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从江县一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

从江县一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1. 已知向量 , ,其中 .则“ ”是“ ”成立的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2 2 3 3 4 4 5 5 10 10 2. 观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,…,则 a +b =( ) A.28 B.76
2

座号_____

姓名__________

分数__________

C.123 D.199

x y2 3. 椭圆 C : ? ? 1 的左右顶点分别为 A1, A2 ,点 P 是 C 上异于 A1, A2 的任意一点,且直线 PA1 斜率的 4 3 取值范围是 ?1, 2? ,那么直线 PA2 斜率的取值范围是( )
A. ? ? , ? ? 4 2

? 3 ?

1? ?

B. ? ? , ? ? 4 8

? 3 ?

3? ?

C. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

D. ? ,1?

?3 ? ?4 ?

【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识,意在考查函数与方程思想和 基本运算能力. 4. 在△ABC 中,b= A. B.2 C. ,c=3,B=30°,则 a=( 或2
*



D.2 )

5. 已知 an= A.a1,a30

(n∈N ),则在数列{an}的前 30 项中最大项和最小项分别是( B.a1,a9 C.a10,a9 D.a10,a30

6. 函数 f(x)=ax2+bx 与 f(x)=log

x(ab≠0,|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是(



A.

B.

C.

D.

7. sin570°的值是( A. B.﹣ C.

) D.﹣

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8. 定义:数列{an}前 n 项的乘积 Tn=a1?a2?…?an,数列 an=29﹣n,则下面的等式中正确的是( A.T1=T19 B.T3=T17 C.T5=T12 D.T8=T11



9. 已知全集 U=R,集合 A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥3},图中阴影部分所表示的集合为 ( )

A.{1}

B.{1,2}

C.{1,2,3}

D.{0,1,2}

10.在等差数列 {an } 中,首项 a1 ? 0, 公差 d ? 0 ,若 ak ? a1 ? a2 ? a3 ? A、 22 B、 23 C、 24 D、 25

? a7 ,则 k ?

11.对于区间[a,b]上有意义的两个函数 f(x)与 g(x),如果对于区间[a,b]中的任意数 x 均有|f(x)﹣g
2 (x)|≤1,则称函数 f(x)与 g(x)在区间[a,b]上是密切函数,[a,b]称为密切区间.若 m(x)=x ﹣3x+4

与 n(x)=2x﹣3 在某个区间上是“密切函数”,则它的一个密切区间可能是( A.[3,4] B.[2,4] C.[1,4] D.[2,3]



12.某班设计了一个八边形的班徽(如图),它由腰长为 1,顶角为 ? 的四个等腰三角形,及其底边构成的正 方形所组成,该八边形的面积为( )

A. 2sin ? ? 2 cos ? ? 2 C. 3sin ? ? 3 cos ? ? 1

B. sin ? ? 3 cos ? ? 3 D. 2sin ? ? cos ? ? 1 . . .

二、填空题
13.已知直线 l:ax﹣by﹣1=0(a>0,b>0)过点(1,﹣1),则 ab 的最大值是 14.一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 15.已知函数 f(x)=x3﹣ax2+3x 在 x∈[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围 16.已知数列{an}中,2an,an+1 是方程 x ﹣3x+bn=0 的两根,a1=2,则 b5=
2



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17.设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F , A, B 两点在抛物线上,且 A , B , F 三点共线,过 AB 的中点 M 作 y 轴
2

的垂线与抛物线在第一象限内交于点 P ,若 PF ?

3 ,则 M 点的横坐标为 2

.

18.在棱长为 1 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 是 A1D1 的中点,点 P 在侧面 BCC1B1 上运动.现有下列命 题: ①若点 P 总保持 PA⊥BD1,则动点 P 的轨迹所在曲线是直线; ②若点 P 到点 A 的距离为 ,则动点 P 的轨迹所在曲线是圆;

③若 P 满足∠MAP=∠MAC1,则动点 P 的轨迹所在曲线是椭圆; ④若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离比为 1:2,则动点 P 的轨迹所在曲线是双曲线; ⑤若 P 到直线 AD 与直线 CC1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在曲线是抛物丝. 其中真命题是 (写出所有真命题的序号)

三、解答题
19.已知函数 f(x)=2x﹣ ,且 f(2)= . (1)求实数 a 的值; (2)判断该函数的奇偶性; (3)判断函数 f(x)在(1,+∞)上的单调性,并证明.

20.已知等差数列{an},等比数列{bn}满足:a1=b1=1,a2=b2,2a3﹣b3=1. (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)记 cn=anbn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

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21.(本小题满分 12 分) 两个人在进行一项掷骰子放球游戏中,规定:若掷出 1 点,甲盒中放一球;若掷出 2 点或 3 点,乙盒中 放一球;若掷出 4 点或 5 点或 6 点,丙盒中放一球,前后共掷 3 次,设 x, y , z 分别表示甲,乙,丙 3 个 盒中的球数. (1)求 x ? 0 , y ? 1 , z ? 2 的概率; (2)记 ? ? x ? y ,求随机变量 ? 的概率分布列和数学期望. 【命题意图】 本题考查频离散型随机变量及其分布列等基础知识, 意在考查学生的统计思想和基本的运算能力.

22. 2008 年奥运会在中国举行, 某商场预计 2008 年从 1 日起前 x 个月, 顾客对某种奥运商品的需求总量 p (x) 件与月份 x 的近似关系是 月份 x 的近似关系是 q(x)=150+2x,(x∈N*且 x≤12). (1)写出今年第 x 月的需求量 f(x)件与月份 x 的函数关系式; (2)该商品每件的售价为 185 元,若不计其他费用且每月都能满足市场需求,则此商场今年销售该商品的月 利润预计最大是多少元? 且 x≤12),该商品的进价 q(x)元与

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23.△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边之长依次为 a,b,c,且 cosA= (Ⅰ)求 cos2C 和角 B 的值; (Ⅱ)若 a﹣c= ﹣1,求△ ABC 的面积.

2 2 2 ,5(a +b ﹣c )=3

ab.

24.已知数列{an}满足 a1=a,an+1= (1)求 a2,a3,a4;

(n∈N ).

*

(2)猜测数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明.

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从江县一中 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】若 反过来,若 ,则 ,则 或 ”成立的充分而不必要条件。 成立;

所以“ ”是“ 故答案为:A 2. 【答案】C

【解析】解:观察可得各式的值构成数列 1,3,4,7,11,…,其规律为从第三项起,每项等于其前相邻两项 的和,所求值为数列中的第十项.
10 10 继续写出此数列为 1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,…,第十项为 123,即 a +b =123,.

故选 C. 3. 【答案】B

4. 【答案】C 【解析】解:∵b=
2 2

,c=3,B=30°,
2 2 ,整理可得:a ﹣3

2 ∴由余弦定理 b =a +c ﹣2accosB,可得:3=9+a ﹣3

a+6=0,

∴解得:a= 故选:C.

或2



5. 【答案】C 【解析】解:an= 图象如图, ∵9< <10. =1+ ,该函数在(0, )和( ,+∞)上都是递减的,

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∴这个数列的前 30 项中的最大项和最小项分别是 a10,a9. 故选:C. 【点评】 本题考查了数列的函数特性, 考查了数形结合的解题思想, 解答的关键是根据数列通项公式画出图象, 是基础题. 6. 【答案】 D
2 【解析】解:A、由图得 f(x)=ax +bx 的对称轴 x=﹣

>0,则

,不符合对数的底数范围,A 不正确;

B、由图得 f(x)=ax2+bx 的对称轴 x=﹣ C、由 f(x)=ax2+bx=0 得:x=0 或 x= 函数,C 不正确; D、由 f(x)=ax2+bx=0 得:x=0 或 x= 域上是减函数,D 正确.

>0,则 ,由图得

,不符合对数的底数范围,B 不正确; ,则 ,所以 f(x)=log x 在定义域上是增

,由图得

,则

,所以 f(x)=log

x 在定义

【点评】本题考查二次函数的图象和对数函数的图象,考查试图能力. 7. 【答案】B 【解析】解:原式=sin(720°﹣150°)=﹣sin150°=﹣ . 故选 B 【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键. 8. 【答案】C
9 n 【解析】解:∵an=2 ﹣ , 8+7+…+9﹣n = ∴Tn=a1?a2?…?an=2 8 19 ∴T1=2 ,T19=2﹣ ,故 A 不正确

T3=221,T17=20,故 B 不正确 T5=230,T12=230,故 C 正确 T8=236,T11=233,故 D 不正确 故选 C 9. 【答案】B 【解析】解:图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合 A 中,但不在集合 B 中.

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由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(CUB)∩A, 又 A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥3}, ∵CUB={x|x<3}, ∴(CUB)∩A={1,2}. 则图中阴影部分表示的集合是:{1,2}. 故选 B. 【点评】本小题主要考查 Venn 图表达集合的关系及运算、Venn 图的应用等基础知识,考查数形结合思想.属 于基础题. 10.【答案】A 【解析】 ak ? a1 ? a2 ? a3 ? ∴ k ? 22 . 11.【答案】D
2 【解析】解:∵m(x)=x ﹣3x+4 与 n(x)=2x﹣3, 2 2 ∴m(x)﹣n(x)=(x ﹣3x+4)﹣(2x﹣3)=x ﹣5x+7. 2 令﹣1≤x ﹣5x+7≤1,

? a7 ? 7 a1 ?

7?6 d ? 21d ? a1 ? (22 ?1)d , 2

则有 ∴2≤x≤3. 故答案为 D.



【点评】本题考查了新定义函数和解一元二次不等式组,本题的计算量不大,新定义也比较容易理解,属于基 础题. 12.【答案】A 【解析】 试题分析:利用余弦定理求出正方形面积 S1 ? 1 ? 1 - 2 cos? ? 2 ? 2 cos? ;利用三角形知识得出四个等
2 2

?

?

腰三角形面积 S 2 ? 4 ? 确答案为 A.

1 ? 1 ? 1 ? sin ? ? 2 sin ? ; 故八边形面积 S ? S1 ? S 2 ? 2 sin ? ? 2 cos? ? 2 .故本题正 2

考点:余弦定理和三角形面积的求解.

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【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目,掌握正余弦定理是解题的关键;首先根据三角

1 1 ? 1 ? 1 ? sin ? ? sin ? 求出个三角形的面积 4 S ? 2 sin ? ;接下来利用余弦定理可求出正 2 2 2 2 方形的边长的平方 1 ? 1 - 2 cos? ,进而得到正方形的面积 S1 ? 12 ? 12 - 2 cos? ? 2 ? 2 cos? ,最后得到
形面积公式 S ?

?

?

?

?

答案.

二、填空题
13.【答案】 .

【解析】解:∵直线 l:ax﹣by﹣1=0(a>0,b>0)过点(1,﹣1), ∴a+b﹣1=0,即 a+b=1, ∴ab≤ =

当且仅当 a=b= 时取等号, 故 ab 的最大值是 故答案为: 【点评】本题考查基本不等式求最值,属基础题. 14.【答案】 .

【解析】解:由题意可得,2a,2b,2c 成等差数列 ∴2b=a+c 2 2 2 ∴4b =a +2ac+c ①
2 2 2 ∵b =a ﹣c ②

①②联立可得,5c2+2ac﹣3a2=0 ∵
2 ∴5e +2e﹣3=0

∵0<e<1 ∴ 故答案为: 【点评】本题主要考查了椭圆的性质的应用,解题中要椭圆离心率的取值范围的应用,属于中档试题 15.【答案】 (﹣∞,3] .

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2 【解析】解:f′(x)=3x ﹣2ax+3,

∵f(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴f′(x)在[1,+∞)上恒有 f′(x)≥0,
2 即 3x ﹣2ax+3≥0 在[1,+∞)上恒成立.

则必有 ≤1 且 f′(1)=﹣2a+6≥0, ∴a≤3; 实数 a 的取值范围是(﹣∞,3]. 16.【答案】 ﹣1054 . 【解析】解:∵2an,an+1 是方程 x ﹣3x+bn=0 的两根, ∴2an+an+1=3,2anan+1=bn, ∵a1=2,∴a2=﹣1,同理可得 a3=5,a4=﹣7,a5=17,a6=﹣31. 则 b5=2×17×(﹣31)=1054. 故答案为:﹣1054. 【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
2

17.【答案】2

【解析】 由题意, 得 p ? 2 ,F (1, 0) , 准线为 x ? ?1 , 设 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 ) , 直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,

2k 2 ? 4 , x1 x2 ? 1 .又设 P( x0 , y0 ) , k2 1 1 2 1 1 2 则 y0 ? ( y1 ? y2 ) ? [k ( x1 ? 1) ? k ( x2 ? 1)] ? ,所以 x0 ? 2 ,所以 P( 2 , ) . 2 2 k k k k 1 3 因为 | PF |? x0 ? 1 ? 2 ? 1 ? ,解得 k 2 ? 2 ,所以 M 点的横坐标为 2. k 2
2 2 2 2 代入抛物线方程消去 y ,得 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0 ,所以 x1 ? x2 ?

18.【答案】 ①②④ 【解析】解:对于①,∵BD1⊥面 AB1C,∴动点 P 的轨迹所在曲线是直线 B1C,①正确; 对于②,满足到点 A 的距离为 ②正确; 对于③,满足条件∠MAP=∠MAC1 的点 P 应为以 AM 为轴,以 AC1 为母线的圆锥,平面 BB1C1C 是一个与 轴 AM 平行的平面, 的点集是球,∴点 P 应为平面截球体所得截痕,即轨迹所在曲线为圆,

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又点 P 在 BB1C1C 所在的平面上,故 P 点轨迹所在曲线是双曲线一支,③错误; 对于④,P 到直线 C1D1 的距离,即到点 C1 的距离与到直线 BC 的距离比为 2:1, ∴动点 P 的轨迹所在曲线是以 C1 为焦点,以直线 BC 为准线的双曲线,④正确; 对于⑤,如图建立空间直角坐标系,作 PE⊥BC,EF⊥AD,PG⊥CC1,连接 PF, 设点 P 坐标为(x,y,0),由|PF|=|PG|,得 ∴P 点轨迹所在曲线是双曲线,⑤错误. 故答案为:①②④.
2 2 ,即 x ﹣y =1,

【点评】本题考查了命题的真假判断与应用,考查了圆锥曲线的定义和方方程,考查了学生的空间想象能力和 思维能力,是中档题.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(1)∵f(x)=2x﹣ ,且 f(2)= , ∴4﹣ = , ∴a=﹣1;(2 分) (2)由(1)得函数 ∵ ∴函数 = 为奇函数.…(6 分) ,定义域为{x|x≠0}关于原点对称…(3 分) ,

(3)函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数,…(7 分)

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任取 x1,x2∈(1,+∞),不妨设 x1<x2,则 = …(10 分) ∵x1,x2∈(1,+∞)且 x1<x2∴x2﹣x1>0,2x1x2﹣1>0,x1x2>0 ∴f(x2)﹣f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1), ∴f(x)在(1,+∞)上是增函数 …(12 分) 【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 20.【答案】 【解析】解:(I)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q:∵a1=b1=1,a2=b2,2a3﹣b3=1.
2 ∴1+d=q,2(1+2d)﹣q =1,解得





∴an=1,bn=1; 或 an=1+2(n﹣1)=2n﹣1,bn=3 (II)当 当
n﹣1 .

时,cn=anbn=1,Sn=n.

n 1 时,cn=anbn=(2n﹣1)3 ﹣ ,

2 n 1 ∴Sn=1+3×3+5×3 +…+(2n﹣1)3 ﹣ ,

3Sn=3+3×32+…+(2n﹣3)3n﹣1+(2n﹣1)3n,
2 n 1 n ∴﹣2Sn=1+2(3+3 +…+3 ﹣ )﹣(2n﹣1)3 = n ∴Sn=(n﹣1)3 +1. n n ﹣1﹣(2n﹣1)3 =(2﹣2n)3 ﹣2,

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“错位相减法”,考查了推理能力与计 算能力,属于中档题. 21.【答案】 【解析】(1)由 x ? 0 , y ? 1 , z ? 2 知,甲、乙、丙 3 个盒中的球数分别为 0,1,2,

1 ?1? 1 此时的概率 P ? C ? ? ? ? ? . 3 ?2? 4
1 3

2

(4 分)

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22.【答案】 【解析】解:(1)当 x=1 时,f(1)=p(1)=37. 当 2≤x≤12 时,

且 x≤12)
2 2 验证 x=1 符合 f(x)=﹣3x +40x,∴f(x)=﹣3x +40x(x∈N*且 x≤12).该商场预计销售该商品的月利润为

g(x)=(﹣3x2+40x)(185﹣150﹣2x)=6x3﹣185x2+1400x,(x∈N*且 x≤12),

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3 2 2 令 h(x)=6x ﹣185x +1400x(1≤x≤12),h'(x)=18x ﹣370x+1400,令 h'(x)=0,解得

(舍

去).>0;当 5<x≤12 时,h'(x)<0. ∴当 x=5 时,h(x)取最大值 h(5)=3125.max=g(5)=3125(元). 综上,5 月份的月利润最大是 3125 元. 【点评】 本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识. 新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生 活中,如何建模是解决这类问题的关键.同时要熟练地利用导数的知识解决函数的求最值问题.

23.【答案】 【解析】解:(I)由∵cosA= ∴sinA=
2 2 2 ∵5(a +b ﹣c )=3

,0<A<π,

=

, ab,

∴cosC= ∵0<C<π, ∴sinC=

=



=



2 ∴cos2C=2cos C﹣1= ,

∴cosB=﹣cos(A+C)=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣ ∵0<B<π, ∴B= (II)∵ ∴a= ∵a﹣c= ∴a= = . = c, ,

×

+

×

=﹣

﹣1,

,c=1, ×1× = .

∴S= acsinB= ×

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用,两角和与差的正弦公式等知识.考查学生对基础知 识的综合运用. 24.【答案】

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【解析】解:(1)由 an+1= a3= = =

,可得 a2= ,

=



a4= (2)猜测 an=

=

=


* (n∈N ).

下面用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,左边=a1=a, 右边= ②假设当 n=k(k∈N )时猜测成立, 即 ak= 则当 n=k+1 时,ak+1= = . 故当 n=k+1 时,猜测也成立. 由①,②可知,对任意 n∈N 都有 an=
* *

=a,猜测成立.

. = =

成立.

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