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2019学年高二人教版数学选修2-2课件:1.3.4 函数与导数综合问题


1.3.4 函数与导数综合问题 研题型 学方法 题型一 利用导数求函数的单调性 例1 已知 a 是实数, 函数 f(x)= x(x-a), 求函数 f(x) 的单调区间. 解析:函数的定义域为[0,+∞), x-a 3x-a f′(x)= x+ = (x>0). 2 x 2 x 若 a≤0,则 f′(x)>0, 所以 f(x)的单调递增区间为[0,+∞). a a 若 a>0,令 f′(x)=0,得 x= ,当 0<x< 时,f′(x)<0, 3 3 a 当 x> 时,f′(x)>0, 3 所以 ?a ? ? ,+∞?. ?3 ? ? a? f(x) 的单调递减区间为 ?0,3? ,单调递增区间为 ? ? 规律方法:利用导数求函数的单调性,主要涉及的几类 题型:求单调区间,判断函数在某区间上的单调性,根据单 调性求参数.只要牢牢掌握导函数的符号与原函数单调性的 对应关系,这些问题就不难解决. ?变式训练 1.已知函数 f(x)=mx3+nx2 (m、n∈R,m≠0),函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线与 x 轴平行. (1)用关于 m 的代数式表示 n; (2)求函数 f(x)的单调增区间. 解析:(1)由已知条件得 f′(x)=3mx2+2nx, 又 f′(2)=0,所以 3m+n=0,故 n=-3m. (2)因为 n=-3m,所以 f(x)=mx3-3mx2, 所以 f′(x)=3mx2-6mx. 令 f′(x)>0,即 3mx2-6mx>0, 当 m>0 时,解得 x<0 或 x>2,则函数 f(x)的单调增区 间是(-∞,0)和(2,+∞); 当 m<0 时,解得 0<x<2,则函数 f(x)的单调增区间是 (0,2). 综上,当 m>0 时,函数 f(x)的单调增区间是(-∞,0) 和(2,+∞); 当 m<0 时,函数 f(x)的单调增区间是(0,2). 题型二 函数过定点的切线及综合问题 例2 程. 分析: 点(1, -1)不一定是切点, 故设出切点坐标(x0, y0), 求出 f′(x0).写出切线方程,利用点(1,-1)在切线上求 x0, 从而求出切线方程. 解析:设 P(x0,y0)为切点,则切线斜率为 k=y′|x=x0= 3x2 0-2. 求过点(1,-1)与曲线 f(x)=x3-2x 相切的直线方 故切线方程为 y-y0=(3x2 0-2)(x-x0).① ∵(x0,y0)在曲线上, ∴y0=x3 0-2x0.② 又∵(1,-1)在切线上, ∴将②式和(1,-1)代入①式得 2 -1-(x3 0-2x0)=(3x0-2)(1-x0). 1 解得 x0=1 或 x0=- . 2 5 故所求的切线方程为 y+1=x-1 或 y+1=- (x-1), 4 即 x-y-2=0 或 5x+4y-1=0. 规律方法:求过定点的曲线的切线方程,要区分定点 是在曲线上还是在曲线外,若定点在曲线上,则为切点, 可直接求导得出切线斜率,用点斜式写出切线方程;若不 是切点,则设出切点坐标,通过切线与曲线的相切关系列 出关于切点坐标的方程,求出切点坐标,再求出切线方程. ?变式训练 x 2.曲线 y= 在点(1,1)处的切线方程为(B) 2x-1 A.x-y-2=0 C.x+4y-5=0 B.x+y-2=0 D.x-4y-5=0 2x-1-2x 1 解析:y′|x=1= | =- | =-1, (2x-1)2 x=1 (2x-1)2 x=1 故切线方程为 y-1=-(x-1),

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