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广东省河源市连平县忠信中学2006届高三级十月考数学试题-人教版

广东省河源市连平县忠信中学 2006 届高三级十月考数学试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1 已知直线 l1:x+ay+1=0 与直线 l2:x-2y+2=0 垂直,则 a 的值为
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奎屯 新疆

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A2
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B -2
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C-
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1 2

D

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1 2

2 函数 y=sin(
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? x+θ 2

)cos(

? x+θ 2

)在 x=2 时有最大值,则θ 的一个值是

A

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? 4

B

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? 2

C

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2? 3

D

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3? 4

3 已知直二面角α —l—β ,A∈α ,B∈β ,AB⊥l,AB=6,则线段 AB 的中点到 l 的距 离为 A1 B2 C3 D 不能确定 4 已知等差数列{an}的前 20 项的和为 100,那么 a7·a14 的最大值为 A 25 B 50 C 100 D 不存在 5 设函数 f(x)是定义在 R 上且以 3 为周期的奇函数,若 f(2)=1,f(1)=a,则 A a=2 B a=-2 C a=1 D a=-1 6 已知一个简单多面体的各个面都是三角形,则顶点数 V 与面数 F 满足的关系是 A 2V+F=4 B 2V-F=4 C 2V+F=2 D 2V-F=2
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7 若函数 y=sin(x+
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? )+2 的图象按向量 a 平移后得到函数 y=sinx 的图象,则 a 等于 3
B(
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A (-
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? ,-2) 3 ? ,2) 3
1 2

? 3 ? 3

,2)

C (-
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D(
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,-2)

8 6 名同学排成两排,每排 3 人,其中甲排在前排的概率是
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A

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1 12

B

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C

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1 6

D

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1 3

9 如果直线 ax+by=4 与圆 C:x2+y2=4 有两个不同的交点,那么点(a,b)和圆 C 的位 置关系是 A 在圆外 B 在圆上 C 在圆内 D 不能确定 10 函数 f(x)=|ax2+bx+c|(a≠0)的定义域分成四个单调区间的充要条件是
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A a>0 且 b2-4ac>0
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B-
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b >0 2a

—1—

C b2-4ac>0
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D-
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b <0 2a

11 如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 为棱 AB 的中点,则直 线 C1E 与平面 ACC1A1 所成角的正切值为
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A

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2 6

B

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2 4

C

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17 17
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D

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17

12 已知椭圆

x2 2 +y =1(a>1)的两个焦点为 F1、F2,P 为椭圆上一点,且∠F1PF2=60°, a2
1 3

则|PF1|·|PF2|的值为 A1
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B

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C

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4 3
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D

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2 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分 把答案填在题中横线上) 13 若(3a+b)n 的展开式的系数和等于(x+y)8 的展开式的系数和,则 n=______ 14 过曲线 y=x3-x 上点(1,0)的切线方程的一般式是______
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15 已知函数 f(x)=2sinω x(ω >0)在[0,
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? 3

]上单调递增,则ω 的取值范围是______

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16 对于任意定义在 R 上的函数 f(x) ,若存在 x0∈R 满足 f(x0)=x0,则称 x0 是函数 2 f(x)的一个不动点 若函数 f(x)=x +ax+1 没有不动点,则实数 a 的取值范围是______ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 (本小题满分 12 分)甲、乙两名篮球运动员,甲投篮的命中率为 0 6,乙投篮的命 中率为 0 7,两人是否投中相互之间没有影响,求: (1)两人各投一次,只有一人命中的概率; (2)每人投篮两次,甲投中 1 球且乙投中 2 球的概率 18 (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=log2(x+m) ,且 f(0) 、f(2) 、f(6)成等差 数列 (1)求实数 m 的值; (2)若 a、b、c 是两两不相等的正数,且 a、b、c 成等比数列,试判断 f(a)+f(c) 与 2f(b)的大小关系,并证明你的结论 19 (本小题满分 12 分)在△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 的对边,且
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4 sin 2

B?C 7 ? cos 2 A ? , 2 2

(1)求角 A 的度数; (2)若 a=

3 ,b+c=3,求 b 和 c 的值

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—2—

20 (本小题满分 12 分)如图,已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,过 BC1 的平面 BC1D∥AB1,平面 BC1D 交 AC 于 D (1)求证 BD⊥平面 ACC1A1; (2)若二面角 C1—BD—C 等于 60°,求平面 BC1D 与平面 BCC1B1 所 成二面角的大小 (结果用反三角函数表示)
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21 (本小题满分 12 分)如图,点 F(a,0) (a>0) ,点 P 在 y 轴上
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运动,M 在 x 轴上,N 为动点,且 PM ? PF

? 0, PN ? PM ? 0

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(1)求点 N 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F(a,0)的直线 l(不与 x 轴垂直)与曲线 C 交于 A、B 两点,设点 K(-a,0) , KA 与 KB 的夹角为θ ,求证:0<θ <

? 2

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22 (本小题满分 14 分)已知 a≥
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1 ,f(x)=-a2x2+ax+c 2

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新疆

(1)证明对任意 x∈[0,1] ,f(x)≤1 的充要条件是 c≤

3 ; 4

(2)已知关于 x 的二次方程 f(x)=0 有两个实根α 、β ,证明:|α |≤1 且|β |≤1 的充 要条件是 c≤a2-a
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—3—

忠信中学 2006 届高三级十月考数学试题答案
一、1 D 2 A 3 C 4 A 5 D 6 B 7 D
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8 B 9 A 10 C 11 C 12 C
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二、13 4 14 2x-y-2=0 15 (0,
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3 ] 2
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16 (-1,3)
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三、17 (1)P1=0 6(1-0 7)+(1-0 6)0 7=0 46
王新敞
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新疆

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6分
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(2)P2=[ C 2 0 6(1-0 6) ] · [ C 2 (0 7)2(1-0 7)0]=0 2352
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1

2

王新敞
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王新敞
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新疆

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12 分

18 (1)由 f(0) 、f(2) 、f(6)成等差数列, 可得 2log2(2+m)=log2m+log2(6+m) , 2 即(m+2) =m(m+6)且 m>0,解得 m=2 6分 (2)由 f(x)=log2(x+2) ,可得 2f(b)=2log2(b+2)=log2(b+2)2, f(a)+f(c)=log2(a+2)+log2(c+2)=log2[ (a+2) (c+2) ] ,8分 2 ∵a、b、c 成等比数列,∴b =ac, 9 分 又 a、b、c 是两两不相等的正数,
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新疆

故(a+2) (c+2)=ac+2(a+c)+4>ac+4

ac +4=b2+4b+4=(b+2)2,
7 , 2

10 分

∴log2[ (a+2) (c+2) ]>log2(b+2)2,即 f(a)+f(c)>2f(b) 19 (1)由已知得 2[1-cos(B+C) ]-(2cos2A-1)=
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12 分

2分

∵cos(B+C)=-cosA, ∴4cos2A-4cosA+1=0,

3分

∴(2cosA-1)2=0,即 cosA=

1 2

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新疆

5分

∴A=60° 6分 2 2 (2)∵a =b +c2-2bccosA=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,
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∵a=

3 ,b+c=3,

8分 10 分

∴3=9-3bc,∴bc=2, 由?
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?b ? c ? 3, ?b ? 2 ?b ? 1 解之得 ? 或? 12 分 ?bc ? 2, ? c ? 1 ?c ? 2
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20 (1)连结 B1C 交 BC1 于 O,则 O 是 B1C 的中点,连结 DO, ∵AB1∥平面 BC1D,AB1 ? 平面 AB1C, 平面 AB1C∩平面 BC1D=DO, ∴AB1∥DO,3 分 ∴D 是 AC 的中点, ∵△ABC 是正三角形,∴BD⊥AC, ∵平面 ACC1A1⊥平面 ABC, ∴BD⊥平面 ACC1A1 6 分 (2)∵CC1⊥平面 ABC,且 CD⊥BD,
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—4—

∴C1D⊥BD, ∴∠C1DC 是二面角 C1—BD—C 的平面角, 8 分 ∴∠C1DC=60°, 设正三棱柱底边长为 2,则 DC=1,CC1=

3,

作 DE⊥BC 于 E, ∵平面 BCC1B1⊥平面 ABC, ∴DE⊥平面 BCC1B1, 作 EF⊥BC1 于 F,连结 DF,则 DF⊥BC1, ∴∠DFE 是平面 BC1D 与平面 BCC1B1 所成二面角的平面角, 在 Rt△DFE 中,DE=

10 分

3 , 2
3 3 3 3 ? ? , 2 7 2 7


在 Rt△DFE 中,EF=BE·sinC1BC=

∴tanDFE=

DE 3 2 7 7 ? ? ? EF 2 3 3 3

∴平面 BC1D 与平面 BCC1B1 所成二面角的大小为 arctan 21 (1) (方法一)设 N(x,y) ,∵ PN
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7 3

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新疆

12 分

? PM =0,即 P 是 MN 的中点,

∴M(-x,0) ,P(0,

y ) , 2分 2

∵ PM ? PF =0,∴PM⊥PF, 4 分

y y ∴ 2 ? 2 =-1, x ?a
∴y2=4ax 即为所求 6分 (方法二)设 N(x,y) ,M(x0,0) ,P(0,y0)
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则 PM

? ( x0 ,? y 0 ), PF ? (a,? y 0 ), PN ? ( x, y ? y 0 ).
① 4分

2分

由 PM · PF =0,得 ax0+y02=0,

由 PN + PM =0,得(x+x0,y-2y0)=0,

—5—

? x 0 ? ? x, ? x ? x0 ? 0, ? 即? ∴? y ? y ? 2 y 0 ? 0, ? y 0 ? , ? 2
代入①得,y2=4ax 即为所求 6分 (2)设 l 的方程为 y=k(x-a) ,
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? y 2 ? 4ax, 4a 由? 消去 x,得 y2- y-4a2=0, k ? y ? k ( x ? a),
设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1y2=-4a2, , KB =(x2+a,y2) , KA =(x1+a,y1) 9分 10 分

8分

(x2+a)+y1y2=x1x2+a(x1+x2)+a2+y1y2 KA · KB =(x1+a)

y1 y 2 y y ? a ? ( 1 ? 2 ) +a2-4a2 = 2 (4a ) 4a 4a
=

2

2

2

2

1 1 (y12+y22)-2a2> (2|y1y2|)-2a2 4 4

=

1 ×4a2-2a2=0, 2
KA ? KB >0, | KA || KB |
新疆

∴cosθ =

∴0<θ <

? 2

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12 分

22 (1)f(x)=-a2(x-
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1 2 1 ) +c+ , 4 2a

∵a≥

1 1 ,∴ ∈(0,1 ] , 2 2a
1 , 4
2分

∴x∈(0,1 ] 时, [f(x) ]max=c+

若 c≤

3 1 ,则 f(x)≤[f(x) ]max=c+ ≤1, 4 4

4分

若 f(x)≤1,则[f(x) ]max=c+

3 1 ≤1,即 c≤ , 4 4
—6—

∴对任意 x∈[0,1] ,f(x)≤1 的充要条件是 c≤

3 4

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新疆

6分

(2) (方法一)方程-a2x2+ax+c=0 的两根为 x1

?

1 ? 1 ? 4c 1 ? 1 ? 4c ,8 分 , x2 ? 2a 2a

不妨设 ?

?

1 ? 1 ? 4c 1 ? 1 ? 4c ,其中 1+4c≥0,若 c≤a2-a, ,? ? 2a 2a

则 1+4c≤4a2-4a+1=(2a-1)2, ∵2a-1≥0,∴

1 ? 4c ≤2a-1,

即 0<

1 ? 1 ? 4c ≤1,即|α |≤1, 9 分 2a

又 1-

1 ? 4c ≥1-(2a-1)=2-2a>-2a,



1 ? 1 ? 4c >-1, 2a 1 ? 1 ? 4c 1 ? 1 ? 4c ≤ ≤1, 2a 2a
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又∵

∴|β |≤1 10 分 若|α |≤1,且|β |≤1, ∴

1 ? 1 ? 4c 1 ? 1 ? 4c ≤1,且 ≥-1, 2a 2a

∵2a≥1, ∴ ∴

1 ? 4c ≤2a-1,且 1 ? 4c ≤2a+1, 1 ? 4c ≤2a-1,
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12 分

即 c≤a2-a, 13 分 ∴|α |≤1 且|β |≤1 的充要条件是 c≤a2-a (方法二)∵a≥

14 分

1 1 ,∴ ∈(0,1 ] ? [-1,1] 8 分 2 2a

又抛物线开口向下, ∴?

?| ? |? 1 ? f(x)=0 的两根在[-1,1]内, 10 分 ?| ? |? 1

—7—

?Δ ? 0, ? 1 ? ?? a 2 ? a ? c ? 0, ? 1, ? f (1) ? 0, ?? 1 ? ?? ?? ?? 2 2a f ( ? 1 ) ? 0 , ? ?? a ? a ? c ? 0, ? f (1) ? 0, ? ? ? f (?1) ? 0,
?c ? a 2 ? a, ?? ? c ? a 2 ? a. 2 ?c ? a ? a,
14 分

12 分

—8—


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