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安徽省长丰县实验高级中学人教版高中数学必修五教案:1.2.4 解决有关三角形计算的问题

1.2.4 解决有关三角形计算的问题

项目

内容

课题

1.2.4 解决有关三角形计算的问题 (共 1 课时)

修改与创新

一、知识与技能

1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角

形的问题

2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用.

二、过程与方法

1.本节课补充了三角形新的面积公式,巧妙设疑,引导学生证明,

同时总结出该公式的特点,循序渐进地具体运用于相关的题型

教学

2.本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用,教师要放手让

目标 学生摸索,使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点,

能不拘一格,一题多解.只要学生自行掌握了两定理的特点,就能很快

开阔思维,有利地进一步突破难点.

三、情感态度与价值观

1.让学生进一步巩固所学的知识,加深对所学定理的理解,提高创

新能力;

2.进一步培养学生研究和发现能力,让学生在探究中体验成功的愉

悦.

教学 重、 难点

教学重点 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 教学难点 利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题

教学 准备

多媒体课件

教学过 导入新课



师 以前我们就已经接触过了三角形的面积公式,今天我们来学习它的另

一个表达公式.在△ABC 中,边 BC、CA、AB 上的高分别记为 hA、hB、hC,

那么它们如何用已知边和角表示?

生 hA=bsinC=csinB

hB=csinA=asinC

hC=asinB=BsinA

师 根据以前学过的三角形面积公式 S ? 1 ah ,应用以上求出的高的公式 2
如 hA=bsinC 代入,可以推导出下面的三角形面积公式: S ? 1 absin C , 2
大家能推出其他的几个公式吗?

生 同理,可得 S ? 1 bcsin A , S ? 1 acsin B

2

2

师 除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外,知道哪些条件

也可求出三角形的面积呢?

生 如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解

推进新课

【例 1】 在△ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积 S(精确到 0.1

cm2)

(1)已知 A=14.8 cm,C =23.5 cm,B

(2)已知 B=62.7°,C =65.8°,B =3.16 c

(3)已知三边的长分别为 A=41.4 cm,B=27.3 cm,C =38.7 c

师 这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题,与解三角形问题

有密切的关系,我们可以应用解三角形面积的知识,观察已知什么,尚

缺什么,求出需要的元素,就可以求出三角形的面积.

〔生口答,师书写过程〕

解 : ( 1 ) 应 用 S ? 1 acsin B , 得 2

S= 1 ×14.8×23.5×sin148.5°≈90.9(cm2 2

(2)根据正弦定理, b ? c ,c ? bsin C sin B sin C sin B

S ? 1 bcsin A ? 1 b2 sin C sin A

2

2 sin B

A = 180°-(B + C)= 180°-

S ? 1 ? 3.162 ? sin 65.8?sin 51.5? ≈4.0(cm2

2

sin 62.7?

(3)根据余弦定理的推论,

得 cos B ? c2 ? a2 ? b2 ? 38.72 ? 41.42 ? 27.32

2ca

2? 38.7 ? 41.4

sinB ? 1? cos2B ? 1? 0.76972

应用 S ? 1 acsin B 得 S= 1 ×41.4×38.7×0.638 4≈511.4(cm2

2

2

生 正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外,贵在活用,体

会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向,并进一步推出新的三角形

面积公式.

【例 2】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内

公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为 68 m,88 m,127 m,

这个区域的面积是多少?(精确到 0.1 cm2)?

师 你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗?

生 本题可转化为已知三角形的三边,求角的问题,再利用三角形的面积

公式求解.

〔由学生解答,老师巡视并对学生解答进行讲评小结〕

解:设 A=68 m,B=88 m,C=127m,根据余弦定理的推论,

cos B ? c2 ? a2 ? b2 ? 127 2 ? 682 ? 882

2ca

2?127 ? 68

sin B ? 1? 0.75322

应用 S= 1 acsinB,S= 1 ×68×127×0.657 8≈2 840.38(m2

2

2

答:这个区域的面积是 2 840.38 m2.

【例 3】在△ABC 中,求证:

(1) a2 ? b2 ? sin 2 A ? sin 2 B

c2

sin 2 C

(2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC)

师 这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题,观察式子左右两边 有什么样的特点

生 等式左边是三边的平方关系,而等式的右边是三个角的正弦的平方关系, 可以联想到用正弦定理来证明 师 等式两边分别是边和角,所以我们可以选正弦定理来证明,这样我们 可以把一边的边或角都转化成两边一样的边或角,即“化边为角”或 “化角为边”,这也是我们在证明三角恒等式时经常用的方法. 证明:(1)根据正弦定理,可设
a ? b ? c ?k sin A sin B sin C
显然 k≠0,所以

左边= a2 ? b2 ? k 2 sin 2 A ? k 2 sin 2 B ? sin 2 A ? sin 2 B =右边

c2

k 2 sin 2 C

sin 2 C

师 那对于第二小题又该怎么化呢?

生 等式左边仍然是三边的平方关系,而等式的右边既有角又有边,而且

是两边和两边夹角的余弦的积的关系,所以联想到用余弦定理来证明

师 很好,哪位来板演一下?

生 证明:(2)根据余弦定理的推论,

右边= 2(bc b2 ? c2 ? a2 ? ca c2 ? a2 ? b2 ? ab a2 ? b2 ? c2 )

2bc

2ca

2ab

=(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边

1.已知在△ABC 中,∠B=30°,B=6,C=6 3 ,求 A 及△ABC 的面积
提示:解有关已知两边和其中一边对角的问题,注重分情况讨论解的个 数.同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律,防止 丢解或增解,养成检验的习惯,但应用余弦定理会免去讨论

答案:A=6,S=9 3 ;A=12,S=18 3
2.判断满足下列条件的三角形形状, (1)acosA = bcosB
(2)sinC = sin A ? sin B cosA ? cosB
提示:利用正弦定理或余弦定理,“化边为角”或“化角为边”,正弦

定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外,贵在活用,体会公式 变形的技巧以及公式的常规变形方向 (1)师 大家尝试分别用两个定理进行证明.

生(余弦定理)得 a ? b2 ? c2 ? a2 ? b ? c2 ? a2 ? b2

2bc

2ca

∴c2(a2-b2)=a4-b4=(a2+b2)(a2-b2

∴a2=b2 或 c2=a2+b2

∴根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形

生(正弦定理)得

sinAcosA=sinBcosB.∴sin2A=sin2B.∴2A=2B.∴A=B

∴根据角的关系易得是等腰三角形

师 根据该同学的做法,得到的只有一种情况,而第一位同学的做法有两

种,请大家思考,谁的正确呢?

生 第一位同学的正确.第二位同学遗漏了另一种情况,因为

sin2A=sin2B,有可能推出 2A 与 2B 两个角互补,即 2A+2B=180°,

A+B

(2)(解略)直角三角形

如图,在四边形 ABCD 中,∠ADB=∠BCD=75°,∠ACB=∠BDC=45°,DC = 3 ,
求:

(1)AB 的长 (2)四边形 ABCD 的面积 略解:(1)因为∠BCD=75°,∠ACB=45°, 所以∠ACD 又因为∠BDC=45°,

所以∠DAC=180°-(75°+ 45°+ 30°)=30°.所以 AD=DC = 3 在△BCD 中,∠CBD=180°-(75°+ 45°)=60°,所以

BD ? DC , BD ? 3 sin 75? ? 6 ? 2

sin 75? sin 60?

sin 60?

2

在△ABD 中,AB2=AD2+ BD2-2×AD×BD×cos75°= 5,所以,得 AB= 5

(2)S△ABD= 1 ×AD×BD×sin75°= 3 ? 2 3 .同理,S△BCD= 3 ? 3

2

4

4

所以四边形 ABCD 的面积 S ? 6 ? 3 3 4
课堂练习 课本第 21 页练习第 1、2 题. 课堂小结
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角 的三角函数式,然后化简并考察边或角的关系,从而确定三角形的形 状.特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混 用.正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外,贵在活用, 体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向,并进一步推出新的三角 形面积公式.解有关已知两边和其中一边对角的问题,注重分情况讨论 解的个数.同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律, 防止丢解或增解,养成检验的习惯. 布置作业 课本第 22 页习题 1.2 第 12、14、15 题

板书设 计

例1 补充练习:

解决有关三角形计算的问题

例2

例3

变题 变题 2

本节的例 7 和例 8 说明了在不同已知条件下三角形面积问题的常见解法,即在不同已 知条件下求三角形面积的问题,与解三角形有密切的关系.我们可以应用解三角形的知识, 求出需要的元素,从而求出三角形的面积.已知三角形的三边求三角形面积在历史上是一 教学反 个重要的问题.在西方有海伦公式,在我国数学史上有秦九韶的“三斜求积公式”,教科书 思 在阅读与思考中对此作了介绍,在习题中要求学生加以证明.例 9 是关于三角形边角关系 恒等式的证明问题,课程标准要求不在这类问题上作过于烦琐的训练,教科书例题限于直 接用正弦定理和余弦定理可以证明的问题


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