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晴隆县第一中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

晴隆县第一中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题
1. 设复数 z 满足 z(1+i)=2(i 为虚数单位),则 z=( ) A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i D.﹣1+i

2. cos80?cos130? ? sin100?sin130? 等于( )

A. 3 2

B. 1 2

C. ? 1 2

D. ? 3 2

3. 己知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x)=x+2,那么不等式 2f(x)﹣1<0 的解集是( )

A.

B.



C.

D.



4. 若实数 x,y 满足不等式组

则 2x+4y 的最小值是( )

A.6 B.﹣6 C.4 D.2

5. 若 A. C.

,则下列不等式一定成立的是( ) B. D.

6. 与椭圆

有公共焦点,且离心率 的双曲线方程为( )

A.

B.

C.

D.

7. 已知集合 A ? {?2, ?1, 0,1, 2,3}, B ? {y | y ?| x | ?3, x ? A},则 A

A.{?2, ?1, 0}

B.{?1, 0,1, 2}

C.{?2, ?1, 0}

【命题意图】本题考查集合的交集运算,意在考查计算能力.

B?( ) D.{?1,, 0,1}

8. 已知 x>1,则函数

的最小值为( )

A.4 B.3 C.2 D.1

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9. 已知 f(x)=

,则“f[f(a)]=1“是“a=1”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件

10.已知 表示数列 的前 项和,若对任意的

满足

,且

,则

A.

B.

C.

D.

11.下列命题正确的是( )

A.很小的实数可以构成集合.

B.集合?y | y ? x2 ?1?与集合?? x, y? | y ? x2 ?1?是同一个集合.

()

C.自然数集 N 中最小的数是. D.空集是任何集合的子集.

12.已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为

数列{an}是(



A.公差为 a 的等差数列 B.公差为﹣a 的等差数列

,设物体第 n 秒内的位移为 an,则

C.公比为 a 的等比数列 D.公比为 的等比数列

二、填空题

13.已知集合 M={x||x|≤2,x∈R},N={x∈R|(x﹣3)lnx2=0},那么 M∩N=



14.满足关系式{2,3}?A?{1,2,3,4}的集合 A 的个数是



15.如图,已知 m , n 是异面直线,点 A , B ?m ,且 AB ? 6;点 C , D ?n ,且 CD ? 4.若 M , N 分

别是 AC , BD 的中点, MN ? 2 2 ,则 m 与 n 所成角的余弦值是______________.

【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角,考查空间想象能力,推理论证能力,运算求解能

力.

16.设集合 A={x|x+m≥0},B={x|﹣2<x<4},全集 U=R,且(?UA)∩B=?,求实数 m 的取值范围为



17.正六棱台的两底面边长分别为 1cm,2cm,高是 1cm,它的侧面积为



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18.如图,是一回形图,其回形通道的宽和 OB1 的长均为 1,回形线与射线 OA 交于 A1,A2,A3,…,若从点

O 到点 A3 的回形线为第 1 圈(长为 7),从点 A3 到点 A2 的回形线为第 2 圈,从点 A2 到点 A3 的回形线为第 3

圈…依此类推,第 8 圈的长为



三、解答题 19.如图所示,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中. (1)求 A1C1 与 B1C 所成角的大小; (2)若 E 、 F 分别为 AB 、 AD 的中点,求 A1C1 与 EF 所成角的大小.

20.已知椭圆 (Ⅰ)求椭圆 的方程;

的离心率

,且点

在椭圆 上.

(Ⅱ)直线 与椭圆 交于 、 两点,且线段 的垂直平分线经过点 面积的最大值.

.求

( 为坐标原点)

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21.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,且 a4=7,S4=16. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)设 bn=

,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

22.已知函数 f(x)=xlnx+ax(a∈R). (Ⅰ)若 a=﹣2,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若对任意 x∈(1,+∞),f(x)>k(x﹣1)+ax﹣x 恒成立,求正整数 k 的值.(参考数据:ln2=0.6931, ln3=1.0986)

23.已知椭圆
线被椭圆 G 截得的线段长为 . (I)求椭圆 G 的方程;

的左焦点为 F,离心率为 ,过点 M(0,1)且与 x 轴平行的直

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(II)设动点 P 在椭圆 G 上(P 不是顶点),若直线 FP 的斜率大于 ,求直线 OP(O 是坐标原点)的斜率 的取值范围.

24.求下列函数的定义域,并用区间表示其结果.

(1)y= +



(2)y=



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晴隆县第一中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A

【解析】解:∵z(1+i)=2,∴z= =

=1﹣i.

故选:A. 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,属于基础题.

2. 【答案】D 【解析】
试题分析:原式 ? cos80?cos130? ? sin80?sin130? ? cos ?80? ?130?? ? cos 210? ? cos ?30? ? 180?? ? ? cos30?
?? 3. 2
考点:余弦的两角和公式. 3. 【答案】B

【解析】解:因为 y=f(x)为奇函数,所以当 x>0 时,﹣x<0, 根据题意得:f(﹣x)=﹣f(x)=﹣x+2,即 f(x)=x﹣2, 当 x<0 时,f(x)=x+2, 代入所求不等式得:2(x+2)﹣1<0,即 2x<﹣3, 解得 x<﹣ ,则原不等式的解集为 x<﹣ ; 当 x≥0 时,f(x)=x﹣2, 代入所求的不等式得:2(x﹣2)﹣1<0,即 2x<5, 解得 x< ,则原不等式的解集为 0≤x< ,
综上,所求不等式的解集为{x|x<﹣ 或 0≤x< }. 故选 B

4. 【答案】B 【解析】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 设 z=2x+4y 得 y=﹣ x+ ,
平移直线 y=﹣ x+ ,由图象可知当直线 y=﹣ x+ 经过点 C 时,

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直线 y=﹣ x+ 的截距最小,此时 z 最小,



,解得



即 C(3,﹣3), 此时 z=2x+4y=2×3+4×(﹣3)=6﹣12=﹣6. 故选:B

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义是解决本题的关键.

5. 【答案】D 【解析】 因为 , 有可能为负值,所以排除 A,C,因为函数 故选 D

为减函数且

,所以

答案:D

6. 【答案】 A

【解析】解:由于椭圆的标准方程为:

则 c2=132﹣122=25 则 c=5 又∵双曲线的离心率

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,排除 B,

∴a=4,b=3 又因为且椭圆的焦点在 x 轴上,
∴双曲线的方程为:
故选 A 【点评】运用待定系数法求椭圆(双曲线)的标准方程,即设法建立关于 a,b 的方程组,先定型、再定量, 若位置不确定时,考虑是否两解,有时为了解题需要,椭圆方程可设为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),双 曲线方程可设为 mx2﹣ny2=1(m>0,n>0,m≠n),由题目所给条件求出 m,n 即可.

7. 【答案】C
【解析】当 x ?{?2, ?1,0,1, 2,3} 时, y ?| x | ?3?{?3, ?2, ?1, 0},所以 A B ? {?2, ?1, 0},故选 C.
8. 【答案】B

【解析】解:∵x>1∴x﹣1>0 由基本不等式可得,

当且仅当 故选 B

即 x﹣1=1 时,x=2 时取等号“=”

9. 【答案】B

【解析】解:当 a=1,则 f(a)=f(1)=0,则 f(0)=0+1=1,则必要性成立,

若 x≤0,若 f(x)=1,则 2x+1=1,则 x=0,

若 x>0,若 f(x)=1,则 x2﹣1=1,则 x= ,

即若 f[f(a)]=1,则 f(a)=0 或 ,

若 a>0,则由 f(a)=0 或 1 得 a2﹣1=0 或 a2﹣1= ,

即 a2=1 或 a2= +1,解得 a=1 或 a=



若 a≤0,则由 f(a)=0 或 1 得 2a+1=0 或 2a+1= ,

即 a=﹣ ,此时充分性不成立,

即“f[f(a)]=1“是“a=1”的必要不充分条件, 故选:B. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据分段函数的表达式解方程即可.

10.【答案】C

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【解析】





所以

,所以

,即

,所以 是以 1 为公差的等差数列,首项为



,故选 C

答案:C
11.【答案】D 【解析】 试题分析:根据子集概念可知,空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以选项 D 是正确,故 选 D. 考点:集合的概念;子集的概念. 12.【答案】A

【解析】解:∵



∴an=S(n)﹣s(n﹣1)=

=

∴an﹣an﹣1=

=a

∴数列{an}是以 a 为公差的等差数列 故选 A 【点评】本题主要考察了数列的递推公式求解数列的通项公式,等差数列的定义的应用,属于数列知识的简单 应用

二、填空题
13.【答案】 {1,﹣1} .

【解析】解:合 M={x||x|≤2,x∈R}={x|﹣2≤x≤2}, N={x∈R|(x﹣3)lnx2=0}={3,﹣1,1}, 则 M∩N={1,﹣1}, 故答案为:{1,﹣1}, 【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.
14.【答案】 4 .

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【解析】解:由题意知, 满足关系式{2,3}?A?{1,2,3,4}的集合 A 有: {2,3},{2,3,1},{2,3,4},{2,3,1,4}, 故共有 4 个, 故答案为:4.

15.【答案】 5 12









16.【答案】 m≥2 .

【解析】解:集合 A={x|x+m≥0}={x|x≥﹣m},全集 U=R,所以 CUA={x|x<﹣m}, 又 B={x|﹣2<x<4},且(?UA)∩B=?,所以有﹣m≤﹣2,所以 m≥2. 故答案为 m≥2.

17.【答案】

cm2 .

【解析】解:如图所示,是正六棱台的一部分, 侧面 ABB1A1 为等腰梯形,OO1 为高且 OO1=1cm,AB=1cm,A1B1=2cm. 取 AB 和 A1B1 的中点 C,C1,连接 OC,CC1,O1C1, 则 C1C 为正六棱台的斜高,且四边形 OO1C1C 为直角梯形.

根据正六棱台的性质得 OC=

,O1C1=

=



∴CC1=

=



又知上、下底面周长分别为 c=6AB=6cm,c′=6A1B1=12cm. ∴正六棱台的侧面积:

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S=



=

= (cm2).

故答案为:

cm2.

【点评】本题考查正六棱台的侧面积的求法,是中档,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
18.【答案】 63 .
【解析】解:∵第一圈长为:1+1+2+2+1=7 第二圈长为:2+3+4+4+2=15 第三圈长为:3+5+6+6+3=23 … 第 n 圈长为:n+(2n﹣1)+2n+2n+n=8n﹣1 故 n=8 时,第 8 圈的长为 63, 故答案为:63. 【点评】本题主要考查了归纳推理,解答的一般步骤是:先通过观察第 1,2,3,…圈的长的情况发现某些相 同性质,再从相同性质中推出一个明确表达的一般性结论,最后将一般性结论再用于特殊情形.
三、解答题
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19.【答案】(1) 60? ;(2) 90? .
【解析】

题解析:(1)连接 AC , AB1 ,由 ABCD ? A1B1C1D1 是正方体,知 AA1C1C 为平行四边形, 所以 AC / / A1C1 ,从而 B1C 与 AC 所成的角就是 A1C1 与 B1C 所成的角. 由 AB1 ? AC ? B1C 可知 ?B1CA ? 60? , 即 A1C1 与 BC 所成的角为 60? .
考点:异面直线的所成的角. 【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成的角的求解,其中解答中涉及到异面直线所成角的概念、三角形中 位线与正方形的性质、正方体的结构特征等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力, 以及空间想象能力,本题的解答中根据异面直线所成角的概念确定异面直线所成的角是解答的关键,属于中档 试题.
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20.【答案】 【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆

【试题解析】(Ⅰ)由已知





在椭圆上,

,解得



所求椭圆方程为

(Ⅱ)设





的垂直平分线过点

,

当直线 的斜率 时,

的斜率 存在.

当且仅当

时,

当直线 的斜率 时, 设



消去 得:





① ,



的中点为

由直线的垂直关系有

,化简得



由①②得



到直线

的距离为



时,


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,解得





时,



综上:



21.【答案】

【解析】解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,依题意得

…(2 分)

解得:a1=1,d=2an=2n﹣1… (2)由①得

…(7 分)



…(11 分)



…(12 分)

【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法及数列的求和,突出考查裂项法求和的应用,属于中档题.

22.【答案】 【解析】解:(I)a=﹣2 时,f(x)=xlnx﹣2x,则 f′(x)=lnx﹣1. 令 f′(x)=0 得 x=e, 当 0<x<e 时,f′(x)<0,当 x>e 时,f′(x)>0, ∴f(x)的单调递减区间是(0,e),单调递增区间为(e,+∞). (II)若对任意 x∈(1,+∞),f(x)>k(x﹣1)+ax﹣x 恒成立, 则 xlnx+ax>k(x﹣1)+ax﹣x 恒成立,即 k(x﹣1)<xlnx+ax﹣ax+x 恒成立,

又 x﹣1>0,则 k<

对任意 x∈(1,+∞)恒成立,

设 h(x)=

,则 h′(x)=



设 m(x)=x﹣lnx﹣2,则 m′(x)=1﹣ ,
∵x∈(1,+∞),∴m′(x)>0,则 m(x)在(1,+∞)上是增函数. ∵m(1)=﹣1<0,m(2)=﹣ln2<0,m(3)=1﹣ln3<0,m(4)=2﹣ln4>0, ∴存在 x0∈(3,4),使得 m(x0)=0, 当 x∈(1,x0)时,m(x)<0,即 h′(x)<0, 当 x∈(x0,+∞)时,m(x)>0,h′(x)>0, ∴h(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,

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∴h(x)的最小值 hmin(x)=h(x0)=



∵m(x0)=x0﹣lnx0﹣2=0,∴lnx0=x0﹣2.∴h(x0)=

=x0.

∴k<hmin(x)=x0. ∵3<x0<4, ∴k≤3. ∴k 的值为 1,2,3. 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性,函数的最值,函数恒成立问题,构造函数求出 h(x)的最 小值是解题关键,属于难题.

23.【答案】

【解析】解:(I)∵椭圆

的左焦点为 F,离心率为 ,

过点 M(0,1)且与 x 轴平行的直线被椭圆 G 截得的线段长为 .

∴点

在椭圆 G 上,又离心率为 ,



,解得

∴椭圆 G 的方程为



(II)由(I)可知,椭圆 G 的方程为

.∴点 F 的坐标为(﹣1,0).

设点 P 的坐标为(x0,y0)(x0≠﹣1,x0≠0),直线 FP 的斜率为 k, 则直线 FP 的方程为 y=k(x+1),

由方程组

消去 y0,并整理得



又由已知,得

,解得

设直线 OP 的斜率为 m,则直线 OP 的方程为 y=mx.

或﹣1<x0<0.

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由方程组

消去 y0,并整理得



由﹣1<x0<0,得 m2> ,

∵x0<0,y0>0,∴m<0,∴m∈(﹣∞,﹣ ),

由﹣ <x0<﹣1,得



∵x0<0,y0>0,得 m<0,∴﹣ <m<﹣ .

∴直线 OP(O 是坐标原点)的斜率的取值范围是(﹣∞,﹣ )∪(﹣ ,﹣ ).
【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线的斜率的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意 椭圆与直线的位置关系的合理运用.

24.【答案】

【解析】解:(1)∵y=

+







解得 x≥﹣2 且 x≠﹣2 且 x≠3, ∴函数 y 的定义域是(﹣2,3)∪(3,+∞);

(2)∵y=







解得 x≤4 且 x≠1 且 x≠3, ∴函数 y 的定义域是(﹣∞,1)∪(1,3)∪(3,4].

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