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无极县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

无极县第一高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1.

座号_____

姓名__________

分数__________

如图所示,已知四边形 ABCD 的直观图是一个边长为的正方形,则原图形的周长


为(

A. 2 2

B.

C.

D. 4 2+2 )

2. 已知在 R 上可导的函数 f(x)的图象如图所示,则不等式 f(x)?f′(x)<0 的解集为(

A.(﹣2,0) B.(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0) C.(﹣∞,﹣2)∪(0,+∞) 3. 已知 g ( x) ? ( ax ? 取值范围是( A. ( ?1, ??) ) B. ( ?1, 0)
2

D.(﹣2,﹣1)∪(0,+∞)

b b ? 2a )e x (a ? 0) ,若存在 x0 ? (1, ??) ,使得 g ( x0 ) ? g '( x0 ) ? 0 ,则 的 x a
C. ( ?2, ??) D. ( ?2, 0)

4. 已知圆 M 过定点 (0,1) 且圆心 M 在抛物线 x ? 2 y 上运动,若 x 轴截圆 M 所得的弦为 | PQ | ,则弦长

| PQ | 等于(
A.2 难度较大.

) B.3 C.4 D.与点位置有关的值

【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质,对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高,

5. 一个椭圆的半焦距为 2,离心率 e= ,则它的短轴长是( A.3 6. 函数 A.{x|1<x≤4} B.{x|1<x≤4,且 x≠2}
2 2

) D.6

B.

C.2 的定义域为(



C.{x|1≤x≤4,且 x≠2} D.{x|x≥4}

7. 双曲线 E 与椭圆 C:x +y =1 有相同焦点,且以 E 的一个焦点为圆心与双曲线的渐近线相切的圆的面积 9 3

第 1 页,共 16 页

为π,则 E 的方程为( 2 x2 A. -y =1 3 3
2

) B.x -y =1 42 2
2 2

C.x -y2=1 D. -y =1 5 2 4 8. 设平面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平面 β 内,且 b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的(
2

x

) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件   9. 已知 a∈R,复数 z=(a﹣2i)(1+i)(i 为虚数单位)在复平面内对应的点为 M,则“a=0”是“点 M 在第四象 限”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件   10.已知等比数列{an}的第 5 项是二项式(x+ )4 展开式的常数项,则 a3?a7( A.5   11.“双曲线 C 的渐近线方程为 y=± x”是“双曲线 C 的方程为 A.充要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.不充分不必要条件 ﹣ =1”的( ) B.18 C.24 D.36 )

12.已知数列{ a n }满足 a n ? 8 ? 和 m ,则 M ? m ? ( A. )

2n ? 7 ? ( n ? N ).若数列{ a n }的最大项和最小项分别为 M n 2 27 2
?

11 2

B.

C.

259 32
.

D.

435 32

二、填空题
13.三角形 ABC 中, AB ? 2 3, BC ? 2, ?C ? 60 ,则三角形 ABC 的面积为 14.下列四个命题: ①两个相交平面有不在同一直线上的三个公交点 ②经过空间任意三点有且只有一个平面 ③过两平行直线有且只有一个平面 ④在空间两两相交的三条直线必共面 其中正确命题的序号是      .  

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15.一组数据 2,x,4,6,10 的平均值是 5,则此组数据的标准差是      .   16.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合为  .

  17.在△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD⊥BC,AC=5  
2

,CD=5,BD=2AD,则 AD 的长为  .
3

18.【南通中学 2018 届高三 10 月月考】已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x ,若曲线 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线经 过圆 C : x 2 ? ? y ? a ? ? 2 的圆心,则实数 a 的值为__________.

?

?

三、解答题
19. 2016 年 1 月 1 日起全国统一实施全面两孩政策. 为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度, 某市选取 70 后和 80 后作为调查对象,随机调查了 100 位,得到数据如表: 70 后 80 后 合计 生二胎 30 45 75 不生二胎 15 10 25 合计 45 55 100

(Ⅰ)以这 100 个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市 70 后公民中随机抽取 3 位,记其中生二胎的人数为 X,求随机变量 X 的分布列和数学期望; (Ⅱ)根据调查数据,是否有 90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由. 参考数据: P(K2>k) k (参考公式: 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879

,其中 n=a+b+c+d)

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20.(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? 22 x ? 7 ? a 4 x ?1 ? a ? 0且a ? 1? . (1)当 a ?
2 时,求不等式 f ? x ? ? 0 的解集; 2

1? 时, f ? x ? ? 0 恒成立,求实数的取值范围. (2)当 x ? ? 0 ,

21.(本小题满分 12 分) 已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? n ? 2a n ( n ? N *) . (1)证明:数列 {a n ? 1} 为等比数列,并求数列{ a n }的通项公式; (2)数列{ bn }满足 bn ? a n ? log 2 ( a n ? 1)(n ? N *) ,其前 n 项和为 Tn ,试求满足 Tn ? 最小正整数 n. 【命题意图】本题是综合考察等比数列及其前 n 项和性质的问题,其中对逻辑推理的要求很高.

n2 ? n ? 2015 的 2

22.(本小题满分 12 分) 2014 年 7 月 16 日,中国互联网络信息中心发布《第三十四次中国互联网发展状况报告》,报告显示:我国网 络购物用户已达 3.32 亿.为了了解网购者一次性购物金额情况,某统计部门随机抽查了 6 月 1 日这一天 100 名网购者的网购情况,得到如下数据统计表.已知网购金额在 2000 元以上(不含 2000 元)的频率为 0.4 .

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(Ⅰ)确定 x , y , p , q 的值; (Ⅱ)为进一步了解网购金额的多少是否与网龄有关,对这 100 名网购者调查显示:购物金额在 2000 元以上 的网购者中网龄 3 年以上的有 35 人,购物金额在 2000 元以下(含 2000 元)的网购者中网龄不足 3 年的有 20 人. ①请将列联表补充完整; 网龄 3 年以上 购物金额在 2000 元以上 购物金额在 2000 元以下 合计 参考数据: 35 20 100 网龄不足 3 年 合计

②并据此列联表判断,是否有 97.5 %的把握认为网购金额超过 2000 元与网龄在三年以上有关?

? ?? 2 ? k ?

0.15 2.072
2

0.10 2.706
2

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

n ? ad ? bc ? (参考公式: ? ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?

23.已知全集 U=R,函数 y= (1)集合 A,B;

+

的定义域为 A,B={y|y=2x,1≤x≤2},求:

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(2)(?UA)∩B.

24.(本题满分 15 分) 设点 P 是椭圆 C1 :

x2 y2 x2 过点 P 作椭圆的切线, 与椭圆 C 2 : 2 ? 2 ? 1(t ? 1) 交于 A , ? y 2 ? 1 上任意一点, 4 4t t

B 两点.

(1)求证: PA ? PB ; (2) ?OAB 的面积是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由. 【命题意图】本题考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,意在考查解析几何的基本思想方 法和综合解题能力.

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无极县第一高级中学 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】

考 点:平面图形的直观图. 2. 【答案】B 【解析】解:由 f(x)图象单调性可得 f′(x)在(﹣∞,﹣1)∪(0,+∞)大于 0, 在(﹣1,0)上小于 0, ∴f(x)f′(x)<0 的解集为(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0). 故选 B.   3. 【答案】A 【解析】

考 点:1、函数零点问题;2、利用导数研究函数的单调性及求函数的最小值. 【方法点晴】 本题主要考查函数零点问题、 利用导数研究函数的单调性、 利用导数研究函数的最值, 属于难题. 利 用导数研究函数 f ? x ? 的单调性进一步求函数最值的步骤:①确定函数 f ? x ? 的定义域;②对 f ? x ? 求导;③ 令 f ? ? x ? ? 0 ,解不等式得的范围就是递增区间;令 f ? ? x ? ? 0 ,解不等式得的范围就是递减区间;④根据单

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调性求函数 f ? x ? 的极值及最值(若只有一个极值点则极值即是最值,闭区间上还要注意比较端点处函数值的 大小). 4. 【答案】A 【解析】过 M 作 MN 垂直于 x 轴于 N ,设 M ( x0 , y0 ) ,则 N ( x0 ,0) ,在 Rt?MNQ 中, | MN |? y0 , MQ 为 圆的半径, NQ 为 PQ 的一半,因此
2 2 2 | PQ |2 ? 4 | NQ |2 ? 4(| MQ |2 ? | MN |2 ) ? 4[ x0 ? ( y0 ? 1) 2 ? y0 ] ? 4( x0 ? 2 y0 ? 1) 2 ? 4( x0 ? 2 y0 ? 1) ? 4 ,∴ | PQ |? 2 .

又点 M 在抛物线上,∴ x0 ? 2 y0 ,∴ | PQ |
2

2

5. 【答案】C 【解析】解:∵椭圆的半焦距为 2,离心率 e= , ∴c=2,a=3, ∴b= ∴2b=2 . 故选:C. 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质.属基础题.   6. 【答案】B

【解析】解:要使函数有意义,只须







解得 1<x≤4 且 x≠2, ∴函数 f(x)的定义域为{x|1<x≤4 且 x≠2}.

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故选 B   7. 【答案】 【解析】选 C.可设双曲线 E 的方程为x - y =1,
2 2

a2 b2 b 渐近线方程为 y=± x,即 bx±ay=0, a

由题意得 E 的一个焦点坐标为( 6,0),圆的半径为 1, | b| ∴焦点到渐近线的距离为 1.即 6 =1, b2+a2 又 a2+b2=6,∴b=1,a= 5, ∴E 的方程为x -y2=1,故选 C. 5 8. 【答案】B
2

【解析】解:∵b⊥m,∴当 α⊥β,则由面面垂直的性质可得 a⊥b 成立, 若 a⊥b,则 α⊥β 不一定成立, 故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件, 故选:B. 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用线面垂直的性质是解决本题的关键.   9. 【答案】A 【解析】解:若 a=0,则 z=﹣2i(1+i)=2﹣2i,点 M 在第四象限,是充分条件, 若点 M 在第四象限,则 z=(a+2)+(a﹣2)i,推出﹣2<a<2,推不出 a=0,不是必要条件; 故选:A. 【点评】本题考查了充分必要条件,考查了复数问题,是一道基础题.   10.【答案】D 【解析】解:二项式(x+ )4 展开式的通项公式为 Tr+1= 令 4﹣2r=0,解得 r=2,∴展开式的常数项为 6=a5, ∴a3a7=a52=36, 故选:D. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.   11.【答案】C ?x4﹣2r,

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【解析】解:若双曲线 C 的方程为 若双曲线 C 的方程为 不成立, ﹣



=1,则双曲线的方程为,y=± x,则必要性成立, ﹣ =1 不成立,即充分性

=2,满足渐近线方程为 y=± x,但双曲线 C 的方程为

故“双曲线 C 的渐近线方程为 y=± x”是“双曲线 C 的方程为 故选:C



=1”的必要不充分条件,

【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据双曲线和渐近线之间的关系是解决本题的关键.   12.【答案】D 【解析】

2n ? 7 2n ? 5 2n ? 5 2n ? 7 ,? an ?1 ? 8 ? n ?1 ,? an ?1 ? an ? n ?1 ? n 2 2 2 2n 2n ? 5 ? 2 ? 2n ? 7 ? ?2n ? 9 ,当 1 ? n ? 4 时, an ?1 ? an ,即 a5 ? a4 ? a3 ? a2 ? a1 ;当 n ? 5 时, an ?1 ? an , ? ? 2n ?1 2n ?1 259 11 即 a5 ? a6 ? a7 ? ... .因此数列 ?an ?先增后减,? n ? 5, a5 ? 为最大项, n ? ?, an ? 8 ,? a1 ? ,? 最 32 2 11 11 259 435 小项为 ,? m ? M 的值为 ? .故选 D. ? 2 2 32 32
试题分析:? 数列 an ? 8 ? 考点:数列的函数特性.

二、填空题
13.【答案】 2 3 【解析】 试题分析:因为 ?ABC 中, AB ? 2 3, BC ? 2, C ? 60? ,由正弦定理得

BC ? AB ,即 A ? C ,所以 C ? 30? ,∴ B ? 90? , AB ? BC , S ?ABC
考点:正弦定理,三角形的面积.

1 2 3 2 , sin A ? ,又 ? 2 3 sin A 2 1 ? ? AB ? BC ? 2 3 . 2

【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用,三角形的面积公式.在解三角形有关问题时,正弦定理、余弦定 理是两个主要依据,一般来说,当条件中同时出现 ab 及 b 、 a 时,往往用余弦定理,而题设中如果边和正 弦、余弦交叉出现时,往往运用正弦定理将边化为正弦,再结合和、差、倍角的正弦公式进行解答.解三角形 时.三角形面积公式往往根据不同情况选用不同形式
2 2

1 1 1 abc ab sin C , ah , (a ? b ? c)r , 等等. 2 2 2 4R

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14.【答案】 ③ . 【解析】解:①两个相交平面的公交点一定在平面的交线上,故错误; ②经过空间不共线三点有且只有一个平面,故错误; ③过两平行直线有且只有一个平面,正确; ④在空间两两相交交点不重合的三条直线必共面,三线共点时,三线可能不共面,故错误, 故正确命题的序号是③, 故答案为:③   15.【答案】 2

 .

【解析】解:∵一组数据 2,x,4,6,10 的平均值是 5, ∴2+x+4+6+10=5×5, 解得 x=3, ∴此组数据的方差 ∴此组数据的标准差 S= 故答案为:2 . [(2﹣5)2+(3﹣5)2+(4﹣5)2+(6﹣5)2+(10﹣5)2]=8, =2 .

【点评】本题考查一组数据的标准差的求法,解题时要认真审题,注意数据的平均数和方差公式的求法.   16.【答案】 {(x,y)|xy>0,且﹣1≤x≤2,﹣ ≤y≤1} . 【解析】解:图中的阴影部分的点设为(x,y)则 {x,y)|﹣1≤x≤0,﹣ ≤y≤0 或 0≤x≤2,0≤y≤1} ={(x,y)|xy>0 且﹣1≤x≤2,﹣ ≤y≤1} 故答案为:{(x,y)|xy>0,且﹣1≤x≤2,﹣ ≤y≤1}.   17.【答案】 5 . 【解析】解:如图所示:延长 BC,过 A 做 AE⊥BC,垂足为 E, ∵CD⊥BC,∴CD∥AE, ∵CD=5,BD=2AD,∴ 在 RT△ACE,CE= ,解得 AE= = , = ,

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得 BC=2CE=5

, = =10,

在 RT△BCD 中,BD= 则 AD=5, 故答案为:5.

【点评】本题考查平行线的性质,以及勾股定理,做出辅助线是解题的关键,属于中档题.   18.【答案】 ?2 【解析】结合函数的解析式可得: f ?1? ? 1 ? 2 ? 1 ? ?1 ,
3

对函数求导可得: f ' ? x ? ? 3 x ? 2 ,故切线的斜率为 k ? f ' ?1? ? 3 ? 1 ? 2 ? 1 ,
2 2

则切线方程为: y ? 1 ? 1? ? x ? 1? ,即 y ? x ? 2 , 圆 C : x 2 ? ? y ? a ? ? 2 的圆心为 ? 0, a ? ,则: a ? 0 ? 2 ? ?2 .
2

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由已知得该市 70 后“生二胎”的概率为 P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= 其分布列如下: X P = 0 = , = , = , , 1 2 3 = ,且 X~B(3, ),

(每算对一个结果给 1 分) ∴E(X)=3× =2.

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(Ⅱ)假设生二胎与年龄无关, K2= = ≈3.030>2.706,

所以有 90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”.   ?32 ? 15 ? ? , 1 128 ? . 20.【答案】(1) ? ?? , ? ;(2) a ? ? ? ? 4 ? ? ?1 , 8? ? ? ? 【解析】 试题分析:(1)由于 a ?
15 ? ? 2 x ?7 ? ?? , ? ;(2)由 2 8? ?
1 1 ? ? 4 x ?1? ? 1 15 2 ? 2 2 ? 22 x ? 7 ? 2 2 ? 2 x ? 7 ? ? ? 4 x ? 1? ? x ? ? 原不等式的解集为 2 2 8 4 a 4 a , ? a 4 x ?1 ? ? 2 x ? 7 ? lg 2 ? ? 4 x ? 1? lg a ? xAlg 4 ? lg ? 0 .设 g ? x ? ? x Alg 4 ? lg a 128 a 128

3 ? ?32 ? 2 ? g ?1? ? 0 , 1? 128 ? . 原命题转化为 ? ? ? a ? 128 ? 又 a ? 0 且 a ? 1 ? a ? ? ? ? ? ?1 , 4 ? ? 4 ? ? g ? 0? ? 0

考 点:1、函数与不等式;2、对数与指数运算. 【方法点晴】 本题考查函数与不等式、 对数与指数运算, 涉及函数与不等式思想、 数形结合思想和转化化高新, 以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力与能力,综合性较强,属于较难题型. 第一小题利用函数 1 15 与不等式思想和转化化归思想将原不等式转化为 2 x ? 7 ? ? ? 4 x ? 1? ,解得 x ? ;第二小题利用数学结合思 2 8

第 13 页,共 16 页

3 ? ?32 ? 2 ? g ?1? ? 0 , 1? 128 ? . 想和转化思想,将原命题转化为 ? ? ? a ? 128 ,进而求得: a ? ? ? ? ? ?1 , 4 ? ? 4 ? ? g ? 0? ? 0

21.【答案】 【解析】(1)当 n ? 1时, a1 ? 1 ? 2a1 ,解得 a1 ? 1 . 当 n ? 2 时, Sn ? n ? 2an , ① ② (3 分) (1 分)

S n ?1 ? (n ? 1) ? 2an ?1 ,

①-②得, an ? 1 ? 2an ? 2an ?1 即 an ? 2an ?1 ? 1 , 即 an ? 1 ? 2( an ?1 ? 1)( n ? 2) ,又 a1 ? 1 ? 2 . 即 an ? 1 ? 2n 故 an ? 2n ? 1 ( n ? N * ). 所以 ?an ? 1? 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列.

(5 分)

22.【答案】 【解析】(Ⅰ)因为网购金额在 2000 元以上的频率为 0.4 , 所以网购金额在 2000 元以上的人数为 100 ? 0.4 =40 所以 30 ? y ? 40 ,所以 y ? 10 ,……………………1 分

x ? 15 ,……………………2 分 所以 p ? 0.15, q ? 0.1 ……………………4 分
⑵由题设列联表如下

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网龄 3 年以上 购物金额在 2000 元以上 购物金额在 2000 元以下 合计 35 40 75

网龄不足 3 年 5 20 25

合 计 40 60 100 所 以 K ?
2

……………………7 分

n( ad ? bc ) 2 = ( a ? b )(c ? d )( a ? c )(b ? d )

100(35 ? 20 ? 40 ? 5) 2 ? 5.56 …………9 分 75 ? 25 ? 40 ? 60 因为 5.56 ? 5.024 ……………………10 分 所以据此列联表判断,有 97.5 %的把握认为网购金额超过 2000 元与网龄在三年以上有关.
……………………12 分 23.【答案】 【解析】解:(1)由 A=[0,3], 由 B={y|y=2x,1≤x≤2}=[2,4], (2))?UA=(﹣∞,0)∪[3,+∞), ∴(?UA)∩B=(3,4]   24.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析. ,解得 0≤x≤3

∴点 P 为线段 AB 中点, PA ? PB ;…………7 分

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( 2 ) 若 直 线 AB 斜 率 不 存 在 , 则 AB : x ? ?2 , 与 椭 圆 C 2 方 程 联 立 可 得 , A( ?2,? t ? 1) ,
2

B(?2, t 2 ? 1) ,故 S ?OAB ? 2 t 2 ? 1 ,…………9 分
若直线 AB 斜率存在,由(1)可得

4m 2 ? 4t 2 1? k 2 t 2 ?1 ? 8km 2 , , ,…………11 分 x x ? AB ? 1 ? k x ? x ? 4 1 2 1 2 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1 4k ? 1 2 m 4k ? 1 点 O 到直线 AB 的距离 d ? ,…………13 分 ? 1? k 2 1? k 2 1 2 2 ∴ S ?OAB ? AB ? d ? 2 t ? 1 ,综上, ?OAB 的面积为定值 2 t ? 1 .…………15 分 2
x1 ? x 2 ?

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