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2019-2020学年高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计互动课堂学案苏教版必修3.doc

2019-2020 学年高中数学第 2 章统计 2.3 总体特征数的估计互动课堂 学案苏教版必修 3
疏导引导 1.平均数及其估计 (1)平均数定义 若给定一组数据 x1,x2,…,xn,则称 x =

1 n

?
i ?1

n

xi(i=1,2,3,…,n)为这组数据 x1,x2,…,xn

的平均数(或均值).通常用样本平均数来估计总体平均数.当所给数据中没有重复数据时,我 们一般用此公式来求这组数据的平均数 .这里

?
i ?1

n

xi=

1 (x1+x2+……xn).平均数反映了一组 n

数据的集中趋势,我们常用一组数据的平均数来衡量这组数据的水平. 当一组数据中的重复数据过多时,若用上面公式求这组数据的平均数,其过程就会显得 比较复杂和冗长,为了简化计算过程,我们引入下面这种计算平均数的方法: 一般地,若取值为 x1,x2,…,xn 的频率分别为 p1,p2, …,pn,则其平均数为 x1p1+x2p2+… +xnpn.这一公式实质上就是公式 数据组求平均数. 除此之外,当所给数据在某一常数 a 的上下波动时,我们也可利用公式: x = x ' +a,其中

a1 ? a 2 ? ? ? a n 的一个变形,它主要用于含有重复数据的 n

1 x ' = (x1′+x2′+…+xn′),x1′=x1-a,x2′=x2-a,x3′=x3-a,…,xn′=xn-a;常数 a 通常取接 n
近于这组数据的平均数较“整”的数. 例如:求数据 70,71,72,73 的平均数时,我们可以先求出 0,1,2,3 的平均数,然后将此平 均数加上 70 即得该组数据的平均数. (2)平均数的性质 ①若给定一组数据 x1,x2,…,xn 的平均数为 x ,则 ax1,ax2, …,axn 的平均数为 a x ; ②若给定一组数据 x1,x2, …,xn 的平均数为 x ,则 ax1+b,ax2+b, …,axn+b 的平均数为 a x +b; (3)用样本平均数估计总体平均数 从一个总体中随机抽取一个容量一定的包含大量数据的样本,利用样本平均数的计算公 式求出样本平均数,由此得出的总体平均数就是所求样本平均数. 在这里两次从总体中抽取容量相等的样本,分别求出样本平均数, 两个样本平均数会不相同,所以用样本平均数估计总体平均数时 ,样本平均数只是总体 平均数的近似值. 案例 1 下面是某一个工厂所有工作人员在某个月的工资,总经理 6 000 元,技术工人甲 900 元,技术工作人员乙 800 元,杂工 640 元,服务员甲 700 元,服务员乙 640 元,会计 820 元. (1)计算所有工作人员的平均工资. (2)去掉总经理后,再计算平均工资.

(3)在(1)和(2)中两种平均工资哪一种能代表一般工人的收入水平,为什么? 【探究】计算平均工资是用工资总数除以领工资的人数即可. 【解析】(1)所有工作人员平均工资为 x = (2)去掉总经理后平均工资为 x ' =

1 (6 000+900+800+640+700+640+820)=1 500(元). 7

1 (900+800+640+700+640+820)=750(元). 6

(3)能代表一般工人的收入水平的是去掉总经理后的平均工资 750 元.因为除去总经理之外, 工作人员的工资均在 900 元以下,因此不能以 1 500 元来代表职工的平均工资水平. 规律总结 一般地,在一组数据中,平均数、众数、中位数能够反映该组数据的集中趋势和平 均水平,但有时需要去掉极端值(极大值或极小值),这样计算平均数则更能反映平均水平,这 就是有些比赛活动中往往会去掉一个最大值和一个最小值再去计算平均成绩的原因. 2.方差与标准差 设一组样本数据 x1,x2,…,xn,其平均数为 x ,则称 s=
2

1 n

?
i ?1

n

(xi- x )

2

为这个样本的方差,其算术平方根 s=

1 n ( x ? x) 2 为样本的标准差,分别简称样本方 ? n i ?1

差、样本标准差. 疑难疏引 (1)为了更好地比较两组数据的集中程度,我们可以利用这两组数据的方差对两 组数据进行比较.方差较大的数据波动较大; 方差较小的数据波动较小.当所给的数据有单位 时,所求得的平均数与原数据的单位相同,不要漏写单位.方差的单位为所给数据单位的平方, 方差的算术平方根称作标准差,它与原数据单位相同,因而能更好地刻画数据的离散程度. (2)方差的性质 2 2 2 ①若给定一组数据 x1,x2,…,xn,方差为 s ,则 ax1,ax2,…,axn 的方差为 a s ; 2 2 2 ②若给定一组数据 x1,x2,…,xn,方差为 s ,则 ax1+b,ax2+b,…,axn+b 的方差为 a s ,特别地,当 2 a=1 时,则有 x1+b,x2+b,…,xn+b 的方差为 s ,这说明将一组数据的每一个数据都减去相同的一 个常数,其方差是不变的,即不影响这组数据的波动性; ③方差刻画了数据相对于均值的平均偏离程度.对于不同的数据集,当离散程度越大时,方差 越大; ④方差的单位是原始测量数据单位的平方,对数据中的极值较为敏感. (3) 我们可以通过计算样本方差和标准差对总体方差和标准差进行估计,也可以通过对两个
2 2 总体的样本方差的大小差异情况,对两个总体的波动情况进行推断和比较,当 x甲 =, s甲 < s乙

时,甲为优秀. (4)样本方差.标准差计算的简化. 2 方差的计算公式 s 可简化为: (Ⅰ)s =
2

1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 [ x1 + x2 +…+ xn ]-nx ,或写成 s = ( x1 + x2 +… xn )-x .即方差等于原数据平 n n
2 1 '2 '2 '2 [( x1 + x 2 +…+ xn )-n x' ]. n

方的平均数减去平均数的平方. (Ⅱ)s =
2

当一组数据中的数据较大时,直接计算它们的方差则比较麻烦,如果数据相互比较接近, 为了减少参与计算的数据,可仿照简化平均数的计算方法,将每个数据同时减去一个与它们 的平均数接近的常数 a, 得到一组新数据 x1′=x1-a,x2′=x2-a, … ,xn′=xn-a, 那么 ,s =
'2 '2 '2 [( x 2 + x2 +…+ xn )-n x' ] 也可写成 s =
2 2

1 n

2

2 1 '2 '2 '2 ( x1 + x 2 +…+ xn )- x' .即方差等于新数据的平 n

方的平均数减去新数据平均数的平方. 原数据 x1,x2,…,xn 的方差与新数据 x′1=x1-a,x′2=x2-a, …,x′n=xn-a 的方差相等,即 x′1,x′2…,x′n 的方差 s′ =
2 2

1 2 2 2 ·[(x′1- x ' ) +(x′2- x ' ) +…+(x′n- x ' ) ]等于原数据 n

x1,x2,…,xn 的方差 s . 案例 2 某班 40 人随机平均分成两组,两组学生一次考试的成绩情况如下表: 组别 统计量 平均 标准差 第一组 90 6 第二组 80 4 求全班平均成绩和标准差. 【探究】设第一组 20 名学生的成绩为 xi(i=1,2…,20), 第二组 20 名学生的成绩为 yi=(i=1,2,…,20), 依题意有:90= 80=

1 (x1+x2+…+x20), 20

1 (y1+y2+…+y20),故全班平均成绩为: 20 1 1 (x1+x2+…+x20+y1+y2+…+y20)= (90×20+80×20)=85; 40 40
又 设 第 一 组 学 生 成 绩 的 标 准 差 为 s1, 第 二 组 学 生 成 绩 的 标 准 差 为 s2, 则

s12 =

1 2 2 2 2 ( x1 + s2 +…+ x 20 -20 x ), 20 1 2 2 2 2 2 = (y1 +y2 +…+ y 20 -20y )(此处, x =90, x =80) s2 20
又设全班 40 名学生的标准差为 s,平均成绩为 z ( z =85), 故有 s =
2

1 2 2 2 2 2 2 2 ( x + x +…+ x 20 +y1 +y2 +…+ y 20 -40 z ) 40 1 2

1 2 2 2 2 2 (20 s1 +20 x +20 s2 +20 y -40z ) 40 1 2 2 2 2 2 = (6 +4 +90 +80 -2×85 )=51. 2
= s= 51 . 规律总结 平均数与方差,都是重要的数字特征数,是对总体的一种简明的描述,它们所反映 的情况有着重要的实际意义,所以,不仅需要掌握其计算公式和方法,还要学会通过这些数据 分析其含义,从而为正确决策提供依据. 案例 3 某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛,对甲、 乙两名跳高运动员进行了 8 次选

拔比赛,他们的成绩(单位:m)如下: 甲:1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67; 乙:1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75. 经预测,跳高 1.65 m 就很可能获得冠军.该校为了获取冠军,可能选哪位选手参赛?若预 测跳高 1.70 m 方可获得冠军呢? 【探究】 参加比赛的选手的成绩得突出,且成绩稳定,这就需要比较这两名选手的平均成绩和 成绩的方差. 甲的平均成绩和方差如下:

1 x甲 = (1.70+1.65+1.68+1.69+1.72+1.73+1.68+1.67)=1.69, 8 1 2 2 2 2 = [(1.70-1.69) +(1.65-1.69) +…+(1.67-1.69) ]=0.000 6. s甲 8
乙的平均成绩和方差如下:

1 x乙 = (1.60+1.73+1.72+1.61+1.62+1.71+1.70+1.75)=1.68, 8 1 2 2 2 2 = [(1.60-1.68) +(1.73-1.68) +…+(1.75-1.68) ]=0.003 15. s乙 8
显然,甲的平均成绩好于乙的平均成绩,而且甲的方差小于乙的方差,说明甲的成绩比乙稳定. 由于甲的平均成绩高于乙,且成绩稳定,所以若跳高 1.65 m 就很可能获得冠军,应派甲参赛. 在这 8 次选拔赛中乙有 5 次成绩在 1.70 m 以上,虽然乙的平均成绩不如甲,成绩的稳定性也 不如甲,若跳高 1.70 m 方可获得冠军时,应派乙参加比赛. 规律总结 在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,还要研究其偏离平均值的离散程度 (即方差或标准差).方差(标准差)大,说明取值分散性大,方差(标准差)小,说明取值分 散性小或说取值比较集中、稳定. 活学巧用 1.(2004 北京春季高考,理 10 文 10)期中考试以后,班长算出了全班 40 个人数学成绩的平均 分为 M.如果把 M 当成一个同学的分数,与原来的 40 个分数一起,算出这 41 个分数的平均值 为 N,那么 M∶N 为( ) A.

40 41

B.1

C.

41 40

D.2

解析:考查阅读理解能力,分析问题、解决问题的能力及统计初步知识. 设 40 位同学的成绩为 xi(i=1,2,…,40), 则 M=

x1 ? x 2 ? ? ? x 40 , 40

N=

x1 ? x 2 ? ? ? x 40 ? M 41

故 M∶N=1. 答案:B 2.某工人在 30 天中加工一种零件的日产量有 2 天是 51 件,3 天是 52 件,6 天是 53 件,8 天是 54 件,7 天是 55 件,3 天是 56 件,1 天是 57 件.计算该工人 30 天的平均日产量. 解: 在上面 30 个数据中,51 出现 2 次,52 出现 3 次,53 出现 6 次,54 出现 8 次,55 出现 7 次,56 出现 3 次,57 出现 1 次.由于这组数据都比 50 稍大一点,故将数据 51,52,53,54,55,56,57 同

时减去 50,得到 1,2,3,4,5,6,7. 它们出现的次数依次是 2,3,6,8,7,3,1. 那么,这组新数据的平均数是

x' =

1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? 7 ? 1 118 ? ≈4, 30 30

∴ x = x ' +a≈54(件), 即这个工人 30 天的平均日产量为 54 件. 点评:“同时减去 50”改为“同时减去 53”更方便. 3.某餐厅共有 8 名员工,某月工资如下图所示,则下列说法中不正确的是(



A.该餐厅员工工资的一般水平不是 1 125 元,尽管平均数是 1 125 B.因为众数为 320 元,所以该餐厅员工工资的一般水平是 320 元 C.因为中位数为 410 元,所以该餐厅员工工资的一般水平是 410 元 D.去掉一个最大数 6 000 元,去掉一个最小数 320 元,剩下 6 个数的平均数为 447 元,该餐厅 员工工资的一般水平一定是 477 元 答案:D 4.某班一次数学测验的成绩如下: 得 100 分的 6 人,得 90 分的 15 人,得 80 分的 18 人,得 70 分的 6 人,得 60 分的 3 人,得 50 分的 2 人,试计算这次测验全班的平均成绩. 解法一: x =

1 (6×100+15×90+18×80+6×70+3×60+2×50)=81.8(分). 50

解法二:取 a=80,将原数据都减去 80 得新数据及出现次数为 新数据 20 10 0 -10 -20 -30 出现次数 6 15 18 6 3 2 ∴ x' =

1 [6×20+15×10+18×0+6×(-10)+3×(-20)+2×(-30)]=1.8. 50

∴ x = x ' +a=1.8+80=81.8(分), 即这次测验全班的平均成绩为 81.8 分. 5.计算下面数据的方差(结果保留到小数点后第 1 位) : 3,-1,2,1,-3,3.

1 2 2 2 2 [( x1 + x2 +…+ xn )-n x ]比较方便. n 1 3 1 ? 2 ? 1 3?3 2 2 2 2 2 2 2 2 s = [3 +(-1) +2 +1 +(-3) +3 -6×( )] 6 6
解析:这组数据的平均数不是整数,选用公式 s =
2

1 5 2 [9+1+4+1+9+9-6×( ) ] 6 6 1 25 = ×33≈5.5-0.7=4.8. 6 36
= 6.在去年的足球甲 A 联赛上,一队每场比赛平均失球数是 1.5,全年比赛失球个数的标准差为 1.1; 二队每场比赛平均失球数为 2.1,全年比赛失球个数的标准差为 0.4.你认为下列说法中 哪一种是正确的? (1)平均说来一队比二队技术好; (2)二队比一队技术水平更稳定; (3)一队有时表现很差,有时表现又非常好; (4)二队很少不失球. 解: 本题主要考查对平均数和标准差的概念的理解.平均数反映了一组数据的平均水平,而方 差则反映了一组数据的波动性的大小.一队每场比赛平均失球数比二队每场比赛平均失球数 少,说明一队的技术比二队的技术好; 一队全年的比赛失球个数的标准差较大,说明一队的表 现时好时坏,起伏较大;二队的平均失球数多,全年比赛失球个数的标准差很小,说明二队的 表现较稳定,经常失球. 答案: (1) (2) (3) (4)都正确 7.(2005 山东青岛第二次质量检测 ) 对于一组数据 xi(i=1,2,3 … ,n), 如果将它们改变为 xi-c(i=1,2,3, …,n),其中 c≠0,则下面结论中正确的是( ) A.平均数与方差均不变 B.平均数变了,而方差保持不变 C.平均数不变,而方差变了 D.平均数与方差数均发生了变化 解 析 : x =

1 n
2

?
i ?1
2

n

xi, x ' =

1 n

?
i ?1

n

(xi-c)=

1 n

?
i ?1

n

xi-

1 ·nc= x -c, 而 n

s=

2

1 n

?
i ?1

n

(x-xi) ,s′ =

1 n

?
i ?1
2

n

[ x ' -(xi-c)] =
2

1 n

?
i ?1

n

[ x -c-(xi-c)] =

1 n

?
i ?1

n

( x -xi) =s ,所以其平均数变了,而方差保
2 2

持不变.故选 B. 答案:B 8.(2005 江苏南通调研考试)一组数据中的每一个数据都减去 80,得一组新数据,若这组数据 的平均数是 1.2,方差是 4.4,则原来一组数据的平均数和方差分别是( ) A.81.2,4.4 B.78.8,4.4 C.81.2,84.4 D.78.8,75.6 解析:由平均数与方差公式: x =

x1 ? x 2 ? ? ? x n , n

( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 s= 知,在每一个数都减去 80 后,平均数也减去 80,而 n
2

方差不变,所以选 A.

答案:A 9.某班有 48 名学生,在一次考试中统计出平均分为 70 分,方差为 75,后来发现有 2 名同学的 成绩有误,甲实得 80 分却记为 50 分,乙实得 70 分却记为 100 分,更正后平均分和方差分别是 ( ) A.70,25 B.70,50 C.70,1.04 D.65,25 解析:易得 x 没有改变, x =70, 而s= s′ = =
2 2

1 2 2 2 2 2 2 1[]48[ ( x1 + x2 +…+50 +100 +…+ x 48 )-48 x ]=75, 48

1 2 2 2 2 2 2 [( x1 + x2 +…+80 +70 +…+ x 48 )-48 x ] 48

1 2 2 [ (75×48+48x -12 500+11 300)-48 x ] 48 1200 =7548
=75-25=50. 答案:B 10.甲、 乙两台机床同时生产直径为 40 ㎜的零件.为了检验产品的质量,从两台机床生产的产 品中各抽取 10 件进行了测量,结果如下: 甲/mm 40.0 39.8 40.1 40.2 39.9 乙/mm 40.0 40.0 39.9 40.0 39.9 甲/mm 40.0 40.2 39.8 40.2 39.8 乙/mm 40.1 40.1 40.1 40.0 39.9 能用几种方法比较这两台机床的性能? 分析: 经简单计算可以得出:甲、 乙两台机床生产的这 10 件产品的直径的平均数都为 40 mm. 所以,不能从平均数这一角度来比较这两台机床的性能,即不能从数据的平均水平上来比较, 只能从数据的离散程度上进行比较.要从数据的离散程度上进行比较,常见的方法有以下几 种: 解法一:利用初中所学的折线统计图.由折线统计图我们可以直观地表示出这两组数据的离 散程度,甲机床生产的产品波动幅度比乙大.所以,乙机床的性能好于甲. 解法二:利用这两组数据的极差进行比较 .甲:40.2-39.8=0.04;乙:40.1-39.9=0.02.显然, 乙组数据的极差小于甲组数据的极差.所以,乙机床的性能好于甲. 解法三:利用这两组数据的方差或标准差进行比较 .由方差和标准差的计算公式不难得出甲
2 2 的方差为 s甲 =0.026(mm ),标准差为 s 甲=0.161(mm);乙的方差为 s乙 =0.006(mm ),标准差为 s
2 2

=0.077(mm).由上可知:不论是方差还是标准差甲的均比乙的大,这就说明乙机床生产的产 品要更标准些.所以,乙机床的性能好于甲.



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