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中学教育江苏省高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准

2007 年江苏省高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准

一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)
1.已知函数 y ? sin2 x ,则( B ).

(A) 有最小正周期为 2?

(B) 有最小正周期为?

(C) 有最小正周期为 ? 2

(D) 无最小正周期

解: y ? sin 2 x ? 1 (1 ? cos2x) ,则最小正周期T ? ? . 故选(B). 2

2.关于 x 的不等式 x2 ? ax ? 20a2 ? 0 任意两个解的差不超过 9,则 a 的最大值与最小值

的和是( C ).

(A) 2

(B) 1

(C) 0

(D) ?1

解:方程 x2 ? ax ? 20a2 ? 0 的两根是 x1 ? ?4a , x2 ? 5a ,则由关于 x 的不等式

x2 ? ax ? 20a2 ? 0 任意两个解的差不超过 9 ,得| x1 ? x2 | ? | 9a | ? 9 ,即 ?1 ? a ? 1. 故选(C).

3. 已知向量 a、b,设 AB ? a ?2 b, BC ? ?5 a ?6 b, CD ? 7 a ?2 b,则一定共线

的三点是( A ). (A)A、B、D (B)A、B、C

(C)B、C、D (D)A、C、D

解: BD ? BC ? CD ? 2 a ?4 b ? 2AB ,所以 A、B、D 三点共线. 故选(A). 4.设? 、 ? 、 ? 为平面, m 、 n 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是( D ).

(A)? ? ? ,? ? ? n , m ? n

(B)? ? ? m ,? ? ? , ? ? ?

(C)? ? ? , ? ? ? , m ? ?

(D) n ? ? , n ? ? , m ? ?

解:(A)选项缺少条件 m ? ? ;(B)选项当? // ? , ? ? ? 时, m // ? ;(C)选项当

? 、? 、? 两两垂直(看着你现在所在房间的天花板上的墙角),m ? ? ? 时,m ? ? ;

(D)选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行.本选项为真命题. 故选(D).
? ? 5. 若 m 、 n ? x x ? a2 ?102 ? a1 ?10 ? a0 ,其中 ai ??1,2,3,4,5,6,7?, i ? 0,1,2 ,并且

m ? n ? 636,则实数对 (m, n) 表示平面上不同点的个数为( C )

(A) 60 个

(B) 70 个

(C) 90 个

(D)120 个

解:由 6 ? 5 ?1 ? 4 ? 2 ? 3? 3及题设知,个位数字的选择有 5 种. 因为 3 ? 2 ?1 ?

? 7 ? 6 ?10 ,故 (1) 由 3 ? 2 ?1知,首位数字的可能选择有 2?5 ?10 种; (2) 由 3 ? 7 ? 6 ?10 及 5 ? 4 ?1 ? 2 ? 3 知,首位数字的可能选择有 2?4 ? 8 种. 于是,符合题设的不同点的个数为 5? (10 ? 8) ? 90 种. 故选(C).
6.已知 f (x) ? x ?1 ? x ? 2 ? ? x ? 2007 ? x ?1 ? x ? 2 ? ? x ? 2007 ( x ? R),

且 f (a2 ? 3a ? 2) ? f (a ?1), 则 a 的值有( D ).

(A)2 个

(B)3 个

(C)4 个

解:由题设知 f (x) 为偶函数,则考虑在 ?1 ? x ? 1时,恒有

(D)无数个

f (x) ? 2?(1? 2 ? 3 ? ? 2007) ? 2008? 2007 .

所以当 ?1 ? a2 ? 3a ? 2 ? 1,且 ?1? a ?1?1时,恒有 f (a2 ? 3a ? 2) ? f (a ?1) .

由于不等式 ?1 ? a2 ? 3a ? 2 ? 1的解集为 3 ? 5 ? a ? 3 ? 5 ,不等式

2

2

?1 ? a ?1 ? 1的解集为 0 ? a ? 2 .因此当 3 ? 5 ? a ? 2 时,恒有 2
f (a2 ? 3a ? 2) ? f (a ?1) . 故选(D).

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
7.设 S n 为等差数列 ?an ?的前 n 项和,若 S5 ? 10 , S10 ? ?5 ,则公差为 d ? ?1 . 解:设等差数列?an ?的首项为 a1 ,公差为 d .
由题设得 ???150aa1 1??104d5d??10?,5,即 ???2a1a1??29dd??2,?1,解之得 d ? ?1. 8. 设 f (x) ? loga (x ? b) (a ? 0 且 a ? 1) 的图象经过点 (2,1) ,它的反函数的图象经过点

(2,8) ,则 a ? b 等于 4 .

解:由题设知

???llooggaa

(2 ? b) (8 ? b)

? ?

1,
化简得
2,

?(2 ? b) ? a, ??(8 ? b) ? a2.

解之得

???ab11

? ?

3, 1;

???ab22

? ?

?2,
(舍去).
?4.

故 a ? b 等于 4.

9.已知函数

y

?

f

(x) 的图象如图,则满足

f

( 2x2 ? x ?1) ? x2 ? 2x ?1

f

(lg( x 2

? 6x ? 20))

?0的

x 的取值范围为 x ?[? 2,1 ).

y

O1 x

(第 9 题)
? ? ? ? 解: 因为 lg x2 ? 6x ? 20 ? lg (x ? 3)2 ?11 ? lg11 ?1,所以

? ? lg x2 ? 6x ? 20 ? 0 . 于是,由图象可知, 2x ?1 ? 1,即 x ? 2 ? 0 ,解得

x ?1

x ?1

?2 ? x ?1. 故 x 的取值范围为 x ?[?2,1) .

10.圆锥曲线 x2 ? y2 ? 6x ? 2y ?10? | x ? y ? 3 |? 0 的离心率是 2 .

解:原式变形为 (x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ?| x ? y ? 3 | ,即 (x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 2 | x ? y ? 3 | .所以动点 (x, y) 到定点 (?3,1) 的距离与它到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距离
2

之比为 2 .故此动点轨迹为双曲线,离心率为 2 .

11.在 ?ABC中,已知 tan B ? 3 , sin C ? 2 2 , AC ? 3 6 ,则 ?ABC的面积为 3

S?ABC ? 8 3 ? 6 2 . 解:在 ?ABC中,由 tan B ? 3 得 B ? 60? .由正弦定理得 AB ? AC ?sin C ? 8 .
sin B

因为 arcsin 2 2 ? 60? ,所以角 C 可取锐角或钝角,从而 cosC ? ? 1 .

3

3

sin A ? sin(B ? C) ? sin B cos C ? cos B sin C ? 2 ? 3 .故 36

AC ? AB S?ABC ? 2 sin A ? 8

3?6

2.

12. 设命题 P : a2 ? a ,命题 Q : 对任何 x ? R,都有 x2 ? 4ax ?1 ? 0 . 命题 P 与 Q 中有

且仅有一个成立,则实数 a 的取值范围是 ? 1 ? a ? 0 或 1 ? a ? 1 .

2

2

解:由 a2 ? a 得 0 ? a ? 1.由 x2 ? 4ax ?1 ? 0 对于任何 x ? R 成立,得

? ? 16a2 ? 4 ? 0 ,即 ? 1 ? a ? 1 .因为命题 P 、 Q 有且仅有一个成立,故实数

2

2

a 的取值范围是 ? 1 ? a ? 0 或 1 ? a ? 1.

2

2

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 15 分)

13.

设不等式组

?x

? ?

x

? ?

y y

? ?

0,
表示的平面区域为
0

D

.

区域 D 内的动点 P 到直线 x ? y ? 0

和直线 x ? y ? 0 的距离之积为 2 . 记点 P 的轨迹为曲线 C . 过点 F (2 2,0) 的直线

l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点. 若以线段 AB 为直径的圆与 y 轴相切,求直线 l 的斜率.

解:由题意可知,平面区域 D 如图阴影所示.

x?y x?y

设动点为 P(x, y) ,则

?

? 2 ,即

y

22

x2 ? y2 ? 4.由 P?D 知

x ? y ? 0 ,x-y<0,即 x2-y2<0.

所以 y2-x2=4(y>0),即曲线 C 的方程为
y42-x42=1(y>0).…………5 分

O

x



A(

x1,

y1 )



B( x2

,

y2

)

,则以线段

AB

为直径的圆的圆心为

Q(

x1

? 2

x2

,y1

? 2

y2

)

.

因为以线段 AB 为直径的圆 L 与 y 轴相切,所以半径 r ? 1 AB ? x1 ? x2 ,即

2

2

AB ? x1 ? x2 . ①

…………10 分

因为直线 AB 过点 F(2 2,0), 当 AB x 轴时,不合题意. 所以设直线 AB 的方程为 y=k(x-2 2). 代入双曲线方程y42-x42=1(y>0)得,
k2(x-2 2)2-x2=4,即(k2-1)x2-4 2k2x+(8k2-4)=0. 因为直线与双曲线交于 A,B 两点, 所以 k≠±1.

所以 x1+x2=4k2-2k12,x1x2=8kk22--14.
所以|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
= (1+k2)[???4k2-2k12???2-4 8kk22--14]=|x1+x2|=|4k2-2k12|,
化简得:k4+2k2-1=0, 解得 k2= 2-1(k2=- 2-1 不合题意,舍去). 由△=(4 2k2)2-4(k2-1) (8k2-4) =3k2-1>0, 又由于 y>0,
所以-1<k<- 33.

所以 k=- 2-1

…………………15 分

14. 如图,斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,面 AA1C1C 是菱形, ?ACC1 ? 60? ,侧面

ABB1A1 ? AA1C1C , A1B ? AB ? AC ? 1 .

B

B1

求证:(1) AA1 ? BC1 ;

A

A1

(2)求点 A1 到平面 ABC 的距离.

证:(1)设 AA1 中点为 D ,连 C 、 D .

C

因为 A1B ? AB ,所以 BD ? AA1 .因为面

C1 (第 14 题)

ABB1 A1 ? AA1C1C ,所以 BD ?面 AA1C1C .

又 ?ACC1为正三角形, AC1 ? C1 A1 ,所以 C1D ? AA1 . 从而

BC1 ? AA1 .

………………6 分

(2) 由(1),有 BD ? C1D , BC1 ? CC1 , CC1 ? 面 C1DB .设 A1 到面 ABC的

距离为 h ,则

1 3 hS?ABC

? VB?CAC1

? VB?CDC1 .

因为

VC ?C1DB

?

1 3

CC1

?

S?C1DB



所以 h ? S?C1DB . S?ABC

A

B

E

C

又 C1D ? BD ,且

2S ?C1DB

? C1D ? BD ?

BD2

?

3. 4

设 ?ABC的高为 AE ,则

BC2

?

BC12

? CC12

?

2BD2

?1?

3 2

?1?

5 2



AE ? 1 ? 1 ? 5 ? 3 , 42 8

2S ?ABC ?

5? 2

3? 8

15 . 4

于是有 h ?

3? 15

15 5

,即

A1 到平面

ABC 的距离为

15 . 5

………………15 分

? ? 15.已知数列 an 中, a1 ? 1, an?3 ? an ? 3 , an?2 ? an ? 2 . 求 a2007 .

解:由题设, an?2 ? an ? 2 ,则

a2007 ? a2005 ? 2 ? a2003 ? 2? 2 ? ? a1 ? 2?1003 ? 2007 . ………5 分

由 an?2 ? an ? 2 ,得 an ? an?2 ? 2 ,则

an?3 ? an ? 3 ? an?2 ? 2 ? 3 ? an?2 ?1 (n ? 1) . ………………10 分

于是 a2007 ? a2006 ?1 ? a2005 ?1? 2 ? a2002 ? 3 ?1? 2 ? a1999 ? 3? 2 ?1? 2

? ? a1 ? 3? 668 ?1? 2 ? 2007 ,
所以 a2007=2007.
易知数列 a1 ? 1, a2 ? 2 , , an ? n 符合本题要求. ………………15 分

注意:猜得答案 an ? n 或 a2007 ? 2007 ,给 2 分. 16.已知平面上10 个圆,任意两个都相交.是否存在直线 l ,与每个圆都有公共点?证
明你的结论.
解:存在直线 l ,与每个圆都有公共点.
证明如下:

如图,先作直线 l0 ,设第 i 个圆在直线 l0 上的正投

影是线段 Ai Bi ,其中 Ai 、 Bi 分别是线段的左右

A1 A2 Ak Bm
10

B2 B1

端点.
10 个圆有10 个投影线段,有10 个左端点,有 10 个右端点.

………………5 分

因为任意两个圆都相交,所以任意两条投影线段都有重叠的部分,设 Ak 是最右边的左

端点,则所有右端点都在 Ak 的右边,否则必有两条投影线段无重叠部分,与对应的两个

圆相交矛盾.

………………10 分

再设 Bm 是最左边的右端点,同理所有左端点都在 Bm 的左边. Ak 与 Bm 不重合,线段

Ak Bm 是任意一条投影线段的一部分,过线段 Ak Bm 上某一点作直线 l0 的垂线 l ,则 l 与10

个圆都相交.

………………15 分


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