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2.1椭圆的定义与标准方程_图文

第二课时

?复习回顾

1.椭圆的定义

平面上到两个定点F1, F2的距离之和 为固定值(大于| F1F2 |)的点的轨迹叫 作椭圆.

|P1F |?|P2F |?2 a |F1F2|=2c(2a?2c)

2.ax椭2 2圆?的by标22 准?1方(a程?b?0)? a2焦 ?c点 2?xb 轴 在 2 上

x2 b2

?ay22

?1(a?b?0)?焦点y在 轴上

3.椭圆的标准方程的特点: Y
YM M

F2(0 , c)

F1

O

(-c,0)

F2 X
(c,0)

O

X

F1 (0,-c)

x2 ?y2 ?1(a?b?0) a2 b2

y2 x2 a2 ?b2 ?1(a?b?0)

(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1 (2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 (3)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。 (4)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪一

个轴上。

?再认识!
标准方程



图形





x2

y2 +

=1?a>b>0?

a2 b2

y P

F1 O F2

x

x2

y2 +

=1?a>b>0?

b2 a2

y

F2 P

O

x

F1

焦点坐标

F 1?-c,0?, F 2?c,0? F 1?0?,?-c?, F 2?0?,?c?



定义

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹

同 点

a、b、c 的关系

a2 =b2 +c2

a,b, c的几何意义?

焦点位置的判断 分母哪个大,焦点就在哪个轴上

口答:

1.

x2 52

?

y2 32

? 1,则a=

5

,b= 3



2.

x2 42

?

y2 62

? 1,则a=

6

,b= 4



x2 y2 3. ? ?1
96

则a= 3 ,b= 6 ;

x2 y2 4. ? ?1
74

则a= 7 ,b= 2 .

二、例题与练习

例1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)两个焦点的坐标分别是(-3,0),(3,

0),椭圆上任意一点与两焦点的距离的和

等于8; 解:(1)椭圆的焦点在x轴上,设它的标

准方程是

x2 y2 a2 ?b2 ?1 (a?b?0)

由已知,得2a=8,即a=4,又因为c=3,

所以b2=a2-c2=7,因此椭圆的标准方程是
x2 y2 ? ?1
16 7

(2)两个焦点的坐标分别是(0,-4),(0, 4),并且椭圆经过点( ,-3 ). 5
解:(2)椭圆的焦点在y轴上,设它的标 准方程是 y2 ?x2 ?1 (a?b?0)
a2 b2
由已知,得c=4,因为c2=a2-b2,

所以a2=b2+16 ①

因为点( 3 ,- 5 )在椭圆上,所以

(? 5)2 a2

?(

3)2 b2

?1



5 a2

?

3 b2

?1



将①代入②得,b2

5 ?3 ?16 b2

?1

解得b2=4 (b2=-12舍去),则a2=4+16=20,

因此椭圆的标准方程是 y 2 ? x 2 ? 1
20 4

例2. 求下列方程表示的椭圆的焦点坐标:

(1)

x2 ? y2 ? 1 36 24



(2)8x2+3y2=24.

解:(1)已知方程就是椭圆的标准方程, 由36>24,可知这个椭圆的焦点在x轴上, 且a2=36,b2=24,所以c2=a2-b2=12,

c?2 3

因此椭圆的焦点坐标为

(-2 3 ,0),(2 3 ,0).

(2)8x2+3y2=24.
解:(2)把已知方程化为标准方程, 由8>3可知这个椭圆的解得在y轴上, 且a2=8,b2=3,得c2=a2-b2=5, c= 5 所以椭圆的焦点坐标是 (0,- 5 ),(0, 5 ).

例3. 已知B,C是两个定点,|BC|=8,且 △ABC的周长等于18,求这个三角形的顶 点A的轨迹方程。
解:以过B,C两点的直线为x轴,线段BC 的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy, 由|BC|=8,可知B(-4,0),C(4,0),
由|AB|+|AC|+|BC|=18,得|AB|+|AC|=10, 因此点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆,

这个椭圆上的点与两焦点的距离的和 2a=10,但A点不在x轴上,
由a=5,c=4,解得b2=9, 因此点A的轨迹方程是 x2 ? y2 ?1 (y?0)
25 9

例4.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上

的椭圆,则k的取值范围是



解:将方程整理成

x2 2

?

y2 2

?1

根据题意得 2 ? 2

k

k

解得0<k<1,所以k的取值范围是(0,1).

例5.求下列椭圆的焦点坐标,以及椭圆上

每一点到两焦点距离的和。

(1) x2 ? y2 ?1 4

(2) x2 ? y2 ?1 45

(3)4x2?3y2?4

解:椭圆方程具有形式

x2 y2 a2 ? b2 ?1

其中 a?2,b?1

因此 c?a2?b2?4?1?3两焦点坐标为 (? 3,0),( 3,0)

椭圆上每一点到两焦点的距离之和为 2a?4

例6. 如图:求满足下列条件的椭圆方程
|P1F |?|P2F |?1,0| F1F2 |?8

解:椭圆具有标准方程

x2 ? y2 ?1 a2 b2

其中 2c?8,2a?10

因此 c?4,a?5, b 2? a 2? c 2? 2? 5 1? 6 9所求方程为 x2 ? y2 ? 1
25 9

课堂练习 1.椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 上一点P到一个焦点的
25 9
距离为5,则P点到另一个焦点的距离是
(A)
(A)5 (B)6 (C)4 (D)12

2.椭圆 x 2 ? y 2 ? 1
16 7

的左、右焦点为F1,

F2,一直线过F1交椭圆于A、B两点,则

△ABF2的周长为( B )

(A)32 (B)16

(C)8 (D)4

3.若△ABC的两个顶点坐标为A(-4,0),

B(4,0),△ABC的周长为18,则顶点C的

轨迹方程为( D )

(A)x 2 ? y 2 ? 1 (B) y2 ? x2 ?1(y ?0)

25 9

25 9

(C)x 2 ? y 2 ? 1 (D)x2 ? y2 ?1(y ? 0)

16 9

25 9

4.思考:方程Ax2+By2=C何时表示椭圆? 答:A、B、C同号且A、B不相等时。

5.已知椭圆方程为 x 2 ? y 2 ? ,1 25 16
则(1)a= 5 , b= 4 , c= 3 ;
(2)焦点在 x 轴上,其焦点坐标为 (-3,0)、(3,0) ,

焦距为 6 。

(3)若椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1 , 16 25

其焦点坐标为 (0,3)、(0,-3)

.

x2 y2 ? ?1
25 16
(4)已知椭圆上一点 P到左焦点F1的距离等于6,

则点P到右焦点的距离是 4 (5)若CD为过左焦点F1的弦,


C

则?CF1F2的周长为 16 ,

F1

F2

?F2CD的周长为 20 。 D

6.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),
并且经过点 ( 5 ,? 3 ), 求它的标准方程. 22
解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为
x2 y2 a2 ?b2 ?1(a?b?0).
由椭圆的定义知

2 a?(5? 2 )2? (? 3 )2?(5? 2 )2? (? 3 )2? 210

2

22

2

所以 a ? 10.

又因为 c?2,所以 b 2? a 2? c 2? 1? 0 4 ? 6 .

因此,

所求椭圆的标准方程为

x2 ?

y2

? 1.

10 6

解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为

x2 a2

?by22

?1(a?b?0).

又?焦点的坐标(分 ?2,别 0),(2是 ,0) ?c?2

?a2?b2?4 ①

求椭圆标准方程的解题步骤:

又 由(已 a5 2)22?知 (?b2 32)2((?21))1设确出定椭焦圆点②的的标位准置方;程;

联立①②,

解 (a 3得 2 )? 用1待, 定0b 系2数?法6确定a、b的值,

因此, 所求椭圆的标准方程写为出椭x2圆?的y标2 准? 1方.程.
10 6

7.? 神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以
地球中心为一个焦点的椭圆,设其近地点距地
面n千米,远地点距地面m千米,地球半径为 R,那么这个椭圆的焦距为____m__-_n____千米. 8.P是 椭 圆 x 42?y 32?1上 的 点 , F 1和 F 2是 焦 点 , 则 k?PF 1?PF 2的 最 大 值 是 __4__, 最 小 值 是 __3___.

9.动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是10,则 动点P的轨迹为( A ) A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹
变式:
(1)动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是8,则 动点P的轨迹为( B ) (2)动点P到两定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离和是7,则 动点P的轨迹为( D )

10.方程x2 ? y2 ? 1 表示的曲线是椭圆,求k的取值范围. 5 4k k>0且k≠5/4
变式:

(1)方程

x2 ?

y2

? 1表示焦点在y轴上的椭圆,求k的

5 4k

取值范围. k>5/4

(2)方程 x2 ? y2 ? 1表示焦点坐标为(±2,0)的椭圆, 5 4k
求k的值. k=1/4

小结:

一种方法: 求椭圆标准方程的方法

二类方程:

x2 y2 a2 ? b2 ?1

y2 a2

x2 ?b2

?1?a?b?0?

三个意识: 求美意识, 求简意识,前瞻意识

标准方程

x2

y2 +

=1?a>b>0?

x2

y2 +

=1?a>b>0?

a2 b2

b2 a2

y

y

P



图形

F2 P



F1 O F2

x

O

x

F1



焦点坐标

F 1?-c,0?, F 2?c,0? F 1?0?,?-c?, F 2?0?,?c?



定义

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹

同 点

a、b、c 的关系

a2 =b2 +c2

焦点位置的判断 分母哪个大,焦点就在哪个轴上

思考:

1.椭圆 x2?y2 ?1的焦2距 ,为 则 m的值是多少

m4

2.椭圆x2

y2 ?

?1的焦点坐标是什么?

m-2 m?5

3.在圆 x2 ?y2 ?4上任取一 P,过 点P作x轴的垂线

PD(D为垂足),P在 当圆 点上运动时P,D线段

中点 M的轨迹是什么??为什么

变式:已知x2圆?y2 ?9,从这个圆上任取一点

P作x轴的垂P线P/ (P/为垂足),M点 在PP/上,

并且PM? 2MP/ ,求点M轨迹方程。

1、方程 ?x?3 ?2?y2??x?3 ?2?y2?10
表示________。
2、方程 ?x? 3 ?2?y2??x? 3 ?2?y2? 6
表示________。
3、方程 x2??y?3 ?2?x2??y?3 ?2?10
表示________。
4、方程 ?x?3?2?4??x?3?2?4?10
的解是________。


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