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2014·新课标高考总复习·数学10-1分类加法计数原理与分步乘法计数原理_图文

第十章

计数原理与概率、 随机变量及其分布

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
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第一节

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

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一、分类加法计数原理
做一件事,完成它有n类办法,在第一类办法中有m1 种不同的方 法,在第二类办法中有m2种不同的方法??在第n类办法中有mn种不 同的方法,那么完成这件事共有N= m1+m2+?+mn种不同的方法. 二、分步乘法计数原理 做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一个步骤有m1种不同 的方法,做第二个步骤有m2种不同的方法??做第n个步骤有mn种不 同的方法,那么完成这件事共有N= m1×m2×?×mn 种不同的方法.

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[疑难关注] 1.两个原理的联系与区别 两个原理都是对完成一件事的方法种数而言的.区别在于:(1)分 类加法计数原理是“分类”,分步乘法计数原理是“分步”;(2)分类 加法计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事,分步 乘法计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步,不能独立完 成这件事.

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2.对两个原理的进一步理解 分类加法计数原理中,“完成一件事,有n类办法”,是说每种 办法“互斥”,即每种方法都可以独立地完成这件事,同时他们之间 没有重复也没有遗漏.进行分类时,要求各类办法彼此之间是相互排 斥的,不论哪一类办法中的哪一种方法,都能独立完成这件事.只有 满足这个条件,才能直接用分类加法计数原理,否则不可以. 分步乘法计数原理中,“完成一件事,需要分成n个步骤”,是 说每个步骤都不足以完成这件事,这些步骤彼此间也不能有重复和遗 漏.

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1.(课本习题改编)从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班 会,则不同的选法种数为( A.6 C.3 ) B.5 D.2

解析:不同的选法有3+2=5种. 答案:B

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2.(2013年滨州调研)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、 乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( A.6种 C.24种 B.12种 D.30种 )

解析:分步完成.首先甲、乙两人从4门课程中同选1门,有4种 方法,其次甲从剩下的3门课程中任选1门,有3种方法,最后乙从剩 下的2门课程中任选1门,有2种方法,于是,甲、乙所选的课程中恰 有1门相同的选法共有4×3×2=24(种),故选C. 答案:C

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3.(2013年临沂模拟)如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格 组成,我们称这样的图案为L型(每次旋转90°仍为L型图案),那么在

由4×5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图案的个数
是( )

A.16 C.48

B.32 D.64

解析:每四个小方格(2×2型)中有“L”型图案4个,共有2×2型

小方格12个,所以共有“L”型图案4×12=48(个).
答案:C
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4.(课本习题改编)有不同颜色的四件衬衣与不同颜色的三条领带, 如果一条领带与一件衬衣配成一套.则不同的配法种数是________. 解析:解法一 法. 解法二 由分类加法原理可知共有4+4+4=12(种)配法. 由分类加法原理可知共有3+3+3+3=12(种)配

答案:12

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5.(2013年郑州模拟)在2012年奥运选手选拔赛上,8名男运动员

参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的
奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有________种. 解析:分两步安排这8名运动员.

第一步:安排甲、乙、丙三人,共有1,3,5,7四条跑道可安排.
∴安排方式有4×3×2=24(种). 第二步:安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排, 所以安排方式有5×4×3×2×1=120(种). ∴安排这8人的方式有24×120=2 880(种). 答案:2 880

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考向一 [例1] 的方法有( A.8种 C.10种 [解析]

分类加法计数原理 (2013年三门峡模拟)有4位教师在同一年级的4个班中各教

一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在本班监考,则监考 ) B.9种 D.11种 设四位监考教师分别为A,B,C,D,所教班分

解法一

别为a,b,c,d,假设A监考b,则余下三人监考剩下的三个班,共有
3种不同方法,同理A监考c、 d时,也分别有3种不同方法,由分类加 法计数原理共有3+3+3=9(种).
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解法二

班级按a,b,c,d的顺序依次排列,为避免重复或遗漏

现象,教师的监考顺序可用“树形图”表示如下:

∴共有9种不同的监考方法.
[答案] B

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1.(2013年佛山模拟)如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2 且a3<a2,则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等),那么所有凸数 个数为( A.240 C.729 ) B.204 D.920

解析:分8类,当中间数为2时,有1×2=2(种); 当中间数为3时,有2×3=6(种); 当中间数为4时,有3×4=12(种); 当中间数为5时,有4×5=20(种);

当中间数为6时,有5×6=30(种);

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当中间数为7时,有6×7=42(种); 当中间数为8时,有7×8=56(种); 当中间数为9时,有8×9=72(种). 故共有2+6+12+20+30+42+56+72=240(种). 答案:A

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考向二

分步乘法计数原理

[例2] 由数字1,2,3,4, (1)可组成多少个3位数; (2)可组成多少个没有重复数字的3位数. [解析] (1)百位数共有4种排法;十位数共有4种排法;个位数共

有4种排法,根据分步计数原理共可组成43=64个3位数.

(2)百位上共有4种排法;十位上共有3种排法;个位上共有2种排
法 , 由 分 步 计 数 原 理 共 可 排 成 没 有 重 复 数 字 的 3 位 数 4×3×2 = 24(个).

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在本例2条件下,可组成多少个没有重复数字的三位数,且百位
数字大于十位数字,十位数字大于个位数字. 解析:排出的三位数分别是432,431,421,321,共4个.

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考向三 [例3]

两个原理的综合应用 (2013年太原模拟)已知集合A={a1 ,a 2 ,a 3 ,a 4},B=

{0,1,2,3},f是从A到B的映射. (1)若B中每一元素都有原象,这样不同的f有多少个? (2)若B中的元素0必无原象,这样的f有多少个? (3)若f满足f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)=4,这样的f又有多少个?

[解析]

(1)显然对应是一一对应的,即为a1找象有4种方法,a2找

象有3种方法,a3找象有2种方法,a4找象有1种方法,所以不同的f共有 4×3×2×1=24(个).

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(2)0必无原象,1,2,3有无原象不限,所以为A中每一元素找象时都 有3种方法.所以不同的f共有34=81(个). (3)分为如下四类: 第一类,A中每一元素都与1对应,有1种方法; 第二类,A中有两个元素对应1,一个元素对应2,另一个元素与0 对应,有 C2· 1=12 种方法; 4 C2
第三类,A 中有两个元素对应 2,另两个元素对应 0,有 C2· 2=6 4 C2 种方法; 第四类,A 中有一个元素对应 1,一个元素对应 3,另两个元素与 0 对应,有 C1· 1=12 种方法. 4 C3

所以不同的f共有1+12+6+12=31(个).

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2.如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使 同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色 方法总数.

解析:解法一

可分为两大步进行,先将四棱锥一侧面三顶点染

色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用分步乘法计数原理即可

得出结论.由题设,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所染的颜色互不
相同,它们共有5×4×3=60(种)染色方法.
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当S,A,B染好时,不妨设其颜色分别为1,2,3,若C染2,则D可 染3或4或5,有3种染法;若C染4,则D可染3或5,有2种染法;若C染 5,则D可染3或4,有2种染法.可见,当S,A,B已染好时,C,D还 有7种染法,故不同的染色方法有60×7=420(种).

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解法二

以S,A,B,C,D顺序分步染色.

第一步,S点染色,有5种方法; 第二步,A点染色,与S在同一条棱上,有4种方法; 第三步,B点染色,与S,A分别在同一条棱上,有3种方法; 第四步,C点染色,也有3种方法,但考虑到D点与S,A,C相邻, 需要针对A与C是否同色进行分类,当A与C同色时,D点有3种染色方

法;当A与C不同色时,因为C与S,B也不同色,所以C点有2种染色方
法,D点也有2种染色方法.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的 染色方法共有5×4×3×(1×3+2×2)=420(种).

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解法三 按所用颜色种数分类.
5 第一类,5 种颜色全用,共有 A5种不同的方法;

第二类,只用 4 种颜色,则必有某两个顶点同色(A 与 C,或 B 与 D),共有 2×A4种不同的方法; 5
3 第三类,只用 3 种颜色,则 A 与 C,B 与 D 必定同色,共有 A5种不

同的方法.
5 由分类加法计数原理,得不同的染色方法总数为 A5+2×A4+A3= 5 5

420(种).

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【易错警示】 分类与分步不当致误

【典例】

(2012年高考浙江卷)若从1,2,3,?,9这9个整数中同
)

时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( A.60种 B.63种

C.65种

D.66种

【思路导析】 根据和为偶数分类进行解决.

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【解析】

先找出和为偶数的各种情况,再利用分类加法计数原理

求解.满足题设的取法可分为三类:一是四个奇数相加,其和为偶数, 在 5 个奇数 1,3,5,7,9 中,任意取 4 个,有 C4=5(种);二是两个奇数加两 5 个偶数其和为偶数,在 5 个奇数中任取 2 个,再在 4 个偶数 2,4,6,8 中任 取 2 个,有 C2· 2=60(种);三是四个偶数相加,其和为偶数,4 个偶数 5 C4 的取法有 1 种,所以满足条件的取法共有 5+60+1=66(种).

【答案】 D

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【防范指南】

解决计数问题时,还有以下几点容易导致错解,

在备考时要高度关注: (1)搞不清题目的条件、结论及完成的“事件”,不能合理选择分 类加法计数原理和分步乘法计数原理; (2)分类时标准不明确,出现元素遗漏及重复的现象; (3)分步时步骤不合理,各步互相干扰.

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1.(2012年高考大纲全国卷)将字母a,a,b,b,c,c排成三行两 列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排 列方法共有( A.12种 C.24种
解析:利用分步乘法计数原理求解.
3 先排第一列, 因为每列的字母互不相同, 因此共有 A3种不同的排法. 1 再排第二列,其中第二列第一行的字母共有 A2种不同的排法,第二

) B.18种 D.36种

列第二、三行的字母只有 1 种排法.
3 因此共有 A3· 1· A2 1=12(种)不同的排列方法.

答案:A
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2.(2012年高考山东卷)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、 蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种 颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为( A.232 C.472 B.252 D.484 )

解析:利用分类加法计数原理和组合的概念求解. 分两类:第一类,含有 1 张红色卡片,共有不同的取法 C1C2 = 4 12
3 3 264(种);第二类,不含有红色卡片,共有不同的取法 C12-3C4=220-

12=208(种).由分类加法计数原理知不同的取法有 264+208=472(种).

答案:C

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