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广东省增城市2015届高三数学调研测试试题 理


增城市 2015 届高中毕业班调研测试理科试题 数 学

试题分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.第 I 卷(选择题)每小题选出答案后,用铅笔把答卷上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上; 2.第 II 卷(非选择题)答案写在答卷上。

1 1 4 3 ? ? S 球 ? 4?R 2 V柱 ? Sh,V锥 ? 3 Sh,V台 ? 3 ( S ? S S ? S )h,V球 ? 3 ? R 参考公式: ,
如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 如果事件 A 、 B 相互独立,那么 P( A ? B) ? P( A) P( B) . 第 I 卷(选择题,共 40 分) 选择题:本大题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。

1? i ? 1. (选修 2-2.P11l.练习 2) 1 ? i (i 是虚数单位)
(A) i (B) -i (C)2i (D)-2i 2. (必修 1.P12.A.6 改)已知集合 A={x∣2≤x<4}, A={x∣3x-7≥8-2x},则 A∩B= (A)

?3, 4?

(B) (3,4)

( C)

? 2,3?

(D)

? 2, 4?

3.下列等式中错误的是 (A) (C) 4.

sin ?? ? ? ? ? ? sin ?

(B) (D)

cos ?? ? ? ? ? cos? sin ? 2? ? ? ? ? sin ?

cos ? 2? ? ? ? ? cos?
( 必 修
1 4

1.P59.A.4 ( 8 ) ) 化 简

1 2 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 4 x ? ?3x 4 y 3 ? ? ? ?6 x 2 y 3 ? ? ? ? ? ?
1 3 (A)2 xy 1 3 (B) - 2 xy

(C)

2y

3
(D)
正视图 侧视图

?2 y ?1
5. (必修 2.P61.A.1(2) )若直线 a 不平行于平

2 图1
俯视图

1

面 ? ,则下列结论成立的是 (A)平面 ? 内所有直线都与直线 a 异面; (B)平面 ? 内存在与直线 a 平行的直线; (C)平面 ? 内的直线都与直线 a 相交; (D)直线 a 与平面 ? 没有公共点。 6. (必修 2.P13)如图 1 是一个圆锥的三视图,则其侧面积是 (A) ? (B) 2? (C) 3? (D) 4?

7. (必修 1.P75.B.2 改)若

log a

1 ? 1 ? a ? 0, a ? 1 ? 3 ,则实数 a 的取值范围是

(A) 8.

?1, ???
( 必

?1 ? ? ,1? (B) ? 3 ?


? 1? ? 0, ? (C) ? 3 ?
) 已

? 1? ? 0, ? (D) ? 3 ?
知 圆

?1, ?? ?
2 2

2.P144.B.6

C : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 25,



线

l : ? 2m ?
值是

?

1?? x

? ?m

1

? y 7 m ? 4? 0 , m ? R ,当直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时的 m 的
4 (C) 3 ? 3 (D) 4

3 (A) 4 ?

1 (B) 3 ?

第 II 卷(非选择题,共 110 分) 填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 30 分.其中 14~15 题是选做题,只能做一题, 两题全答的,只计算前一题得分. (一)必做题(9~13 题) 9. (必修 4.P119.A.8)已知 向相同,则 n=

a ? ? n,1? , b ? ? 4, n ?
9

共线且方

开始

1? ? ?x? ? x ? 的展开式中 10. (选修 2-3.P31.例 2(2) )二项式 ?
x3 项系数是
.

i=4

S=0

i=i+3

11. (必修 1.P83.B.3 改) 如果函数

f ? x? ?

2 ?a 2 ?1 是奇
x

S=S+i i≤? 否 输出S 图2 结束 是

函数,则 a 的值是 。 12.如图 2,是一问题的程序框图,输出的结果是 1717,则 设定循环控制条件(整数)是 。 13. ( 必 修 5.P91. 错 在 哪 里 ) 已 知 实 数 x,y 满 足

2

?1 ? x ? y ? 3 , ? ??1 ? x ? y ? 1 则 4 x ? 2 y 的取值范围是



(二)选做题(14、15 题) 14(选修 4-1.P37.例 1) (几何证明选讲选做题)已知圆 O 内的两条弦 AB,CD 相交于圆内一

PC ?
点 P,PA=PB=4,

1 PD 4 ,则 CD=

.

? 0 ? ? ? 2? ? 与极轴交点的极 15(坐标系与参数方程选做题)曲线 ? ? 2cos? ? 2 3sin ?
坐标是 解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(12 分)一个箱子里装有 5 个大小相同的球,有 3 个白球,2 个红球,从中摸出 2 个球。 (1)求摸出的两个球中有 1 个白球和一个红球的概率; (2)用 ? 表示摸出的两个球中的白球个数,求 ? 的分布列及数学期望.

17. (必修 4.P147.A.11 改) (12 分)已知函数 (1)求 f ( x) 的最小正周期和最大值;

f ? x ? ? 2sin x ? cos x ? sin x ? ?1.

2 ?? ? ? f ? ? ?? 3 ,求 f ?? ? 的值. (2)若 ? 为三角形的内角且 ? 2 8 ?

18. (14 分)如图 3,在三棱锥 V-ABC 中,VO⊥平面 ABC, O∈CD,VA=VB= 3 2 ,AD=BD=3,BC=5。 (1)求证:VC⊥AB; (2)当二面角 V ? AB ? C 的平面角为 600 时,求三棱 锥 V-ABC 的体积.

V

A O D

C

3

B

图3

1 1 f ? x ? ? x3 ? ? b ? 1? x 2 ? bx, b ? R 3 2 19. (14 分)设
(1)当 b=1 时,求 f(x)的单调区间; (2)当 f(x)在 R 上有且仅有一个零点时,求 b 的取值范围.

3 F ? 0, ?1? 20(14 分)已知椭圆的中心在坐标原点,一个焦点坐标是 1 ,离心率为 3 .
(1)求椭圆的标准方程; (2)过点

F1 作直线交椭圆于 A,B 两点, F2 是椭圆的另一个焦点,求 S?ABF2 的取值范围。

21(14 分) (2013 学年增城市高一第二学期期末考试) 在数列

{an } 中,已知 a1 ? 2 ,对任意正整数 n 都有 nan?1 ? 2 ? n ? 1? an . {an } 的通项公式; {an } 的前 n 项的和 Sn ;

(1)求数列 (2)求数列

(3)如果对于一切非零自然数 n 都有 21. (1)(5 分) (5 分)2.

nan ? ? ? Sn ? 2?

恒成立,求实数 ? 的最大值。

S ? ? n ?1? ? 2n?1 ? 2 an ? n ? 2n ,(只是猜出的得到 3 分) (2) (4 分) n . (3)

an ?1 n ?1 ? 2 a a1 an ?2 { n} na ? 2 n ? 1 a a ? 2 ? ? n (1)∵ 1 , n?1 ,∴ n ,所以 n 是以 1 为首项,2 为公

4

比的等比数列,

an ? 2 ? 2n ?1 ? 2n , an ? n ? 2n ∴ n
所以数列

{an } 的通项公式是 an ? n ? 2n ;
n?1 {an } 的前 n 项的和 Sn ? ? n ?1? ? 2 ? 2 ;

(2)用错位相减法求得,所以,数列 (3)对于一切非零自然数 n 都有

nan ? ? ? Sn ? 2?

恒成立,

n Sn ? ? n ?1? ? 2n?1 ? 2 nan ? ? ? Sn ? 2? n2 ? 2? ? n ?1? a ? n ? 2 n 把 , 代入 得到: 对于一切

非零自然数 n 成立。 当 n=1 时, ? 为任意实数,

n2 ? 2? 当 n ? 2 时,等价于 n ? 1 对于一切非零自然数 n 成立。 y?
等价于函数

n2 (n ? 2)的最小值 ? 2? n ?1 ,
2

?? n ? 1? ? 1? n2 ? ? n ?1 ? 1 ? 2 ? ? n ? 2,? y ? =? ? ? ? n ? 1 n ? 1 n ?1 ? 而

1 ? ? n ? 1? ? ? ? 4 ? 4. n ?1 ?

2

n2 y? (n ? 2)的最小值4 ? 2? , ? ? 2 n ?1 当 n=2 时取等号,所以函数 ,
综合得到,所以实数 ? 的取值范围为 方法 2:

? ??,2? 。所以实数 ? 的最大值为 2。

n2 ? 2? ? n ?1?

对于一切非零自然数 n 成立。
2

n2 ? 2? n ? 2? ? 0 ,所以 ? ? ? 2? ? ? 4 ? 2? ? 0 ,所以 0 ? ? ? 2 ,

? ??,2? 。所以实数 ? 的最大值为 2。 当 ? ? 0 时显然成立,所以实数 ? 的取值范围为

5


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