0,即此时函数单调递减, ∵函数 f(x)是偶函数, ∴不等式 即| |> ,即 等价为 f(| > 或 |)< <﹣ , ,

解得 0<x< 或 x>2, 故 x 的取值范围是(0, )∪(2,+∞) 故选:D 【点评】本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键.   6. 【答案】C 【解析】



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点:1.不等式性质;2.命题的否定;3.异面垂直;4.零点;5.充要条件. 【方法点睛】本题主要考查不等式性质,命题的否定,异面垂直,零点,充要条件.充要条件的判定一般有① 定义法:先分清条件和结论(分清哪个是条件,哪个是结论),然后找推导关系(判断 p ? q, q ? p 的真假), 最后下结论(根据推导关系及定义下结论). ②等价转化法:条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆 否命题来判断. 7. 【答案】C 【解析】解:由三次函数的图象可知,x=2 函数的极大值,x=﹣1 是极小值, 即 2,﹣1 是 f′(x)=0 的两个根, ∵f(x)=ax3+bx2+cx+d, ∴f′(x)=3ax2+2bx+c, 由 f′(x)=3ax2+2bx+c=0, 得 2+(﹣1)= ﹣1×2= =﹣2, =1,

即 c=﹣6a,2b=﹣3a, 即 f′(x)=3ax2+2bx+c=3ax2﹣3ax﹣6a=3a(x﹣2)(x+1), 则 故选:C 【点评】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系,以及根与系数之间的关系的应用,考查学生的计算能力 .   8. 【答案】C 【解析】解:要使原函数有意义,则 log2(4x﹣1)>0, 即 4x﹣1>1,得 x ∴函数 故选:C. 【点评】本题考查函数的定义域及其求法,是基础的计算题.   9. 【答案】D 【解析】 试题分析:根据已满治安的概念可得直线 AA1 , A1 B1 , A1 D1 都和直线 EF 为异面直线, B1C1 和 EF 在同一个平 面内,且这两条直线不平行;所以直线 B1C1 和 EF 相交,故选 D. . 的定义域为 . = = =﹣5,

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考点:异面直线的概念与判断. 10.【答案】B 【解析】解:以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AP 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 则 B(2,0,0),E(0,0,1),A(0,0,0),C(2,2,0), =(﹣2,0,1), =(2,2,0), 设异面直线 BE 与 AC 所成角为 θ, 则 cosθ= 故选:B. = = .

  11.【答案】D 【解析】当 x ? 3 时, y 是整数;当 x ? 3 时, y 是整数;依次类推可知当 x ? 3 ( n ? N *) 时, y 是整数,则
2

n

由 x ? 3 ? 1000 ,得 n ? 7 ,所以输出的所有 x 的值为 3,9,27,81,243,729,其和为 1092,故选 D.
n

12.【答案】C 【解析】解析:本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前 n 项和.由 an ?1 ? an ?
2 2

得 an ?1 ? an ? 4 ,∴ an 是等差数列,公差为 4 ,首项为 4 ,∴ an ? 4 ? 4( n ? 1) ? 4n ,由 an ? 0 得
2

? ?

4 an ?1 ? an

2

an ? 2 n .

? 1 ? 1 1 1 ? ? ( n ? 1 ? n ) ,∴数列 ? ? 的前 n 项和为 an ?1 ? an 2 n ? 1 ? 2 n 2 ? an ?1 ? an ? 1 1 1 1 ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2) ? ? ? ( n ? 1 ? n ) ? ( n ? 1 ? 1) ? 5 ,∴ n ? 120 ,选 C. 2 2 2 2

二、填空题

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13.【答案】 ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ? ?

【解析】 14.【答案】1 【 解 析 】

15.【答案】 120 【解析】

?

考 点:解三角形. 【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题,其中解答中涉及到三角形的正弦定理、余弦定理的综合应用,着 重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,属于基础题,本题的解答中根据

sin A : sin B : sin C ? 3 : 5 : 7 ,根据正弦定理,可设 a ? 3, b ? 5, ? 7 ,即可利用余弦定理求解最大角的余弦,
熟记正弦、余弦定理的公式是解答的关键. 16.【答案】   .

【解析】解:∵asinA=bsinB+(c﹣b)sinC, ∴由正弦定理得 a2=b2+c2﹣bc,即:b2+c2﹣a2=bc, ∴由余弦定理可得 b2=a2+c2﹣2accosB,

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∴cosA= ∵bc=4, ∴S△ABC= bcsinA= 故答案为:

=

= ,A=60°.可得:sinA=



=



【点评】本题主要考查了解三角形问题.考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用,考查了三角形面积公式的 应用,属于中档题.   17.【答案】: . ,

【解析】解:∵ ? =cosα﹣sinα= ∴1﹣sin2α= ,得 sin2α= , ∵α 为锐角,cosα﹣sinα= ∴cos2α= ∵α 为锐角,sin(α+ =

?α∈(0, ,

),从而 cos2α 取正值,

)>0,

∴sin(α+

)=

=

=

= 故答案为: .



18.【答案】 4 .

【解析】解:由约束条件

作出可行域如图,

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化目标函数 z=﹣2x+y 为 y=2x+z,由图可知,当直线 y=2x+z 过点 A(﹣2,0)时, 直线 y=2x+z 在 y 轴上的截距最大,即 z 最大,此时 z=﹣2×(﹣2)+0=4. 故答案为:4. 【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.  

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由题意可知:X~B(9,p),故 EX=9p. 在通讯器械配置的 9 个元件中,恰有 5 个元件正常工作的概率为: 在通讯器械配置的 9 个元件中,恰有 6 个元件正常工作的概率为: 在通讯器械配置的 9 个元件中,恰有 7 个元件正常工作的概率为: 在通讯器械配置的 9 个元件中,恰有 8 个元件正常工作的概率为: 在通讯器械配置的 9 个元件中,恰有 9 个元件正常工作的概率为: 通讯器械正常工作的概率 P′= (Ⅱ)当电路板上有 11 个元件时,考虑前 9 个元件, 为使通讯器械正常工作,前 9 个元件中至少有 4 个元件正常工作. ①若前 9 个元素有 4 个正常工作,则它的概率为: 此时后两个元件都必须正常工作,它的概率为: ②若前 9 个元素有 5 个正常工作,则它的概率为: 此时后两个元件至少有一个正常工作,它的概率为: ③若前 9 个元素至少有 6 个正常工作,则它的概率为: ; . ; . p2; ; . . . . .

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此时通讯器械正常工作,故它的概率为: P″ = 可得 P″﹣P′= = p2+ p2+ = + ﹣ . , ,

故当 p= 时,P″=P′,即增加 2 个元件,不改变通讯器械的有效率; 当 0<p 当p 时,P″<P′,即增加 2 个元件,通讯器械的有效率降低; 时,P″>P′,即增加 2 个元件,通讯器械的有效率提高.

【点评】本题考查二项分布,考查了相互独立事件及其概率,关键是对题意的理解,属概率统计部分难度较大 的题目.   20.【答案】 【解析】【知识点】垂直平行 【试题解析】(Ⅰ)证明:因为 所以 因为 所以 又因为 所以平面 又因为 所以 平面 平面 . 底面 , 底面 , 平面 , 平面 , 平面 , . . 平面 . , 平面 , , 平面 , 平面 ,

(Ⅱ)证明:因为 所以 又因为 所以 又因为 所以 平面 底面 . . , .





(Ⅲ)结论:直线 证明:假设 由 由棱柱 平面 平面

与平面 ,

不垂直.

,得 中,

. 底面 ,

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可得 又因为 所以 所以 又因为 所以 所以 这与四边形 故直线

, , 平面 . , 平面 . , ,



为矩形,且 与平面 不垂直.

矛盾,

21.【答案】 【解析】解:(1)因为 f(x)为 R 上的奇函数 所以 f(0)=0 即 ∴a=1 … (2)f(x)= =﹣1+ ,在(﹣∞,+∞)上单调递减… =0,

(3)f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0?f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k)=f(﹣2t2+k), 又 f(x)= ∴t2﹣2t>﹣2t2+k, 即 3t2﹣2t﹣k>0 恒成立, ∴△=4+12k<0, ∴k<﹣ .…(利用分离参数也可).   22.【答案】(1)详见解析;(2) ? ? 2 3 ? 3 . 【解析】(1)由于 AB ? 2 , AM ? BM ? 在(﹣∞,+∞)上单调递减,

2 ,则 BM ? AM ,
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又∵平面 ADM ? 平面 ABCM ,平面 ADM ? 平面 ABCM = AM , BM ? 平面 ABCM , ∴ BM ? 平面 ADM ,…………3 分 又∵ AD ? 平面 ADM ,∴有 AD ? BM ;……………6 分

23.【答案】 【解析】解:(1)当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=1,与曲线 C 有一个交点.… 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y﹣2=k(x﹣1),代入 C 的方程, 并整理得(2﹣k2)x2+2(k2﹣2k)x﹣k2+4k﹣6=0 (*) (ⅰ)当 2﹣k2=0,即 k=± 所以 l 的方程为 时,方程(*)有一个根,l 与 C 有一个交点 …

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(ⅱ)当 2﹣k2≠0,即 k≠±



△=[2(k2﹣2k)]2﹣4(2﹣k2)(﹣k2+4k﹣6)=16(3﹣2k), ①当△=0,即 3﹣2k=0,k= 时,方程(*)有一个实根,l 与 C 有一个交点. 所以 l 的方程为 3x﹣2y+1=0… 综上知:l 的方程为 x=1 或 则 2x12﹣y12=2,2x22﹣y22=2, 或 3x﹣2y+1=0… (2)假设以 P 为中点的弦存在,设为 AB,且 A(x1,y1),B(x2,y2),

两式相减得 2(x1﹣x2)(x1+x2)=(y1﹣y2)(y1+y2)… 又∵x1+x2=2,y1+y2=4, ∴2(x1﹣x2)=4(y1﹣y2) 即 kAB= = ,…

∴直线 AB 的方程为 y﹣2= (x﹣1),… 代入双曲线方程 2x2﹣y2=2,可得,15y2﹣48y+34=0, 由于判别式为 482﹣4×15×34>0,则该直线 AB 存在. … 【点评】本题考查了直线和曲线的交点问题,考查直线方程问题,考查分类讨论思想,是一道中档题.   24.【答案】 【解析】(1)证明:∵AB∥C1D1,AB=C1D1, ∴四边形 ABC1D1 是平行四边形, ∴BC1∥AD1, 又∵AD1?平面 ACD1,BC1?平面 ACD1, ∴BC1∥平面 ACD1. (2)解:S△ACE= AEAD= ∴V =V = = . = = .

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【点评】本题考查了线面平行的判定,长方体的结构特征,棱锥的体积计算,属于中档题.  

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