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抛物线焦点弦端点处切线的性质与相关高考题_图文

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3 8  

中学 数 学 研 究 

2 0 0 8年 第 2期 

抛 物线 焦点 弦端点 处切 线 的性质 与相关 高 考题 
江苏省灌云县高级 中学  ( 2 2 2 2 0 0 )   翟洪亮 
对抛 物线焦 点弦 的有关 性 质很 多 文献 已给 出  较 为详尽 的说 明 , 本 文 只介绍 过 焦点 的直线 与抛 物  线 两交点处 的切线 相关性 质 以及考 题.  


该 曲线 的另 一 条切 线 , 且Z .上  

Z   . (I) 求直线 Z   的方程 ; ( Ⅱ)  

求 由直线 z   、 z   和  轴所 围成 的 
三角 形 的面积.  

I  
图2  



抛 物 线焦 点 弦 端 点 处切 线 互 相 垂 直 
证: 设A B为抛物线焦 点弦,  
  I
  ‘

评论: 本 题 以抛 物 线 为 载  体, 考查导 数 相关 知识 . 因 为两  切线 垂直 与性 质 一 的逆命 题 有 
~  

A ( x   , Y A ) , B ( x   , Y B ) , 易知过 

A ( x ^ , Y A ) 切线斜率为 c=X A / p ,   过 B( %, Y   )切线 斜 率 为  。 =  
%/ p . 设直线 l a b : Y=k x+( p / 2 ) ,  

关, 且该 抛物线 由Y=   平 移而得 , 所 以焦 准距 P=   1 / 2 . 由上 述可知两 切点 的 连线 必过 焦点 ( 一1 / 2 ,一   2 ) , 直线 Z   、 Z   的交点 在准线 Y=一5 / 2上. 此 为两切 

由 方 程 组 f  k x + ( p / 2 ) ,  
L   =2 p y.  

图 1  

线 焦点 的纵坐 标 , 代人 z   的方程 Y=3 (   一1 ) , 立 即 
得 到交点 坐标 为 C ( 1 / 6 ,一5 / 2 ) , 再 利用 垂 直 的斜  率关 系可得 Z ,的方 程 , 同样 可求 出三角形 的面积.   例2 ( 2 0 0 6年 高 考 重 庆 卷  第2 2题 )   如图, 对 每 个 正整  数n , A   (  , Y   )是抛 物线  =   4 y 上 的点 , 过 焦点 F的直线 F A  
交 抛物 线 于另 一 点 B   ( s   , t   ) .  
(I) 试证 :  s  =一4 ( n≥ 1 ) ;  
图3  

得  一2 p k x— P  =0 , 解 得  =p U或 p V , 其 中 U=  

+ ̄ /   +1 , V=   一 ̄ /   +1 , 贝 0   ^= p  ,   B=p   ,  
c=U,   B c=V , 显然 k A C k B c=U V=一1 , 两 切线互  相 垂直.  

二、 抛 物 线 焦点 弦端 点 处 切 线 交点 在 准 线 上 
证: 同上 知 A ( p U, k p U +( p / 2 ) ) , B( p V , k p V+   ( p / 2 ) ) , 两切线方程为 :  。: U一( p / 2 )= U (  —   p U) ,  。 : V一( p / 2 )=V (   —p V ) . 两 切线 交 点 为  c (   , 一p / 2 ) , 在抛物线 的准线 Z : Y =一 p / 2上 .  

( Ⅱ) 取  =2   , 并记 c   为抛 物 

线 上分别 以 A  与 B  为切 点 的两 条切 线 的交 点. 试 
证 :l   F C1   l +l   FC 2   l +… +l   FC  l=2  一2 一   +1 .  

三、 抛 物 线 焦 点 弦 端 点 处 切 线 交点 和 焦 点 的  连线 垂 直 于 焦点 弦 
证: 显 然 直线 F C的斜 率 为 
= 一

评论: 本 题 以抛物 线焦 点 弦端点 处切 线交 点 必  =一1 / k ,   , G  

在 其准线 上这一 性质 作 为命题 的出发 点. 这些 点 的 
纵 坐标 为常 数 , 这 为 简 化 计 算 线 段 长 度 埋 下 了伏  笔, 也是 此题 的绝妙 之处. 再把A   点横 坐标设 为 2   ,   从 而又 考查 数列 求和 的相 关 知识 , 在 知识 的交 汇 处 

1. FC 上 AB.  

四、 三 角 形 AB C 的面 积 的最 小 值 为  证: 易得 l   A B   I = √(   B—  A )  +( Y B —Y ^ )  


 ̄ / 1 +    ̄ / ( x B +   ^ )  一 4 x ^   B=2 p ( 1+  ) ,  

命题, 也 是此题 的 闪光 之处.   例3 ( 2 0 0 6年 高考全 国卷 2 2题 )   已知抛 物线 


l   F c   l = ̄ / (   c —   , )  + ( Y c — Y , )  = P ̄ / 1 +  ,  
s △ ^ B c= I   A B   I   I   F c   I / 2= P  、 , / ( 1+  )   , 故当  =  
0即 A B∥ z 时, AA B C的面积有最 小值 为 P   .   上述 四个 性质 的逆命题 也成 立 ( 限 于篇 幅不 作 
证 明) , 这些性质 在近 年高考 试题 中多 处得 到体现.  

4 y的焦 点 为 F, A、 B是抛 物线 上 的两 动 点 , 且 

A F =A   F B( A >0 ) . 过 A、 B两 点分别 作抛物 线 的切 
线, 设 其 交 点 为  .(I )证 明 : F  ? A  为定值 ;   ( Ⅱ) 设 AA B M 的面积 为 S , 写 出 S =. 厂 ( A)的表达  式, 并 求 S的最小 值.   评论 : 本题 是 用 向量 形式 给 出抛 物线 焦点 弦 的  形式 , 考 查 上述性 质 一与 性 质 四在特 殊情 况 下 的两 

例1 ( 2 0 0 4年高 考全 国卷第 1 9题 )   已知 直线  z  为曲线 Y=X  +X一2 在点( 1 , 0 ) 处 的切 线 , z   为 

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中学 数 学研 究 

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转变解题 思路 , 提 高解题 能力 — — 以一道试题 解 析为 例 
西南大 学数学 与统计学院   ( 重庆 , 4 0 0 7 1 5 )   王 宽明   李忠如 
( 试题 A) “ 已知 实数 a , b 满 足 a! /1 一b  +   b! / 1一口  =1 , 求证 : 口   + b  =1 . ” 试题 A 被许多高 
三复 习资料所 引用 , 普遍 认 为其 直接 的代 数方 法证  明是麻烦 的 , 所 附答 案几 乎是 清一 色的 “ 三 角法 ” 证  明. 笔者就 此探 讨一 下 试 题 A 的解 法 , 反 思 不 同 的  思维方法 和 问题 解决 的角 度 , 以帮助 我们 提 高 对 问 
题 的探究能 力.  

方 即得 a  +b  =1 . 这不但 完成 了证 明 , 而且揭示 了 
试题  的 内涵.   我们 可以从 问题 证 明 的技 巧 和 技 能 的 纵 向 角 

度 出发 , 进 一步 反思 , 以“ 切 点重 合 ”为切 人点 进 行 
思考 , 通 过 以下策 略来 解决 问题 :  




模式识别 : 转化陌生 问题 为熟悉 问题 
分析 : 因为“ 切点 重合 ” , 故J   A B   l =0 .   证法 2   在 平 面 直 角 坐 标 系 中,设  ( a ,  

“ 三角法 ”证 明试题 A 的主要 步骤 如下 : ( 证法 
1 )由   1一o  和 , / 1一b   有 意义 , 可知 :   1一o  ≤  

/1 , 一a   ) , B ( / , 1一b   , b ) , 则  l   A B   l   =2 [ 1 一( 口, /1一b  +b, / 1一口   ) ]=0 .  
故  、   重合 , 可得 a  +b   =1 .  
显然 , 这 里 的代 数 方法 并 不 比“ 三角 法 ”繁难.   解 法 的关 键是 弄清题 意 , 把 题 中 隐含 的 内容挖 掘 出 

1 和, /1一b   ≤1 . 显然 l   a   l ≤1 , l   b   l ≤1 . 又由于原 
式左边 两项 的绝对 值 都不 大 于 1 , 但 右 边为 1 , 所 以  a , b 都 是不大 于 1的非 负数. 由此 可设 a =c o s O   , b   =s i n O 2 , 0 1 , 0 2   E[ 0 , 7 r / 2 ] . 代 人原式 , 得c o s O 1 c o s O 2  
+s i n O 1 s i n 0 2= 1 =   c o s ( 0 1 —0 2 )=1 . 因 一7 r / 2≤ 0 1  


来, 并且 能够迁 移知识 , 赋 予代数式 新 的几 何意义 .  

0 2≤ 7 r / 2 , 故 0 1= 0 2 . 从而 a  +b  =C O S   0 1+  

二、 映射 化 归 : 转 化 新 问题 为等 价 问题 
分析 : 因“ 切点重合” , 故对应坐标相等.  

s i n   0 2: C O S   0 】+ s i n   0 】= 1 .“ 三 角 法 ”主 要 从 

√ 1一o   , /1 , 一b  的形式联想三角函数的内容 , 把 
形式 与内容结合 起来 思考 . 但 这 种解 法 缺 乏高 层 建 
瓴 的观点 指导 , 对 试 题 A没有 深 刻 的数 学 理 解. 上  述证法 实 质 上 只 看 到 坐 标 平 面 上 的两 个 点  ( a ,  

证法3   因o, /1 一b   + b, / 1一o  =1 , 移项平 

方得

b   ( 1 一口   )=1— 2 a, /1一b   + 口   ( 1 一b   ) .  

再移项、 配方得  ( o—ji —b   )  =0 ,  
故 口=   1一 b 2 :   口  +b  = 1 .  

、 / / 1一口   ) 和  ( /1 , 一b   , b ) 在单位 圆   +Y  : 1  
上, 因而有参 数 形 式 即 三 角变 换 , 但 它 忽 略 了一 个 

这个解 法 的过程 比证法 2更 简 洁. 其 关 键之 处 
在 于利用  、  重 合这个先 人 为主 的条件. 此 解法 也  加深 了我们 对数 学 知 识 、 思 想 和 方 法发 生 、 发 展 的  认 识 过程.由映 射 化 归 的策 略 , 思 路 可 走 更 远.由 

重 要 信 息 : I i x c o s 0 2 + ) ,   “  i ’ 没 有 进 一 步 揭 示   x   c o s O 1 , Y   s nO 1 ,  
已知等式所 蕴 涵 的 以下 内容 :   满 足单 位 圆上 过点 

“ 切点 重合 ” , 可联 系距 离公 式 , 设 法把不 等式升 维  

的切线方程 , /1一 b 2  +b y=1 , 由切点的唯一性 ,  

证法4   由已知可得

0=2 — 2 ( a, /1 一b   + b  

知 ,  重合 , 于是 a= , / 1一b   , 且 b=, /1 一口   , 平 
个结 论 的 证 明.由于 具 有 几 何 形 式 和 代 数 形 式 的 

√1 一口  )=[ 口   +( 1 一 b   ) 一 2 口, / 1一 b   ] +[ b  
为工具 , 将 向量与解 析 几何 有 机 的结合 是 高考 命 题  的一个新 的亮 点.  

“ 双重身份” , 向 量 成 为 中学 数 学 知 识 的一 个 交 汇 
点, 成 为联系多 项 内容 的媒介 . 由于平 面向量作 为一  种有 向线段可 视为 直线 上 的一段 , 向量 的坐标 可 用  其起点 、 终 点 的 坐 标 表示 , 因此 向量 与平 面解 析 几 

作者介绍 : 翟洪亮( 1 9 7 0一   ) , 男, 中学高级 
教 师. 在《 数 学教 学》等 发表论 文 4 0多篇 , 主持连 云 
港市 一项 “ 十 五”课题 , 参 编 市高三 复 习资料.  

何, 特别是其中直线部分保持着天然的联系. 以向量 


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