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【全国百强校首发】湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第三次调研考试数学(文)试题(PDF版)

绝密★启用前

2019

数学(文)试卷
命题人:沈清臣 审题人:王守磊
注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上; 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内 作答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效; 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚; 4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损; 5.本堂考试时量为 120 分钟,考试总分 150 分; 6.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1 .已知集合 A ? y y ?

?

? 2x ? 3 ? ? 0? ,全集为 U = R ,则 x 2 ? 2 x ? 2 ,集合 B ? ? x ? x ?1 ?

?

? CU A?

B为
B. ? 2,3? C. ? ?1,1? D. ? ?1,1?

A. ? ?1, 2?

2.设复数 z 的共轭复数为 z ,且满足 z ? z ? 4 ,复数 z 对应点在直线 2 x ? y ? 4 ? 0 上,则 复数

z (i 为虚数单位)所在的象限为 1? i
B.第二象限
x ?x

A.第一象限 3.已知下列两个命题

C.第三象限

D.第四象限

p1:存在正数 a,使函数 y ? 2 ? a 2 在 R 上为偶函数; p2:函数 y ? sin x ? cos x ? 2 无零点, 则在命题 q1 : p1 ? p2 , q2 : p1 ? p2 , q3 : ? ?p1 ? ? p2 和 q4 : p1 ? ?p2 ? 中,真命题是 A.q1,q4 B.q2,q3 C.q1,q3
y?x

D.q2,q4

4.已知点 A(1,0) ,点 B(x,y) (x,y∈R) ,若 AB ? 1 ,则 2 A.

? 1 的概率为
D.

1 1 ? 2 4?

B.

1 1 ? 4 ?

C.

1 1 ? 2 2?

1 1 ? 4 2?

5 .已知等比数列 ?an ? 满足 8a4 ? a7 ? 0 , a1 , a2 ? 1, a3 且成等差数列.若数列 ?bn ? 满足

2019 届调研考试(三)数学(文)试题—1

,且 b1 ? 1 ,则数列 ?bn ? 的通项公式 bn ? bn?1 ? an ? bn (n∈N*) A. 21?n B. 2 ? 1
n

C. 2 ? 1
n

D. 2

2n

?1

?x ? 2 ? y ? 6.已知 x∈R,y∈R,且 x,y 满足 ? x ? y ? 4 ,若 z ? x ? 2 y 的最大值为 a,最小值为 b, ?y ? 0 ?
则 a ? b 的值为 A.1 B.3 C.5 D.8 7.沈老师告知高三文数周考的附加题只有 6 名同学 A,B,C,D,E,F 尝试做了,并且这 6 人中只有 1 人答对了.同学甲猜测:D 或 E 答对了;同学乙猜测:C 不可能答对;同 学丙猜测:A,B,F 当中必有 1 人答对了;同学丁猜测:D,E,F 都不可能答对.若甲、 乙、丙、丁中只有 1 人猜对,则此人是 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 8.已知函数 f ? x ? ? 3 sin x ? cos x ,把函数 f ? x ? 的图象向右平移

? 个单位,再把图象 3
? ?? 时,方程 ? 2? ?

的 横 坐 标 缩 小 到 原 来 的 一 半 , 得 到 函 数 g ? x ? 的 图 象 , 当 x ? ?0,

g ? x? ? k? 0 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围为
A. ?1, 3 ?

?

?

B. ? 3, 2

?

?

C. ?1, 2?

D. ?1, 2 ?

9. 已知点 M 为椭圆

x2 y 2 2 椭圆的长轴长为 8 2 , 离心率 e ? , ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 上一点, 2 a b 2

左、右焦点分别为 F1、F2,其中 B(3,2) ,则 MF1 ? MB 的最小值为 A. 6 2 ? 2 B. 6 2 ? 3
log 2 a ? log 2 b ? log 2 c

C. 4 2 , N ? sin ? log 2

D. 8 2 ? 5

10.已知 a, b, c ? 0 , M ? ? abc ?
log2 b c l og2 c a log2 a b

? ?

b c a? log 2 log 2 ? , c a b?

P?a

b

c

,则 B. M ? P ? N C. P ? M ? N D. P ? N ? M

A. M ? N ? P 11.已知函数 f ? x ? ?
x

2 ?2 3 , g ? x ? ? k ? x ? 1? ,若 f ? x ? 的图象与 g ? x ? 的图象有 n 个不 x 2 ?2 同的交点 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? , ? x3 , y3 ? ,…, ? xn , yn ? ,则(x1+x2+x3+…+xn)+(y1+y2
+y3+…+yn)= A.n B.2n C.n+2 D.

n 2

2019 届调研考试(三)数学(文)试题—2

12.设双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F,两条渐近线分别为 l1、l2,过 F a 2 b2

作平行于 l1 的直线依次交双曲线 C 和直线 l2 于点 A、B,若 FB ? ? FA , ? ? ? 2,3? , 则双曲线离心率的取值范围是 A. 1, 2

?

?

B. ?

? 6 ? , 2 ? ? 2 ? ? ?

C.

?

2, 3

?

D. ?

? 6 ? , 3 ? ? 2 ? ? ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知在 ?ABC 中, AB ? AC ? 2, ?BAC ? 120 ,其中 D 为 BC 的中点,E 为 AC 的中 点,则 AD BE ? . .
2

14.各条棱长均为 2 的四面体的体积为

15.已知首项为 2 的正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且当 n ? 2 时, 3Sn ? 2 ? an ? 3Sn?1 , 若

Sn ? m 恒成立,则实数 m 的取值范围为 2n ?1



16.已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? 2a ? x ? ? 2b ? f ? x ? ,

h ? x ? a? ?

bx 4 ? x 2 sin x ? 8b ,设 y? h ? ?x 与 y ? f ? x ? 图 象 的 交 点 坐 标 为 x4 ? 8

? x1, y 1? ,? x

2

y ,

, ? x, m ? 2…

2 m

2 2 y ,? , 则 a ? b 的最小值为 2 若 ? ? xi ? yi ? ? 4m ,
i ?1

2m



三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 ) (一)必考题:共 60 分。 17. (本小题满分 12 分)已知 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, ?ABC 的面

S?ABC ? ac . sin 2 B (Ⅰ)若 b ? 2 ,求 ?ABC 的外接圆的半径;
积为 S?ABC ,且

? sin C ? 5 2 (Ⅱ)若 c ? 5 , ? ? ? sin B ,AD 为 BC 边上的中线,求 ?ABD 的周长. ? sin A ? 3

2

2019 届调研考试(三)数学(文)试题—3

18. (本小题满分 12 分)为了改善市民的生活环境,长沙某大型工业城市决定对长沙市的 1 万家中小型化工企业进行污染情况摸排, 并 出台相应的整治措施. 通过对这些企业的排 污口水质,周边空气质量等的检验,把污染 情况综合折算成标准分 100 分, 发现长沙市 的这些化工企业污染情况标准分基本服从 正态分布 N(50,162) ,分值越低,说明污 染越严重;如果分值在[50,60]内,可以 认为该企业治污水平基本达标. (Ⅰ) 右图为长沙市的某工业区所有被调査 的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图, 请计算这个工业区被调査的化工企业 的污染情况标准分的平均值, 并判断该工业区的化工企业的治污平均值水平是否基本达 标; (Ⅱ)大量调査表明,如果污染企业继续生产,那么标准分低于 18 分的化工企业每月 对周边造成的直接损失约为 10 万元,标准分在[18,34)内的化工企业每月对周边造 成的直接损失约为 4 万元. 长沙市决定关停 80%的标准分低于 18 分的化工企业和 60% 的标准分在[18,34)内的化工企业,每月可减少的直接损失约有多少? (附:若随机变量 X

N ? ? , ? 2 ? ,则 P ? ? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? 68.3%,

P ? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 95.4% , P ? ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ? ? 99.7%)

19. (本小题满分 12 分)如图,E 是以 AB 为直径的半 圆上异于 A、B 的点,矩形 ABCD 所在的平面垂 直于该半圆所在的平面,且 AB=2AD=2. (Ⅰ)求证:EA⊥EC; (Ⅱ)设平面 ECD 与半圆弧的另一个交点为 F, ①求证:EF∥AB; ②若 EF=1,求三棱锥 E-ADF 的体积.

2019 届调研考试(三)数学(文)试题—4

20. (本小题满分 12 分)折纸是一项艺术,可以折出很多数学图形.将一张圆形纸片放在平 面直角坐标系中,圆心 B(-1,0) ,半径为 4,圆内一点 A 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点.若 每次将纸片折起一角,使折起部分的圆弧的一点 A? 始终与点 A 重合,将纸展平,得到一 条折痕,设折痕与线段 A? B 的交点为 P. (Ⅰ)将纸片展平后,求点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)已知过点 A 的直线 l 与轨迹 C 交于 R,S 两点,当 l 无论如何变动,在 AB 所在直 线上存在一点 T,使得

TR TR

?

TS TS

所在直线一定经过原点,求点 T 的坐标.

21 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 f ? x ? ? ax ? ? 2 ? a ? x ? ln x ? a ? R ? , 又 函 数
2

1 m 3 2 ; g ? x ? ? x3 ? x 2 ? x ? 1 的 两 个 极 值 点 为 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? 满 足 x1 ? x2 ? 3 2 2

x1 , x2 恰为 h ? x ? ? ln x ? f ? x ? ? bx 的零点.
(Ⅰ)当 a ? ? ?2,0 ? 时,求 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 1 时,求证: ? x1 ? x2 ? h? ?

4 ? x1 ? x2 ? ? ? 2ln 2 ? . 3 ? 2 ?

2019 届调研考试(三)数学(文)试题—5

(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第 一题计分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos ? ( ? 为参数) ,以原点 ? y ? 1 ? sin ?

O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? , 曲线 C1、C2 的公共点为 A、B. (Ⅰ)求直线 AB 的斜率; (Ⅱ)若点 C、D 分别为曲线 C1、C2 上的动点,当 CD 取最大值时,求四边形 ACBD 的面积.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? ax ? 1 ,若不等式 f ? x ? ? a 的解集为 ? ? (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若存在 x ? R ,使不等式 f ? x ? ? a x ? a ? k 成立,求 k 的取值范围.

? 3 1? , . ? 2 2? ?

2019 届调研考试(三)数学(文)试题—6

2019

数学(文)试卷参考答案
命题人:沈清臣 审题人:王守磊
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 D 5 B 6 D 7 D 8 D 9 D 10 B 11 A 12 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ?

1 2

14.

1 3

15. ?

?15 ? , ?? ? ?16 ?

16.2

三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 ) 17.解: (Ⅰ)

4 15 ; (Ⅱ) ?ABD 的周长为 7 ? 2 6 . 15

18.解: (Ⅰ)基本达标; (Ⅱ)5092 万元. 19.解: (Ⅰ)证明略; (Ⅱ)①证明略;②三棱锥 E-ADF 的体积为

3 . 12

20.解: (Ⅰ)轨迹 C 的方程为

x2 y 2 (Ⅱ)点 T 的坐标为(4,0) . ? ? 1; 4 3
? ? 1? ? 1 ? ?1 1? 单调递增区间是 ? , ? ? ; ? 和 ? ? , ?? ? , 2? ? a ? ?2 a?

21. 解: (Ⅰ) 函数 f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, (Ⅱ)证明略.

22.解: (Ⅰ)2; (Ⅱ)四边形 ACBD 的面积为 23.解: (Ⅰ)2; (Ⅱ) k ? (?3, ??) .

1 6 5 . AB ? CD ? 2 ? 2 5

2019 届调研考试(三)数学(文)试题—7


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